历年行列式考研真题精选.doc

关于行列式的计算方法总结 行列式是线性代数中一个非常重要的内容，根据行列式形式的不同，计算的方法也多种多样行列式的计算灵活多样，通常是利用行列式的定义、行列式的性质、对角线法则等取计算行列式本文通过多方资料对历年考研题中的行列式的解决方法进行了分类归纳和以及总结一、 利用基本性质计算1.（1999数二（5）题）记行列式为，则方程的根的个数为 （ ） 求解：故有两个根，故应选.原行列式中各元素的特点，（均是的一次多项式，且除，外，其余的系数均有规律利用行列式性质，计算出行列式是几次多项式，即可作出判别2.（1996数一（2）题）四阶行列式的值等于 （ ） 求解：原式考虑到行列式的零比较多，可根据行列式展开定理按第一行展开计算3.（1998西安电子科大）计算行列式求解：4．（1999西安电子科大）计算阶行列式其中，，求解： 第一列提取，第列提取，得再将第列都加到第列，然后按第列展开得。

二、利用矩阵运算1.（2003数一（6）题）设三阶方阵，满足，其中是三阶单位矩阵，若 ，则求解：方法一：由题设条件 ,.显然, ,是可逆阵，上式两边左乘,得.从而有先由矩阵方程求出，再计算行列式或者将已知等式变形成含有因子的矩阵乘积的形式，而其余因子的行列式都可以求出即可方法二：由得，等式两端取行列式且利用矩阵乘积的行列式=行列式的乘积，得,约去,得.2.（200数4一（6）题）设矩阵,矩阵满足，其中为的伴随矩阵，是单位矩阵，则.先化简矩阵方程成乘积形式，再两边取行列式求解： 由题设条件得，两边取行列式，得，其中 ，，，故3.（2005数一（6）题）设，，均为维列向量，记矩阵，如果，那么利用行列式的性质将转化为计算，或将的每个列向量用的列向量现行表示求解：方法一： 利用行列式性质因，故方法二：因，，， 故两边取行列式，得.因，故.方法一是基本方法，方法二比较灵活，当二组向量（这里是和的列向量）有表出关系时，表示成方法二中的的矩阵形式是方便的，行列式的计算，可直接由范德蒙德行列式得到.4.（2006数一（6）题）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则。

化简方程成乘积形式，再两边取行列式求解： 由题设条件得，，即.两边取行列式，得.其中,.故.5.（2010数二（14）题）设，为三阶矩阵，且，，，则.求解：6.（1995数一（9）题）设是阶矩阵，满足（是阶单位阵，是的转置矩阵），，求. 求解：方法一： 根据，有,于是.因为，故.方法二：因为,即有,也即.因为，故.已知矩阵等式求抽象矩阵的行列式，自然想到要利用此等式条件，一种方法是将直接代入要计算的行列式中；一种是“凑”出可利用已经矩阵等式左端的形式，再将代入计算7.（1999数一（2）题）设是矩阵，是矩阵，则 （ ）当时，必有行列式当时，必有行列式当时，必有行列式当时，必有行列式 求解： 因为为阶方阵，且秩当时，由上式可知，，即不是满秩的，故有行列式，因此正确选项为四个答案在于区分行列式是否为零，而行列式是否为零又是矩阵是否可逆的充要条件，问题转化为矩阵是否可逆，而矩阵是否可逆又与矩阵是否满秩相联系，最终只要判断是否满秩即可8.（2000西安电子科大）设为阶矩阵，，，，是线性无关的维向量组，满足，，求的行列式的值求解：因为所以 又由于，，，线性无关，从而，故。

三、升阶、降阶法1.（2004北航）计算下面行列式的值求解： 升阶化三角形各行减去第一行 2.（2003华南师大）证明行列式等式其中，是在中的代数余子式求解：升阶法左边（按第一行展开）（从第二项开始均按第一列展开）=右边除了升阶之外，我们还有方法二：左边=右边3.（1991数四）求阶行列式求解：利用降阶法按第一列展开一道题目可以有不同的方法来解答，另外还有一种方法就是直接用定义由行列式的定义知此行列式除项和外其余乘积项都是零，故四、范德蒙德行列式1.（2002北交大）计算阶行列式：求解：作如下行列式使之配成范德蒙行列式：此处是变数，由此可知是的元素的代数余子式另一方面，将按它的第列展开即得比较中关于的系数即得：五、化三角形法1.（2001西安电子科大）计算阶行列式求解： 将第行乘以分别加到第行，得再将第列，，第列都加到第列，得按第一列展开，2.（2004华东理工）计算行列式的值，其中都不为求解：方法一：化三角形方法二：化三角形3.（2000北工大）设计算求解：，将上面行列式第一列乘，第二列乘，第三列乘，第列乘全部加到最后一列，得4.（1997数四）设阶矩阵，求求解：5.（2000西安电子科大）计算阶行列式求解：从的第列开始，每行乘以往上一行加，得 通常化三角形发都是先观察各行各列的规律，如果某一行（列）的数值都是其余各行通过一定的运算得到，那么可以通过此方法将其化成零以得到只剩三角的行列式，求一个行列式如果能够化成三角形式是最好不过，可以非常直观地得出所求行列式的值。

六、代数余子式1．（2003北工大）设阶行列式求第一行各元素的代数余子式之和求解： 构造行列式，将中第一行的元素均换成，则 改变后的值不变，构造一个行列式，使所要求的代数余子式在量行列式中相同，通过新行列式计算所要求的代数余子式之和充分理解代数余子式的概念，这道题目解决起来就很方便了2.（2005北交大）设阶方阵求中所有元素的代数余子式之和求解：易知，又,即，故，从而 由于计算方便，利用矩阵的初等变换可得出，因此可以充分利用公式来求所有代数余子式之和七、递推法20.（2002 上海交大）计算行列式求解： 先拆行，再用递推法同理得：于是，得：当时，当时，显然故 递推法的好处就是在不能直接得到行列式的情况可以根据规律，由低阶简单易求的行列式逐步得到所求的高阶行列式 。