把m个球放到n个盒子里,有多少种方法球盒问题,8种情况.doc

球盒问题一、球相同，盒子相同，且盒子不能空例1. 8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个.问有多少种不同的放法？解析 球入盒问题，可以看成分两步完成，首先是将 8个球分成三堆，每堆至少一个.由于这 里球和盒子都相同，每三堆放入 3个盒子中只有一种情况，所以只要将 8个球分成三堆.即1-1-6、 1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五种，故将8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子至少有一 个，有五种不同的放法•结论 n个相同的球放入m个相同的盒子 （n> m），不能有空盒时的放法种数等于n分解为m个数的和的种数.二、 球相同，盒子相同，且盒子可以空例2. 8个相同的球放入3个相同的盒子中•问有多少种不同的放法？解析 与上题不同的是分成的三堆中，上题中的每一堆至少有一个球，而这个题中的三堆可以 有球数为零的堆，即除了分成上面的五堆外，还可分为 1-7、2-6、3-5、4-4和只一堆共五种情况，故8个相同的球放入3个相同的盒子中.，有十种不同的放法•结论 n个相同的球放入m个相同的盒子 （n> m），可以有空盒时的放法种数等于将n分解为m个、（m— 1）个、（m — 2）个、…、2个、1个数的和的所有种数之和.三、 球相同，盒子不同，且盒子不能空例3. 8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个.问有多少种不 同的放法？（隔板法）解析 这是个相同的球放入不同的盒子中，与前面不同的是，这里盒子不同，所以不能再用前面 的解法•将8个球排成一排，形成7个空隙，在7个空隙中任取两个插入两块隔板，有C；=J6=212种，这样将8个球分成三堆，第一堆放到1号盒子内，第二堆放到2号盒子内，第三堆放到3号盒 子内.故将8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个，有 21种不同 的放法•结论 n个相同的球放入m个不同的盒子中（nAm），不能有空盒的放法数 CT.四、 球相同，盒子不同，且盒子可以空例4. 8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中•问有多少种不同的放法？解析 与上一题不同的是，这里可以有盒子没放一个•还是利用隔板原理将 8个球分为三堆， 只不过有的堆的球数为零，即在 8个球之间插入两块隔板.首先将8个球排成一排，就有9个空， 任取一个空插入一块隔板，有C1种；然后再将第二块隔板插入前面 8个球和第一块隔板形成的10个空中，有C；种，但这两种放法中有重复的，要除以 2;最后将第一块隔板左边的球放入1号盒子中，两块隔板之间的球放入2号盒子中，第二块隔板右边的球放入3号盒子中.故一共有1C9C11O =C1^1^^=45 种.2 2或者，将8个球分成三堆（包括没有0数堆和有0数堆），也就是在8个球的9个空隙中取两个 插入隔板或取一个插入两块隔板，即 C9+C； =9+36 = 45种.例3也可利用上面的分法来解，8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至 少有一个•先放一个到每个盒子中，只有一种放法•然后将剩下的5个球排成一排，插入两块隔板， 有 tc； 二巴6 =21 种.2 2结论n个相同的球放入m个不同的盒子中（n》m），可以有空盒的放法数CX.五、球不同，盒子相同，且盒子不能空例5. 8个不同的球放入三个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个 .问有多少种不同的放法？解析 由于盒子相同，所以只要对8个不同的球分成三堆就行了，因为放入盒子只有一种情况 .而8个球分成三堆，各堆球数依次为 1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五种.对情况1-1-6有c8c；c种分法，对情况1-2-5有CQC；种分法，对情况1-3-4有C；C；C：种分法,对情况2-2-4有c；c；c种分法，对情况c2c 3c32-3-3 有2（注意，分组有几组个数相同即几组均分就要除以几的阶乘）•故-共有①簣心進心皿亠2于4+ C82C63C3 =966 种.2结论 n个不同的球放入m个相同的盒子中（n>m），不能有空盒的放法种数等于n个不同的球分成m堆的种数.六、球不同，盒子相同，且盒子可以空例6. 8个不同的球放入三个相同的盒子中，问有多少种不同的放法？解析 只比上一题多了两种情况，一是有一堆为 0的，即分成两堆，1-7、2-6、3-5、4-4四种1情况，有c8c； + C； =127 ;二是有两堆为0的，即只分成一堆，一种情况•所以一2 共有 966+127+1=1094种.结论 n个不同的球放入m个相同的盒子中 （n》m），可以有空盒的放法种数等于将n个不同的球分成m堆、（m— 1）堆、（m — 2）堆、…、2堆、1堆的所有种数之和七、球不同，盒子不同，且盒子不能空例7. 8个不同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个.问有多少种不 同的放法？解析 这个问题就等价于“ 8本不同的书分给3个同学，每人至少有一本，有多少种分法？”就是在例5先分堆的基础上，再加一步，分到三个不同的盒子中 .即966A；=5796种.结论 n个不同的球放入m个不同的盒子中，不能有空盒的放法种数等于n个不同的球分成m堆的种数乘以m!.八、球不同，盒子不同，且盒子可以空例8. 8个不同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，问有多少种不同的放法？解析 包括分三堆的5796种，还有分两堆的127A3 -762，还有只分一堆的3种情况，所以一共有 5796+762+3=6561种.结论 n个不同的球放入m个不同的盒子中 （n》m），可以有空盒的放法种数等于m n种.第#页共3页。