核技术基础引论 3.pdf

第二章 带电粒子动力学理论 42 核技术基础引论核技术基础引论 第二章第二章 带电粒子动力学理论带电粒子动力学理论 带电粒子在加速器中沿主导磁场提供的封闭轨道封闭轨道运动， 不断地获得能量 粒子沿封闭轨 道运动一圈所用的时间称为回旋周期回旋周期 由于带电粒子运动速度极高， 在粒子一个回旋周期时间内，可以视主导磁场主导磁场随时间是不变的随时间不变磁场意味着磁感应强度磁感应强度B与时间无关， 仅与空间坐标有关比如研究电子感应加速器中粒子的横向运动横向运动时，电子以光速运动，电子回旋一圈中，完全可以视磁场值也不随时间变化，认为B与时间无关在引导磁场引导磁场作用下 理想粒子的运动轨迹形成的封闭轨道， 其它粒子在封闭轨邻域封闭轨邻域是如何运动的， 以及非同步粒 子在高频加速电场加速电场作用下围绕同步粒子同步粒子是如何运动的，是本章的主要内容 总而言之，本章将重点讨论加速器中，在电磁场作用下，粒子沿闭轨，与围绕闭轨的运 动；如果不是沿闭轨运动，粒子是否返回闭轨附近，是否稳定呢？非同步粒子能否围绕同步 粒子稳定加速呢？需要说明的， 本章仅限于讨论线性理论下的横向运动聚焦， 以及纵向运动 聚相问题。

§§2.1 麦克斯韦尔方程与洛伦兹力公式麦克斯韦尔方程与洛伦兹力公式 §§2.1.1 麦克斯韦尔方程组麦克斯韦尔方程组 在国际单位制下，麦克斯韦尔方程组的四个微分方程： 0ttρ εμμε⎧∇⋅=⎪ ⎪∇⋅=⎪⎪∂⎨∇×= −⎪∂⎪∂⎪∇×=+⎪∂⎩EBBEEBJ， (2.1) 式中E、B、J分别为电场矢量、磁感应强度矢量和电流密度矢量式中磁导率μ与介电常数ε，真空中取值为 ×=πμ4010-7[H/m] ， ×=2041 cπε107[F/m] 需要指出的，这些微分方程是有物理含义的，它们至少表征了二个重要的物理图象其一， 空间任意一点的电场（磁场）旋度与该点的磁场（电场）随时间的变化有关电场（磁场）旋度与该点的磁场（电场）随时间的变化有关，电场（磁场） 散度与该点电荷（或磁荷）的（空间分布）密度有关电场（磁场） 散度与该点电荷（或磁荷）的（空间分布）密度有关其二，电磁场的传播，是在空间中 点点传播的，传播的媒介即为光子，传播的速度为光速在空间中 点点传播的，传播的媒介即为光子，传播的速度为光速。

可以由旋度方程推导波动方程， 求出波动速度即为光速求解方程必须确定坐标系加速器物理中，一般使用柱坐标系在 柱坐标系下，通常将矢量方程变成标量方程求解矢量方程变成标量方程求解： ()11z rEErErrrzθρ θε∂∂∂⎛⎞⎡⎤++=⎜⎟⎢⎥∂∂∂⎣⎦⎝⎠， (2.2a) 1zr rBBEJrztθμμεθ∂∂∂−=+∂∂∂， (2.2b) 第二章 带电粒子动力学理论 43rzEBBJzrtθ θμμε∂∂∂−=+∂∂∂， (2.2c) ()11rz zBErBJrrrtθμμεθ∂∂∂−=+∂∂∂ (2.2d) §§2.1.2 电磁场中的运动方程电磁场中的运动方程 写成拉格朗日函数，在相对论条件下， ()22 011Lm cβφ=−−−+⋅A?v ， = ∇×BA (2.3) 寻找运动方程， d0dLL t∂∂⎛⎞−=⎜⎟∂∂⎝⎠r?v， (2.4) 其中 Lq∂=+∂pA?v， ()Lφ∂= ∇⋅− ∇∂Ar?v ， 导出 d dqttφ∂= −− ∇ +×∇×∂pAA?v ， (2.5) 利用洛伦兹规范洛伦兹规范， tφ∂= −∇ −∂AE ， (2.6) (2.5)式可以写为 d dt= −+×pEB?v 。

(2.7) 此推导是严格的，粒子在电磁场中受力分别为电场力电场力（q− E）和磁场力磁场力（q ×B?v）叠加而 成结果与第一章的 1.6 小节给出的洛伦兹力表达式完全一致 §§2.1.3 在轴对称磁场中的运动方程在轴对称磁场中的运动方程 根据(2.7)式写出柱坐标（r，θ，z）系中的运动方程运动方程， ()2d drzmrmrqEqzBqr Btθθθ−=−+???? ， (2.8a) ()2d1 dzrmrqEqrBqzBrtθθ=−+??? ， (2.8b) ()d dzrmzqEqr BqrBtθθ=−+??? (2.8c) 当电磁场大体具备旋转对称状态，有0Bθ≡(除了磁场边缘场以外区域)，0Eθ≠（有加速电场局部） ，0rE=，0zE=，问题就简单多了此时，电磁场可以表述为 Eθ θ=Ei ， r rz zBB=+Bii ， 式中ri、θi、zi分别为r、θ、z三个方向的单位夭量。

则前述方程(2.8)式化简为 ()2d dzmrmrqr Btθθ−=??? ， (2.9a) 第二章 带电粒子动力学理论 44 ()2d1 dzrmrqEqrBqzBrtθθ=−+??? ， (2.9b) ()d drmzqr Btθ= −?? (2.9c) 我们可以根据等式(2.9)对粒子的封闭轨道封闭轨道、回旋频率回旋频率，进行初步的讨论 ① 封闭轨道封闭轨道 在回旋加速器中，带电粒子的轨道是一系列张角为 180°圆弧线首尾相连的螺旋线形的轨道，也可视作封闭轨道在这样的封闭轨道中，其曲率半径随能量增长而变化，带电粒子在此螺旋线形轨道邻域的运动，也可用本章的理论来描述在电子感应加速器中，其封闭轨道曲率半径是恒定不变的，其封闭轨道内平均磁场的变化应等于封闭轨道处磁场变化的二倍，粒子运动是沿封闭轨道进行的在同步加速器中，粒子的封闭轨道近似于一个闭合圆，其圆弧轨道曲率半径 ()02300W WBZερ+= 。

(1.54) 在电子回旋加速器中， 带电粒子的轨道曲率半径也是变化的， 曲率半径变化的轨道都首尾相连相切于加速腔内的同一点，磁场也是恒定的，轨道近似於闭轨粒子在储存环中储存运行时，磁场与粒子拥有的能量都是不变的，带电粒子的轨道是闭合的 如果讨论中所用的坐标系，仍然是柱坐标系柱坐标系：θ，r，z在封闭轨道上的理想粒子理想粒子， 自然有0r =?，由式(4.9a)即知， 图 2.1 圆型加速器轨道坐标定义 zBqrmrθθ??−=2 (2.10) 由于理想粒子有rθθ==?vv，自然有 2zmq Br= −vv (2.11) 形式上很简单，结论也早就有了如果粒子不是在封闭轨道上运动，运动会是何种形式呢？ 有关的讨论将在后续章节中讲到 ② 回旋频率回旋频率 非理想粒子存在有θ≈vv，由(2.11)式得到 zmrqB= −v， (2.12) 知回旋频率回旋频率 第二章 带电粒子动力学理论 4522qBfrmππ==v， (2.13a) 量纲单位为 s-1；回旋圆频率 2qBfrmωπ===v， (2.13b) 量纲单位为 rad×s-1。

推导中只需考虑幅值大小，将负号舍去另(2.12)式与著名的(1.54)式 ()02300W WrZBε+= ， (1.54a) 是相互统一的2.13)式与回旋加速器中的回旋周期， crf2(21)mTnTqBπ==+ ， (2.14) 是一致的 在一般的轴对称圆形加速器中， 同步粒子的回旋周期必须与高频周期成整数倍关 系 非旋转对称磁场中的闭轨， 如四个弯转磁铁组成的圆型加速器， 粒子在弯转磁铁中走弧 线， 在其它部份则走直线 整个闭轨是由四个圆弧线段和四个直线段组成的 由此推广扩大， 非旋转对称磁场下的闭轨一般不会是标准圆， 通常是多个圆弧段与多个直线段的组合 由此 可知，封闭轨道在不同的条件下有不同的形式 图 2.2 一种非旋转对称圆型加速器闭轨示意图 §§2.2 圆型加速器中粒子的横向运动描述圆型加速器中粒子的横向运动描述 §§2.2.1 横向运动轨道方程横向运动轨道方程 何为横向运动？粒子沿闭轨方向的运动沿闭轨方向的运动，谓纵向运动谓纵向运动，而偏离粒子闭轨方向的运动偏离粒子闭轨方向的运动，谓横向运动谓横向运动。

横向运动还可以分解为两个方向的运动一个是径向径向的，标记为r方向；另一个是轴向轴向的，标记为z向横向运动的讨论，是与式(2.9a)和式(2.9c)相关联的运动为便于理解，首先定义纵向运动速度是不变的，粒子的动量是一样的在此前提下，先研究不同粒子具有不同的初始状态，然后再研究0pΔ ≠的情况，以及B随t变化的情况 1、 横向运动微分方程横向运动微分方程，是以时间为自变量的运动方程 1) 轴向运动微分方程轴向运动微分方程 与式(2.9c)关联的磁场分量，能够改变粒子的轴向运动此类磁力线集合如鼓（图 2.3右图） ，方向垂直向下或向上，中心水平面磁力线较稀，上、下磁极面附近的磁力线较密一些加速器设计中，首先最关心的是zB（与轴平行的磁场分量） ，zB主要与圆弧线方向运动即纵向运动相关在中心水平面，如径向坐标cr处为闭轨，总是存在0rB =，0zB ≠但是，稍偏离中心水平面，必然存在0rB ≠，因此有偏离中心平面或指向中心平面的作用力存在，即洛伦兹磁场力中有指向或偏离磁中心平面的分力存在因此研究横向运动，需要 第二章 带电粒子动力学理论 46 ()()cc2 2 cc21,,02!rr rr rrBBBr zBrzzzz∂∂=+⋅ +⋅⋅+∂∂…… (a) 磁场不变(0n =) (b) 随半径增大而增大(0n ) 图 2.3 磁场位形示意图（中间水平线为磁中心平面，有剖面线的表示磁极，绿色有箭头线表示磁力线） 了解并求出rB。

上述讨论说明确定中心水平面的位置，即磁中心平面的位置很重要为什 么加速器中很重视准直， 也在于此 以闭轨处磁中心平面为坐标原点， 对磁场分量rB做z向 泰勒展开此时的z为小量，对展开式保留。