七年级奥数下册第七讲.doc

第七讲  线与角一．知识点拨1．角的概念：具有公共端点的两条射线所成的图形称为角2．与角有关的基本概念有：周角，平角，直角，锐角，钝角，对顶角等3．构成平面的基本元素是点与线，中最简单、最常见的就是线段，解决的有关问题常用到线段的中点4．角平分线是进行角的计算、推理的一个重要的知识 二．典例选讲例1 如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，求MN：PQ的值ACNBMPQ7-1     7-2（b）7-2（a）例2  在直线l上取 A，B两点，使AB=10厘米，再在l上取一点C，使AC=2厘米，M，N分别是AB，AC中点．求MN的长度(如图7－2)．    7-3例3 如图7－3所示．在一条河流的北侧，有A，B两处牧场．每天清晨，羊群从A出发，到河边饮水后，折到B处放牧吃草．请问， 饮水处应设在河流的什么位置，从A到B羊群行走的路程最短？  　　　ACOBDE例4 如图，已知O是直线AC上一点，OB是一条射线， OD平分ÐAOD，OE在ÐBOC内，ÐBOE＝ ÐEOC，ÐDOE＝70°，求ÐEOC的度数         例5  一个锐角的余角的补角与这个锐角的差是（　　　　）     A．锐角　　        B．直角　　         C．钝角　　         D．不能确定 例6  已知Ða的余角是Ðb的补角的 ，Ðb＞110°，求Ða的范围。

    例7  当时间是2点32分时，时针与分针的夹角是多少度？    例8．平面上n条直线两两相交，求证所成得的角中至少有一个角不大于        第八讲  相交线与平行线 一、知识点拨1．  平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行2．  两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交即，两条直线相交有且只有一个交点3．  垂直是相交的特殊情况有关两直线垂直，有两个重要的结论：（1）       过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）       直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短4．  在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线平行线中要理解平行公理，能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理5．  利用平行公理及其推论证明或求解 二、典例选讲例1．如图(1)，直线a与b平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°,求∠3的度数                               例2．已知：如图8-2， AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D =192°，∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数。

图8-2       备注：（1）从上题中可得到 ， 与 具有什么样的关系：                          （2）若有图形8-3，则∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2是否成立？    图8-3    例3．如图8-4，已知AB∥CD，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB的度数图8-4          例4．已知锐角三角形ABC的三边长为a，b，c，而ha，hb，hc分别为对应边上的高线长，求证：ha+hb+hc＜a+b+c 　     例5．如图（8-5），直线AB与CD相交于O，EF^AB于F，GH^CD于H，求证EF与GH必相交    图8-5  例6．如图,AB∥ED,α=∠A+∠E, β=∠B+∠C+∠D.证明:  β=2α.           例7．如图（8-7）,把 纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找一找这个规律，你发现的规律是___________________. 图8-7       例8．（a）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，并简单说明画法。

 （b）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，如果能请画出一例，如果不能请简述理由         第九讲  图形的面积一．知识点拨1．面积公式有：（1）三角形的面积公式： （2）梯形的面积公式： （3）平行四边形的面积公式： 2．面积计算常用以下方法（1）和差法：把一个图形分成几个基本图形的和或差表示2）运动法：有时直接求图形面积有困难时，可通过平移、旋转、割补等方式将图形中的一部分图形运动，转化成容易解决的图形3）等积变形法：即找出与图形面积相等或相关联的特殊图形，通过代换转化求图形的面积3．由于多边形可以分割为若干个三角形，多边形的面积等于各三角形面积和，因此，三角形的面积是面积问题的基础．4．三角形的等积变形是多边形等积变形的基础，关于三角形的等积变形有以下几个主要事实：（1）等底等高的两个三角形面积相等．（2）两个三角形面积之比，等于它们的底高乘积之比．（3）两个等底三角形面积之比，等于它们的高之比．AB•D•C图9-1（4）两个等高三角形面积之比等于它们的底之比．  二．典例选讲例1 如图9-1中的4个圆的半径都是a，求阴影部分的面积      图9-2例2 已知:如图9-2,长方形ABCD中,F是CD的中点,BC=3BE,AD=4HD.若 长方形的面积是300平方米,则阴影部分的面积等于________平方米.      例3．已知△ABC中三边长分别为 对应边上的高分别为 ， ， ．求    例4   如图9-3，已知△ABC的面积为1，且BD= DC，AF= FD，CE= EF．求△DEF的面积．  　　 　 图9-3    图9-4例5．如图9-4，AD，BE，CF交于△ABC内的一点P，并将△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积． 　　                                          图9-5例6 如图9-5所示．E，F分别是 ABCD的边AD，AB上的点，且BE=DF，BE与DF交于O．求证：C点到BE的距离等于它到DF的距离．           第十讲  二元一次方程组一、知识点拨1、二元一次方程组有两个特征：①整个方程组（不是方程组中的每一个方程）含有两个且只含有两个未知数；②方程组中的每一个方程都是一次方程。

每个二元一次方程，一般有无穷多组解只有二元一次方程组中两个方程的公共解，才叫二元一次方程组的解2、一元一次方程与二元一次方程的异同点（1）在概念上，相同点是它们都是整式方程，且所含未知数的项目的次数是一次；不同点是所含的未知数的个数不同，一元一次方程只含有一个未知数，而二元一次方程含有两个未知数2）在方程解的形式上，一元一次方程的一个解是一个数，而二元一次方程的一个解是一对数（两个数）3）若方程有解，在方程解的个数上，一元一次方程只有一个解，而二元一次方程的解有无数个3、解二元一次方程组，其基本思路是：利用消元法，将它转化为我们熟悉的一元一次方程来求解，解题步骤可表示成：二元一次方程组 一元一次方程      求出一个未知数的值 求出另一个未知数的值→写出方程组的解其中消元是关键的一步二、典例选讲例1、解下列方程组①②①②（1）            （2）        例2、解下列方程组：①②①②（1）          （2）        例3、已知 ，求x,y        例4、甲、乙二人同解一个方程组①②   甲解得 乙解得 经检查，甲仅因为看错了方程①中y的系数，乙仅看错了方程②中x的系数，求方程组正确的解。

    例5、已知 ，且x、y、z均不为零，求 的值      例6、已知某一铁桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车开始上桥到完全过桥共用1分钟，整列火车完全在桥上的时间为40秒，求火车的速度和车长提示：火车从开始上桥到完全过桥所走行程为桥长与车长的和解法1：（列一元一次方程）                                解法2：（列二元一次方程组）         例7、有甲、乙、丙三种货物，若购甲7件，乙3件，丙1件，共需316元；若购甲10件，乙4件，丙1件，共需420元，现在购甲、乙、丙各一件共需多少元？        例8、有三块牧场，草长得一样密一样快，面积分别为 公顷、10公顷和24公顷，第一块12头牛可吃4星期，第二块21头牛可吃9星期，第三块可供多少头牛吃18个星期？提示：这里涉及的草量问题有两种，一是原有的草量，二是每公顷每周的新生草量，显然，每头牛每周吃掉的草量应为一个定值，关键是找出“供与销”这两者之间的关系         第十一讲  一元一次不等式和一元一次不等式组一、知识点拨1、不等式的三条基本性质①不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.其中性质③是极易疏忽和出错的地方，这除了受等式性质的影响外，还有不等式前两个性质的影响.2、不等式的解与不等式的解集在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.一般地，若给定的不等式有解，它都有无限多个解，凡能使不等式成立的未知数的值都是不等式的一个解，一个不等式所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称解集，不等式的解和不等式的解集是两个不同的概念，它们反映了同一事物中个体与整体的关系，不等式的解集是由不等式的无限多个解组成的一个集合，每一个解都是这个集合的一个元素.3、解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系（1）两者都只含一个未知数，未知数的次数都是1，左右两边都是整式.但一元一次不等式表示不等关系，一元一次方程表示相等关系.（2）解法步骤上，两者都是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等过程，把左边转换成变元x（或其他字母），右边变成 ，其中移项时不改变不等号方向，但在去分母及未知数系数化为1这步，当不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变，而方程在未知数系数化。