建立空间直角坐标系的几个常见思路.docx

名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载建立空间直角坐标系的几种常见思路坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体几何问题的重要方法， 运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系．依据空间几何图形的结构特点，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系， 是运用坐标法解题的关键． 下面举例说明几种常见的空间直角坐标系的构建策略．一、利用共顶点的相互垂直的三条棱构建直角坐标系例 1 已知直四棱柱 ABCD － A1B1C1D 1 中，AA 1＝ 2，底面 ABCD 是直角梯形， ∠ A 为直角，AB∥ CD ， AB＝ 4，AD＝ 2， DC ＝ 1，求异面直线 BC1 与 DC 所成角的余弦值．解析：如图 1，以 D 为坐标原点，分别以 DA、DC 、DD 1 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，就 C1（０， 1， 2）、B（ 2， 4，０），∴ BC1 〔 2， 3，2〕 ， CD〔0， 1，0〕 ．设 BC1 与 CD 所成的角为 ，就 cosBC1 CD BC1 CD3 17．17二、利用线面垂直关系构建直角坐标系例 2 如图 2，在三棱柱 ABC－ A1B1C1 中， AB⊥侧面 BB1C1 C， E 为棱 CC 1 上异于 C、C1 的一点， EA⊥EB 1．已知 AB正切值．2 ， BB1＝ 2，BC＝ 1，∠ BCC1＝ ．求二面角 A－ EB1－ A1 的平面角的3解析：如图 2，以 B 为原点，分别以 BB1、BA 所在直线为 y 轴、 z 轴，过 B 点垂直于平面 AB1的直线为 x 轴建立空间直角坐标系．由于 BC ＝1， BB1＝ 2， AB＝ 2 ，∠ BCC1 ＝ ，3∴在三棱柱 ABC － A1B1 C1 中，有 B（０，０，０）、A（０，０， 2 ）、B（1０，2，０）、c3 ， 1 ，0 、2 23 3C1 ， ，0 ．2 2设 E 3 ， a，0 且 1 a 3 ，2 2 2由 EA⊥ EB1，得EA EB1 0 ，即 3 ，a， 23 ，2a，02 2 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载3 2 3 1 3a〔 a 2〕 a 2 a 0 ，∴ a a 0 ，4 4 2 2即 1 3 3 1 ．a 或 a （舍去）．故 E ，，02 2 2 2由已知有EA EB1 ，B1 A1EB1，故二面角 A－EB1－ A1 的平面角 的大小为向量B1A1 与 EA的夹角．因 B1 A1 BA〔0，0，2〕 ， EA3 ， 1 ， 2故 cosEA B1 A1 EA B1 A12 22 ，即 tan 23 2三、利用面面垂直关系构建直角坐标系例 3 如图 3，在四棱锥 V－ ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形， 平面 VAD⊥底面 ABCD ．（ 1）证明 AB⊥平面 VAD；（ 2）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余弦值．解析：（ 1）取 AD 的中点 O 为原点，建立如图 3 所示的空间直角坐标系．设 AD ＝ 2，就 A（ 1，０，０） 、D（－ 1，０，０） 、B（1， 2，０）、V（０，０， 3 ），∴ AB ＝（０， 2，０）， VA ＝（ 1，０，－ 3 ）．由 AB VA〔0，2，0〕 〔1，0，3〕 0 ，得AB⊥VA．又 AB⊥ AD，从而 AB 与平面 VAD 内两条相交直线 VA、 AD 都垂直，∴ AB⊥平面 VAD；（ 2）设 E 为 DV 的中点，就 E1 ，0， 32 2∴ EA3 ，0，3 ， EB3 ，2，3 ， DV〔1，0， 3〕 ．2 2 2 2∴ EB DV3 ，2，3 〔1，0，3〕 0 ，2 2∴ EB⊥DV ．又 EA⊥ DV，因此∠ AEB 是所求二面角的平面角． 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载∴ cosEA，EBEA EB 21．EA EB 7故所求二面角的余弦值为 21 ．7四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例 4 已知正四棱锥 V－ ABCD 中， E 为 VC 中点，正四棱锥底面边长为 2a，高为 h．（ 1）求∠ DEB 的余弦值；（ 2）如 BE⊥ VC，求∠ DEB 的余弦值．解析：（1）如图 4，以 V 在平面 AC 的射影 O 为坐标原点建立空间直角坐标系， 其中 O x∥BC， Oy∥ AB，就由 AB ＝2a， OV＝ h，有 B（a， a，０）、C（ -a， a，０）、D （-a， -a，０）、V（ 0，0，a a hh）、 E ， ，2 2 2∴ BE3 a， a hDE a 3 a h， ，2 2 2， ， ．2 2 2BE DE6a 2 h 2∴ cosBE，DEBE DE，10a 2 h26a 2 h2即 cos∠ DEB2 2 ；10a h（ 2）由于 E 是 VC 的中点，又 BE⊥ VC，所以 BE VC0 ，即 3 a， a h〔 a， a，h 〕 0 ，，2 2 222∴ 3 a2 a h0 ，∴ h2a ．2 2 26a 2 h2 1 1这时 cosBE，DE2 210a h，即 cos∠ DEB ．3 3引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题防止了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．下面以高考考题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径．五、利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有肯定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等） ，利用自身对称性可建立空间直角坐标系． 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载例 5 已知两个正四棱锥 P－ABCD 与Q－ ABCD 的高都为 2，AB ＝4．（ 1）证明： PQ⊥平面 ABCD ；（ 2）求异面直线 AQ 与 PB 所成的角；（ 3）求点 P 到平面 QAD 的距离．简解：（ 1）略；（ 2）由题设知， ABCD 是正方形，且 AC⊥ BD ．由（ 1）， PQ ⊥平面 ABCD ，故可分别以直线CA， DB， QP为 x ， y ， z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 （ 如 图 1 ）， 易 得AQ 〔 2 2，0，2〕，PB〔0，2 2，2〕 ， cosAQ，PBAQ PB 1．AQ PB 3所求异面直线所成的角是arccos 1 ．3（ 3）由（ 2）知，点D 〔0，2 2，0〕，AD〔 2 2，2 2，0〕，PQ〔0，0，4〕 ．设 n= （ x ， y， z）是平面 QAD 的一个法向量，就n AQ 0，得2 x z0，取 x ＝ 1，得n AD 0， x y 0，n = 〔1， 1，2 〕．点 P 到平面 QAD 的距离 dPQ n n2 2 ．点评：利用图形所具备的对称性， 建立空间直角坐标系后， 相关点与向量的坐标应简单得出． 第（ 3）问也可用“等体积法”求距离． 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -。