高中学科模拟考试试卷040310.doc

第八章 平面解析几何 8.8 曲线与方程练习 理[A组基础达标练]1．[2015石家庄模拟]已知点Q在椭圆C：＋＝1上，点P满足＝(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，则点P的轨迹为(　　)A．圆 B．抛物线C．双曲线 D．椭圆答案　D解析　因为点P满足＝(＋)，所以Q是线段PF1的中点，设P(a，b)，由于F1是椭圆C：＋＝1的左焦点，则F1(－，0)，故Q，由点Q在椭圆C：＋＝1上，则P点的轨迹方程为＋＝1，故点P的轨迹方程为椭圆．2．方程(x2＋y2－4)＝0的曲线形状是(　　)答案　C解析　原方程可化为或x＋y＋1＝0.显然方程表示直线x＋y＋1＝0和圆x2＋y2－4＝0在直线x＋y＋1＝0的右上方部分，故选C.3．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　　)A.－＝1 B.－＝1C.－＝1(x>3) D.－＝1(x>4)答案　C解析　如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．4．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为坐标原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　　)A．直线 B．椭圆C．圆 D．双曲线答案　A解析　设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)，∵＝λ1＋λ2，∴又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．5．动点P为椭圆＋＝1(a>b>0)上异于椭圆顶点(a,0)的一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，动圆C与线段F1P、F1F2的延长线及线段PF2相切，则圆心C的轨迹为(　　)A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．直线答案　D解析　如图所示，设三个切点分别为M、N、Q.∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PM|＋|F2N|＝|F1N|＋|F2N|＝|F1F2|＋2|F2N|＝2a，∴|F2N|＝a－c，∴N点是椭圆的右顶点，∴CN⊥x轴，∴圆心C的轨迹为直线．6．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为(　　)A．x2－＝1(x>1) B．x2－＝1(x<－1)C．x2＋＝1(x>0) D．x2－＝1(x>1)答案　A解析　设另两个切点为E、F，如图所示，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NF|＝|NB|.从而|PM|－|PN|＝|ME|－|NF|＝|MB|－|NB|＝4－2＝2<|MN|，所以P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．a＝1，c＝3，∴b2＝8.故方程为x2－＝1(x>1)．故选A.7．已知|AB|＝2，动点P满足|PA|＝2|PB|，试建立恰当的平面直角坐标系，动点P的轨迹方程为________．答案　2＋y2＝解析　如图所示，以AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)．设P(x，y)，因为|PA|＝2|PB|，所以＝2.两边平方，得(x＋1)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]．整理，得x2＋y2－x＋1＝0，即2＋y2＝.故动点P的轨迹方程为2＋y2＝.8．动圆与⊙C1：x2＋y2＝1外切，与⊙C2：x2＋y2－8x＋12＝0内切，则动圆圆心的轨迹是________．答案　以C1，C2为焦点的双曲线的右支解析　⊙C2的圆心为C2(4,0)，半径为2，设动圆的圆心为M，半径为r，因为动圆与⊙C1外切，又与⊙C2内切，所以r>2，|MC1|＝r＋1，①|MC2|＝r－2.②由①－②得|MC1|－|MC2|＝3<|C1C2|＝4.根据双曲线的定义知，动圆圆心的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线靠近C2的一支．9．设x，y∈R，i、j为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，向量a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8，则点M(x，y)的轨迹方程为________．答案　＋＝1解析　由已知得a＝(x，y＋2)，b＝(x，y－2)，而|a|＋|b|＝8，故有＋＝8①，由①式知动点M(x，y)到两定点F1(0，－2)，F2(0,2)的距离之和为一常数，满足椭圆的定义，故M点轨迹为以F1、F2为焦点的椭圆，椭圆的长半轴长a＝4，所以短半轴长b＝2，故其轨迹方程为＋＝1.10．[2016长春高三调研]已知平面上的动点P(x，y)及两个定点A(－2,0)，B(2,0)，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2且k1k2＝－.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设直线l：y＝kx＋m与曲线C交于不同两点M，N，当OM⊥ON时，求O点到直线l的距离(O为坐标原点)．解　(1)设P(x，y)，由已知得＝－，整理得x2＋4y2＝4，即＋y2＝1(x≠2)．(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，消去y得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，得4k2＋1－m2>0.x1＋x2＝－，x1x2＝，∵OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0，即x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，∴(1＋k2)＋km＋m2＝0，∴m2＝(k2＋1)满足4k2＋1－m2>0，∴O点到l的距离为d＝，即d2＝＝，∴d＝.[B组能力提升练]1．[2015郑州一模]如图，△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，若tan∠ADP＋2tan∠BCP＝10，则点P在平面α内的轨迹是(　　)A．圆的一部分 B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分答案　B解析　由题意可知＋2＝10.则PA＋PB＝40>AB＝6，又因P、A、B三点不共线，故点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆的一部分．2．[2016皖南八校联考]如图，正方体AC1中，＝＝，＝＝，点P为平面EFGH内的一动点，且满足∠PAA1＝∠C1AA1，则点P的轨迹是(　　)A．抛物线B．圆C．椭圆D．双曲线答案　C解析　因为点P为平面EFGH内一动点而且保证∠PAA1＝∠C1AA1，故点P的轨迹为以AA1为轴，AC1为母线，将AC1进行旋转与平面EFGH相交形成的曲线，又因为＝＝，＝＝，所以这个轨迹是椭圆．3．[2014广东高考]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．解　(1)由题意知c＝，e＝＝，∴a＝3，b2＝a2－c2＝4，故椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)设两切线为l1，l2，①当l1⊥x轴或l1∥x轴时，l2∥x轴或l2⊥x轴，可知P(3，2)．②当l1与x轴不垂直且不平行时，x0≠3，设l1的斜率为k，且k≠0，则l2的斜率为－，l1的方程为y－y0＝k(x－x0)，与＋＝1联立，整理得(9k2＋4)x2＋18(y0－kx0)kx＋9(y0－kx0)2－36＝0，∵直线l1与椭圆相切，∴Δ＝0，即9(y0－kx0)2k2－(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0，∴(x－9)k2－2x0y0k＋y－4＝0，∴k是方程(x－9)x2－2x0y0x＋y－4＝0(x0≠3)的一个根，同理，－是方程(x－9)x2－2x0y0x＋y－4＝0(x0≠3)的另一个根，∴k＝，整理得x＋y＝13，其中x0≠3，∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝13(x≠3)．检验P(3，2)满足上式．综上，点P的轨迹方程为x2＋y2＝13.4．[2014湖北高考]在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2,1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．解　(1)解法一(直接法)：设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即＝|x|＋1，化简整理得y2＝2(|x|＋x)．故点M的轨迹C的方程为y2＝解法二(定义法)：根据题意，设点M(x，y)，当x<0时，y＝0，当x≥0时，动点M到F(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，所以动点M的轨迹为以点F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x，综上，轨迹C的方程为y2＝(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x，C2：y＝0(x<0)．依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.(*1)①当k＝0时，此时y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.②当k≠0时，方程(*1)根的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．(*2)设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.(*3)(ⅰ)若由(*2)(*3)解得k<－1或k>.即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此直线l与轨迹C恰好有一个公共点．(ⅱ)若或由(*2)(*3)解得k∈，或－≤k<0.即当k∈时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当k∈时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．故当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．(ⅲ)若，由②③解得－1