江苏专转本高等数学 常微分方程 例题加习题.doc

同方专转本高等数学核心教程- 142 -第五章第五章 常微分方程（简记常微分方程（简记 ODE））本章主要知识点本章主要知识点可分离变量的 ODE一阶线性非齐次常微分方程及推广二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程一些特殊类方程一、可分离变量的一、可分离变量的 ODE1．基本型的解法．基本型的解法基本型：( )( )dyG x H ydx基本解法： ( )( )dyG x dxH y( )( )dyG x dxH y例 5.1． 1)0(,yedxdyyx解：dxedyexydxedyexy通解为： 将得：ceexy1, 0yx得 1 ec1eeexy例 5.2． (1)lny yyxdx解：(1)lny dyxdxy第五章 常微分方程- 143 -，1(1)lndyxdxy得：ln ||lnyyxxxC例 5.3．dxyxdyyx)1 ()1 (122解：，dx xx ydyy2211)1 (22(1) 11y dyxdxyx得：221arctanln 112yyxC 例 5.4．已知满足，求。

)f x 0( )(1) ( )1xf t dtxf x( )f x解：由知方程两边对求导得 0( )(1) ( )1xf t dtxf x(0)1f x，分离变量求得，( )( )(1)( )0f xf xxfx2( )(1)cf xx将代入得，0)1f 1c  21( )(1)f xx 2．可转化的可分离变量的齐次方程．可转化的可分离变量的齐次方程( )xyfy 方法：令( )ypyp x xypxpxxdx ppfdppfdxdpxp)()(例 5.5．yxyx dxdy 解：xyxydxdy  11令pp dxdpxpxppypxyxyp11'',同方专转本高等数学核心教程- 144 -pppppp dxdpx121 112xdx ppdpp221)1 ( xdx pdpp2)1 (2)1 (，Cxppln21ln212将代入即可xyp 例 5.6．dxyxdyx)(222解： ，2)(1xy dxdy令,ypypx ypxpx21dppxpdx ppdxdpx21xdx ppdp21221()2 13()()22d pdx xp  1222arctanln33p xC即，，将代入即可。

221arctanln33pxCxyp 二、一阶线性齐次方程（二、一阶线性齐次方程（ODE））1．基本型．基本型公式公式( )( )yp x yq x公式：( )( )(( ))p x x dxyq x eC e注：应用此公式要注意：不定积分不带 C；基本型又称标准型例 5.7．32xyyx第五章 常微分方程- 145 -解：，其中22yyxx22( ), ( )p xq xxx 2( )2lnp x dxdxxx ，( )21p x dxex( )2p x dxex2( )2( )p x dxxq x edxdxxx由公式得， )( )232(( ))()p x x dxyq x eC exC xxCx例 5.8．1)(,sin'yxyxy解：xxqxpxxyxysin,1,sin1'， lnp x dxxxxdxxxexqdxxpcossin)()(lncos( cos)xCxyxC ex 将代入得，，1,yx11C 1C。

xxycos12．．Bernoulli 方程方程( )( )nyp x yq x y方法：令 ，方程可简化为1 nyz(1) ( )(1) ( )dzn P x zn Q xdx例 5.9．2xyydxdyx解：令 ，则，得zy1 zy1dxdz zdxdy2122111 zxzdxdz zx同方专转本高等数学核心教程- 146 -xzdxdzx1,1, 11qxpzxdxdz，xdxxdxxpln1)(xdxxdxexqdxxpln11)()(xcxecxzx)(ln)(lnln故，)(ln1 cxxy例 5.10．4 2323yyx yx解：令，代入即得：41133 3413,,dydzyyzyzdxzdx2 42 343213123xzxdxdz zxzxdxdz z即xdxxpxqxpln32)(,,322cxdxxdxxxdxexqdxxp37 34 32 2)( 73)(72 3327/3331()37()7zxC xy xxC  三、二阶常系数线性三、二阶常系数线性 ODE1．齐次方程，其中为常数。

0ypyqy, p q求解步骤：1）特征方程 ，求根02qp21,2） 互异实根，，21,xxececy21 21，；21xxxececy21 21，)0(2, 1i12(cossin)xyecxcx第五章 常微分方程- 147 -其中为任意实数21,cc例 5.11．043 yyy解：得=4，-1，, 0432（其中为任意实数）xxececy24 121,cc例 5.12．440yyy解：，2 12440,222 12xxyc ec xe例 5.13．40yy解：，)1(2, 042ii12cos2sin2ycxcx例 5.14．0yyy解：，，210 13 2i1 2 1233(cossin)22xyeCxCx2．非齐次方程  cossinx mnypyqyePxxPxx其中，表示次多项式 mPx nPx,m n解结构：齐次方程通解特解y yy特解形式设定如下：y（1）识别；,,,m n 同方专转本高等数学核心教程- 148 -（2）计算，和特征根相等个数，。

ik12, max,lm n（3）特解可设为，   ˆcossinkx llyxx eQxxQxx其中为 次多项式  ,llQxQx)l注：这一公式是将通常教科书上若干公式统一而成例 5.15．22xyyye解：（１），20yyy，，2210, 2110 121,12 齐次通解1 2 12xxyC eC e（２），22cos 00 sin 0xxeexx ，1,0,0mn1i，0,max,0klm n又设，代入原方程得0cos 0sin 0xxyxeAxBxAe，221xxxxAeAeAeeAxye1 2 12xxxyC eC ee例 5.16．2xyyyxe解：（１），2 1220,210,1yyy 12xxyC eC xe（２），cos 00 sin 0xxxeexxx ，，1,0,1,0mn1i2,max,1klm n第五章 常微分方程- 149 -可设 2cos 0sin 0xyx eAxBxCxDx232xxx eAxBAxBxe计算得： 3232xyAxAB xBx e  326642xyAxAB xAB xB e 代入原方程得，，162,06AxBxAB31 6xyx e。

121 6xxxyC eC xexe例 5.17．4sin2xyyxe解：（１），240,40,2yyi 12cos2sin2yCxCx（２）的特解4sin2yyx1y，0sin 20 cos21 sin2xxexx ，，，0,2,0mn2iimax,0lm n1k 又设0 1cos2sin2cos2sin2xyxeAxBxx AxBx12 sin22 cos2cos2sin2yAxBx xAxBx   14 sin24 cos24 cos24 sin2yAxBxxAxBx  代入原方程得1144 sin24 cos2sin2yyAxBxx  解得；1,04AB 1,cos24xyx （3）的特解4xyye2y同方专转本高等数学核心教程- 150 -可设，代入得，D＝，2xyDe5xxDee1 521 5xye综合得12121cos2sin2cos245xxyyyyCxCxxe例 5.18．设其中为连续函数，求的具体表达式。

0( )sin() ( ),xf xxxt f t dt( )f x( )f x解：原式两边求导得： 00( )cos( )( )( )cos( ),xxfxxf t dtxf xxf xxf t dt再求导得：，即且( )sin( )fxxf x ( )( )sinfxf xx (0)0,(0)1ff （1）( )( )0fxf xcossinfAxBx（2）设特解为代入原方程得(cossin ),fx CxDx1,02CD1cos2fxx1( )cossincos2f xffAxBxxx由条件得，(0)0,(0)1ff 10,2AB1( )(sincos ).2f xxxx四、特殊类方程四、特殊类方程（1）,等( )yf x ( )yf x 方法：直接积分例 5.19．2xyxe 解： 2xyxe 积分， 2 22 11()22xxxyxedxec 第五章 常微分方程- 151 -再积分，3 2 121 64xxyec xc（2） 不显含( ,)yf y yx方法：令，则( )yp y ，则得到dpdp dydpypdxdy dxdy ，降为一阶方程( , )dppf y pdy例 5.20．2()0yyy解：令 ，' ypdpypdy ，20dpy ppdy()0dpp ypdy如果，则，0p 0dpypdydpdy py或1lnlnlnpyC1pC y1yC y 分离积分法 1 2C xyC e如果，那么 （其包含在上述解之中）0p yC方程通解 （其中,为任意实数） 。

1 2c xyc e1c2c单元练习题单元练习题 51．下列微分方程哪一个是线性的（ ）(A) (B) 2()sinyyx22yyx (C) (D) 2sincosyyxx 24yy 2．方程，它是 阶微分方程。