专题4（万有引力）.docx

考题一　天体质量(密度)的估算求解中心天体质量密度的方法1.利用天体表面的重力加速度g和天体半径R求解由于G＝mg，故天体质量M＝.2.利用卫星绕天体做匀速圆周运动求解(1)已知卫星的轨道半径r和该轨道上的重力加速度g，根据＝mg，得M＝；(2)已知卫星线速度v和轨道半径r，根据＝得M＝；(3)已知卫星运转周期T和轨道半径r，由＝mr得M＝；(4)已知卫星线速度v和运转周期T，根据＝mv和r＝得M＝.3.天体密度的估算一般在质量估算的基础上，利用M＝ρ·πR3进行.例1　宇宙中有两颗相距无限远的恒星S1、S2，半径均为R0.图1分别是两颗恒星周围行星的公转周期T2与半径r3的图象，则(　　)图1A.恒星S1的质量大于恒星S2的质量B.恒星S1的密度小于恒星S2的密度C.恒星S1的第一宇宙速度大于恒星S2的第一宇宙速度D.距两恒星表面高度相同的行星，S1的行星向心加速度较大解析　两颗恒星周围的行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，G＝mr，变形得＝.故图象的斜率越大，质量越小.故恒星S1的质量小于恒星S2的质量.故A错.因为两颗恒星的半径相等，所以体积相等，故恒星S1的密度小于恒星S2的密度，故B对.由G＝m变形后得第一宇宙速度v＝ ，即质量越大，第一宇宙速度越大.故恒星S1的第一宇宙速度小于恒星S2的第一宇宙速度，故C错.行星向心加速度a＝，行星距两恒星表面高度相同，故质量越大，加速度越大，故D错.答案　B变式训练1.地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域.进一步探测发现在地面P点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图2所示.假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计.如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg(k＜1).已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是(　　)图2A. B.C. D.答案　D解析　如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满，地面质量为m的物体重力为mg，没有填满时是kmg，故空腔填满后引起的引力为(1－k)mg；由万有引力定律，有：(1－k)mg＝G，解得：V＝，D对.2.某行星外围有一圈厚度为d的发光带(发光的物质)，简化为如图3甲所示模型，R为该行星除发光带以外的半径.现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确地观测，发现发光带绕行星中心的运行速度与到行星中心的距离r的关系如图乙所示(图中所标量为已知)，则下列说法正确的是(　　)图3A.发光带是该行星的组成部分B.该行星的质量M＝C.行星表面的重力加速度g＝D.该行星的平均密度为ρ＝答案　BC解析　若发光带是该行星的组成部分，则其角速度与行星自转角速度相同，应有v＝ωr，v与r应成正比，与图不符，因此该发光带不是该行星的组成部分，故A错误，发光带是环绕该行星的卫星群，由万有引力提供向心力，则有：G＝得该行星的质量为：M＝；由题图知，r＝R时，v＝v0，则有：M＝.故B正确.当r＝R时有mg＝m，得行星表面的重力加速度g＝，故C正确.该行星的平均密度为ρ＝＝，故D错误，故选B、C.3.“嫦娥二号”绕月卫星于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空，并获得了圆满成功.“嫦娥二号”新开辟了地月之间的“直航航线”，即直接发射至地月转移轨道，再进入距月面约h＝1×105 m的圆形工作轨道，开始进行科学探测活动.设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g月，万有引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)A.由题目条件可知月球的平均密度为B.“嫦娥二号”在工作轨道上绕月球运行的周期为2π C.“嫦娥二号”在工作轨道上的绕行速度为D.“嫦娥二号”在工作轨道上运行时的向心加速度为()2g月答案　AD解析　在月球表面重力与万有引力相等，由G＝mg月可得月球质量M＝，据密度公式可得月球密度ρ＝＝＝，故A正确；根据万有引力提供圆周运动向心力有G＝m(R＋h)，可得周期T＝ ＝ ，故B错误；根据万有引力提供圆周运动向心力G＝m可得“嫦娥二号”绕行速度为v＝ ＝ ，故C错误；根据万有引力提供圆周运动向心力G＝ma可得“嫦娥二号”在工作轨道上的向心加速度a＝＝()2g月，故D正确.考题二　人造卫星问题解答卫星问题的三个关键点1.根据G＝F向＝m＝mrω2＝mr＝ma，推导、记忆v＝ 、ω＝ 、T＝ 、a＝等公式.2.理解掌握第一宇宙速度的意义、求法及数值、单位.3.灵活应用同步卫星的特点，注意同步卫星与地球赤道上物体的运动规律的区别与联系.例2　为“照亮”嫦娥四号“驾临”月球背面之路，一颗承载地月中转通信任务的中继卫星将在嫦娥四号发射前半年进入到地月拉格朗日L2点.如图4所示，在该点，地球、月球和中继卫星位于同一直线上，且中继卫星绕地球做圆周运动的轨道周期与月球绕地球做圆周运动的轨道周期相同，则(　　)图4A.中继卫星做圆周运动的向心力由地球和月球的引力共同提供B.中继卫星的线速度大小小于月球的线速度大小C.中继卫星的加速度大小大于月球的加速度大小D.在地面发射中继卫星的速度应大于第二宇宙速度解析　卫星的向心力由月球和地球引力的合力提供，则A正确.卫星与月球绕地球同步运动，角速度相等，根据v＝rω，知卫星的线速度大于月球的线速度.故B错误；根据a＝rω2知，卫星的向心加速度大于月球的向心加速度.故C正确；在地面发射中继卫星的速度应小于第二宇宙速度，则D错误.答案　AC变式训练4.(2016·全国丙卷·14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(　　)A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律答案　B解析　开普勒在天文观测数据的基础上总结出了开普勒天体运动三定律，找出了行星运动的规律，而牛顿发现了万有引力定律.5.水星或金星运行到地球和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星凌日”.已知地球的公转周期为365天，若将水星、金星和地球的公转轨道视为同一平面内的圆轨道，理论计算得到水星相邻两次凌日的时间间隔为116天，金星相邻两次凌日的时间间隔为584天，则下列判断合理的是(　　)A.地球的公转周期大约是水星的2倍B.地球的公转周期大约是金星的1.6倍C.金星的轨道半径大约是水星的3倍D.实际上水星、金星和地球的公转轨道平面存在一定的夹角，所以水星或金星相邻两次凌日的实际时间间隔均大于题干所给数据答案　BD解析　水星相邻两次凌日的时间间隔为t＝116天，设水星的周期为T1，则有：t－t＝2π，代入数据解得T1≈88天，可知地球公转周期大约是水星的4倍，故A错误；金星相邻两次凌日的时间间隔为584天，设金星的周期为T3，则有：t－t＝2π，代入数据解得T3≈225天，可知地球的公转周期大约是金星的1.6倍，故B正确；根据G＝mr()2，得r＝ ，因为水星的公转周期大约是金星的0.4倍，则水星的轨道半径大约是金星的0.5倍，故C错误；由所给资料，若运行轨道平面不存在夹角，那么行星凌日间隔时间会与理论时间一致，而实际与理论不同，故运行轨道平面必然存在夹角，故D正确.考题三　双星与多星问题1.双星问题的模型构建对于做匀速圆周运动的双星问题，双星的角速度(周期)以及向心力大小相等，基本方程式为G＝M1r1ω2＝M2r2ω2，式中L表示双星间的距离，r1，r2分别表示两颗星的轨道半径，L＝r1＋r2.2.做匀速圆周运动的双星问题中需要注意的几个关键点(1)双星绕它们连线上的某点做匀速圆周运动，两星轨道半径之和与两星距离相等；(2)双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相等；(3)双星做匀速圆周运动的向心力由双星间相互作用的万有引力提供，大小相等；(4)列式时须注意，万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，而不是轨道半径(双星系统中两颗星的轨道半径一般不同).抓住以上四个“相等”，即向心力、角速度、周期相等，轨道半径之和与两星距离相等，即可顺利求解此类问题.例3　天体A和B组成双星系统，围绕两球心连线上的某点做匀速圆周运动的周期均为T.天体A、B的半径之比为2∶1，两天体球心之间的距离为R，且R远大于两天体的半径.忽略天体的自转，天体A、B表面重力加速度之比为4∶1，引力常量为G，求A天体的质量.[思维规范流程]对A、B分别列牛顿第二定律表达式对A：G＝M1R1 ①对B：G＝M2R2 ②轨道半径与两天体之间关系R1＋R2＝R ③在A、B表面：FB＝G对A：4mg＝ ④对B：mg＝ ⑤结论得M1＝ ⑥每式各2分变式训练6.美国在2016年2月11日宣布“探测到引力波的存在”.天文学家通过观测双星轨道参数的变化来间接验证引力波的存在，证实了GW150914是一个36倍太阳质量的黑洞和一个29倍太阳质量的黑洞合并事件.假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动，且这两个黑洞的间距缓慢减小.若该黑洞系统在运动过程中各自质量不变且不受其他星系的影响，则关于这两个黑洞的运动，下列说法正确的是(　　)A.这两个黑洞运行的线速度大小始终相等B.这两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等C.36倍太阳质量的黑洞轨道半径比29倍太阳质量的黑洞轨道半径大D.随两个黑洞的间距缓慢减小，这两个黑洞运行的周期也在减小答案　D解析　这两个黑洞共轴转动，角速度相等，根据v＝ωr可知，由于不知道两个黑洞的转动半径关系，所以线速度大小不一定相等，故A错误；根据a＝ω2r可知，由于不知道两个黑洞的转动半径关系，所以向心加速度大小不一定相等，故B错误；两个黑洞都是做圆周运动，则＝m1ω2r1＝m2ω2r2，可以得到半径与质量成反比关系，质量大的半径小，故选项C错误；根据G＝m1可得，m2＝r1，根据G＝m2可得，m1＝r2，所以m1＋m2＝(r1＋r2)＝，当m1＋m2不变时，r减小，则T减小，即双星系统运行周期会随间距减小而减小，故D正确.7.由三颗星体构成的系统，叫做三星系统.有这样一种简单的三星系统：质量刚好都相同的三个星体a、b、c在三者相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同周期的圆周运动，若三个星体的质量均为m，三角形的边长为a，万有引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)A.三个星体做圆周运动的轨道半径为aB.三个星体做圆周运动的周期均为2πaC.三个星体做圆周运动的线速度大小均为 D.三个星体做圆周运动的向心加速度大小均为答案　B解析　由几何关系知；它们的轨道半径为r＝＝a，故A错误；根据合力提供向心力有：2·cos 30˚＝ma′＝m＝mr得星体做圆周运动的周期为：T＝2πa，线速度为：v＝ ，向心加速度为：a′＝，故B正确，C、D错误.专题规范练1.有研究表明，目前月球远离地球的速度是每年3.82±0.07cm.则10亿年后月球与现在相比(　　)A.绕地球做圆周运动的周期变小B.绕地球做圆周运动的加速度变大C.绕地球做圆周运动的线速度变小D.地月之间的引力势能变小答案　C解析　对月球进行分析，根据万有引力提供向心力，则：＝m()2r，则：T＝ ，由于半径变大，故周期变大，故选项A。