[研究生入学考试题库]考研数学三分类模拟56.docx

[研究生入学考试题库]考研数学三分类模拟56解答题问题:1. 设0＜a＜b，证明： 答案:证明 首先证明 因为，所以令， 由，而b＞a，所以φ(b)＜0，即 再证 方法一 因为(b2+a2)(lnb-lna)-2a(b-a)＞0，所以令f(x)=(x2+a2)(lnx-lna)-2a(x-a)，f(a)=0， 由因为b＞a，所以f(b)＞f(a)=0，即 方法二 令f(x)=lnx，则存在ξ∈(a，b)，使得，其中0＜a＜ξ＜b，则，所以．问题:2. 求由方程x2+y3-xy=0确定的函数在x＞0内的极值，并指出是极大值还是极小值．答案:解 根据隐函数求导数法，得． 令，得y=2x，再将y=2x代入原方程得，函数值为 ，将，y'=0代入y"得 ，所以为函数的极大值点，且极大值为．问题:3. 设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f'(0)=f(1)=f'(1)=0．证明：方程f"(x)-f(x)=0在(0，1)内有根．答案:证明 令φ(x)=e-x[f(x)+f'(x)]． 因为φ(0)=φ(1)=0，所以由罗尔定理，存在c∈(0，1)使得φ'(c)=0， 而φ'(x)=e-x[f"(x)-f(x)]且e-x≠0，所以方程f"(c)-f(c)=0在(0，1)内有根． 问题:4. 设f(x)=3x2+Ax-3(x＞0)，A为正常数，问A至少为多少时，f(x)≥20?答案:解 f(x)≥20等价于A≥20x3-3x5， 令φ(x)=20x3-3x5，由φ'(x)=60x2-15x4=0，得x=2， φ"(x)=120x-60x3，因为φ"(2)=-240＜0，所以x=2为φ(x)的最大值点，最大值为 φ(2)=64，故A至少取64时，有f(x)≥20． 问题:5. 设f(x)在[0，+∞)内二阶可导，f(0)=-2，f'(0)=1，f"(x)≥0．证明：f(x)=0在(0，+∞)内有且仅有一个根．答案:证明 因为f"(x)≥0，所以f'(x)单调不减，当x＞0时，f'(x)≥f'(0)=1． 当x＞0时，f(x)-f(0)=f'(ξ)x，从而f(x)≥f(0)+x，因为，所以． 由f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)=-2＜0，，则f(x)=0在(0，+∞) 内至少有一个根，又由f'(x)≥1＞0，得方程的根是唯一的． 设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2)．6. 证明方程fn(x)=1有唯一的正根xn；答案:证明 令φn(x)=fn(x)=1，因为φn(0)=-1＜0，φn(1)=n-1＞0，所以φn(x)在(0，1)(0，+∞)内有一个零点，即方程fn(x)=1在(0，+∞)内有一个根． 因为φ'n(x)=1+2x+…+nxn-1＞0，所以φn(x)在(0，+∞)内单调增加，所以φn(x)在(0，+∞)内的零点唯一，所以方程fn(x)=1在(0，+∞)内有唯一正根，记为xn． 7. 答案:解 由fn(xn)-fn+1(xn+1)=0，得 ，从而xn＞xn+1，所以单调减少，又xn＞0(n=1，2，…)，故存在，设，显然A≤xn≤x1=1，由，得，两边求极限得，解得．问题:8. 设a＞0，讨论方程aex=x2根的个数．答案:解 aex=x2等价于x2e-x-a=0． 令f(x)=x2e-x-a，由f'(x)=(2x-x2)e-x=0得x=0，x=2． 当x＜0时，f'(x)＜0；当0＜x＜2时，f'(x)＞0；当x＞2时，f'(x)＜0， 于是x=0为极小点，极小值为f(0)=-a＜0；x=2为极大点，极大值为， 又． (1)当时，方程有三个根； (2)当时，方程有两个根． (3)当时，方程只有一个根． 问题:9. 就k的不同取值情况，确定方程x3-3x+k=0根的个数．答案:解 令f(x)=x3-3x+k， 由f'(x)=3x2-3=0，得驻点为x1=-1，x2=1．f"(x)=6x，由f"(-1)=-6，f"(1)=6，得x1=-1，x2=1分别为f(x)的极大值点和极小值点，极大值和极小值分别为f(-1)=2+k，f(1)=k-2． (1)当k＜-2时，方程只有一个根； (2)当k=-2时，方程有两个根，其中一个为x=-1，另一个位于(1，+∞)内； (3)当-2＜k＜2时，方程有三个根，分别位于(-∞，-1)，(-1，1)，(1，+∞)内； (4)当k=2时，方程有两个根，一个位于(-∞，-1)内，另一个为x=1； (5)当k＞2时，方程只有一个根． 问题:10. 设k为常数，方程在(0，+∞)内恰有一根，求k的取值范围．答案:解 令，x∈(0，+∞)． (1)若k＞0，由，又，所以原方程在(0，+∞)内恰有一个实根； (2)若k=0，，又，所以原方程也恰有一个实根； (3)若k＜0，，令， 又，所以为f(x)的最大值，令，得，所以k的取值范围是． 问题:11. 设f(x)在[-1，1]上可导，f(x)在x=0处二阶可导，且f'(0)=0，f"(0)=4．求 答案:解 对x＞0，有，同理，所以原式=2．问题:12. 设f(x)二阶连续可导且f(0)=f'(0)=0，f"(x)＞0．曲线y=f(x)上任一点(x，f(x))(x≠0)处作切线，此切线在x轴上的截距为u，求 答案:解 曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线方程为Y-f(x)=f'(x)(X-x)， 令Y=0得，由泰勒公式得 于是 设函数其中g(x)二阶连续可导，且g(0)=1．13. 确定常数a，使得f(x)在x=0处连续；答案:解 当a=g'(0)时，f(x)在x=0处连续． 14. 求f'(x)；答案:解 当x≠0时， 而 所以 15. 讨论f'(x)在x=0处的连续性．答案:解 因为，所以f'(x)在x=0处连续。

问题:16. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f'+(a)f'-(b)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)=0．答案:证明 不妨设f'+(a)＞0，f'-(b)＜0，根据极限的保号性，由＞0，则存在δ＞0(δ＜b-a)，当0＜x-a＜δ时，，即f(x)＞f(a)，所以存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)． 同理由f'-(b)＜0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＞f(b)． 因为f(x)在[a，b]上连续，且f(x1)＞f(a)，f(x2)＞f(b)，所以f(x)的最大值在(a，b)内取到，即存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)为f(x)在[a，b]上的最大值，故f'(ξ)=0． 问题:17. 设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)=1，f'(1)=0，．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f'"(ξ)=2．答案:证明 方法一 先作一个函数P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得 P(0)=f(0)=1，P'(1)=f'(1)=0，P(2)=f(2)=，P(1)=f(1)． 则 令g(x)=f(x)-P(x)，则g(x)在[0，2]上三阶可导，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c1∈(0，1)，c2∈(1，2)．使得g'(c1)=g'(1)=g'(c2)=0，又存在d1∈(c1，1)，d2∈(1，c2)使得g"(d1)=g"(d2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(d1，d2)(0，2)，使得g'"(ξ)=0，而g'"(x)=f'"(x)-2，所以f'"(ξ)=2． 方法二 由泰勒公式，得 两式相减，得，而f'"(x)∈C[0，2]，所以存在ξ∈(0，2)，使得f'"(ξ)=2． 问题:18. 设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=a＜b=f(b)． 证明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得 答案:证明 令，因为f(x)在[a，b]上连续且单调增加，且f(a)=a＜b=f(b)， 所以f(a)=a＜a+h＜…＜a+(n-1)h＜b=f(b)，由端点介值定理和函数单调性， 存在a＜c1＜c2＜…＜cn-1＜b，使得 f(c1)=a+h，f(c2)=a+2h，…，f(cn-1)=a+(n-1)h，再由微分中值定理，得 f(c1)-f(a)=f'(ξ1)(c1-a)，ξ1∈(a，c1)， f(c2)-f(c1)=f'(ξ2)(c2-c1)，ξ2∈(c1，c2)，… f(b)-f(cn-1)=f'(ξn)(b-cn-1)，ξn∈(cn-1，b)， 从而有 问题:19. 设函数y=f(x)二阶可导，f'(x)≠0，且与x=φ(y)互为反函数，求φ"(y)．答案:解 因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，所以， 于是 问题:20. 设f(x)在x=x0的邻域内连续，在x=x0的去心邻域内可导，且．证明：f'(x0)=M．答案:证明 由微分中值定理得f(x)-f(x0)=f'(ξ)(x-x0)，其中ξ介于x0与x之间， 则=M，即f'(x0)=M． 问题:21. 设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)= 答案:证明 令φ(x)=(x-1)2f'(x)，显然φ(x)在[0，1]上可导．由f(0)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得f'(c)=0，再由φ(c)=φ(1)=0，根据罗尔定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ'(ξ)=0，而φ'(x)=2(x-1)f'(x)+(x-1)2f"(x)，所以2(ξ-1)f'(ξ)+(ξ-1)2f"(ξ)=0，整理得 问题:22. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的a＞0，b＞0，存在ξ，η∈(0，1)，使得 答案:证明 因为f(x)在[0，1]上连续，f(0)=0，f(1)=1，且，所以由端点介值定理，存在c∈(0，1)，使得 由微分中值定理，存在ξ∈(0，c)，η∈(c，1)，使得 整理得 两式相加得 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，．证明：23. 存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；答案:证明 令，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F'(x)=f(x)．故存在c∈(a，b)，使得 =F(b)-F(a)=F'(c)(b-a)=f(c)(b-a)=0，即f(c)=0．24. 存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f'(ξi)+f'(ξi)=0(i=1，2)；答案:证明 令h(x)=exf(x)，因为h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h'(ξ1)=h'。