空间向量与立体几何知识点归纳总结.doc
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空间向量与立体几何知识点归纳总结一.知识要点1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）OB€OA+AB€a+b•BA=OA—OB=a—b•OP—九a（九„R）运算律：⑴加法交换律：a+b=b+a⑵力加法结合律:（万+印十C=心十（b十f丁％⑶数乘分配律：九（a+b）—九a十九b运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共—►线向量或平行向量，a平行于b，记作a〃b2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b工0），a//b存在实数久，使a=久b3）三点共线：A、B、C三点共线<=>AB—九AC<=>OC—xOA+yOB（其中x+y—1）（4）与a共线的单位向量为…4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的2）共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数x,y使P—xa+yb。
3）四点共面：若A、B、C、P四点共面<=>AP—xAB+yAC―><=>OP>=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z—1）5. 空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zco若三向量仏b，c不共面，我们把｛馆做空间的一个基底，a,b，c口惟基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论:设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数X,y9Z，使OP€xOA+yOB+zOC6. 空间向量的直角坐标系：(1)空间直角坐标系中的坐标：--在空间直角坐标系O-bz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(X，y,z)，使*OA€力+yi+zk，有序实数组(兀』,z)叫作向量a在空间直角坐标系o-xyz中的坐标，记作A(x,y,z)，x叫横坐标，y注：①点A(x,y,z)关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底,用亿j,k｝表示。
空间中任一向量a=Xi+yj+zk=(x,y,z)(3) 空间向量的直角坐标运算律：-①若a€(a,a,a€(b,b,b)，则a+b=(a+b,a+b,a+b)，r23123112233a—b€(a—b,a—b,a—b)九a=(九a,九a,九a)(九„R)112233123a…b€ab+ab+ab，—>—>112233a//boa-九brd=^b,a=^b(九„R)112233'akboab+ab+ab—0112233°② 若A(x,y,z)，B(x,y,z)，则AB€(x2—y2，y.,z2，z1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标③ 定比分点公式：若A(X］，y1,z1)，B(X2,y2,z2)，AP-九PB，则点P坐标为/X+Xxy+Xyz+九z、(1+九2，1+九2，1+九2)推导：设p(x,y,z)则(x—x1,y—人忆—z1)=九(x2—x,y2一y,z2,z),显然，当P为AB中点时，P(土空,—,M2)222④AABC中，A(x,y,z),B(x,y,z),C(x,y,z)，三角形重心P坐标为111222333x+x+xy+y+yz+z+z、P(123,123,123)22#⑤AABC的五心:ABAC内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。
AP=,（+）（单位向量）IABI門外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点PA=PB=PC垂心P：高的交点：PA-PB=PA-PC=PB-PC（移项，内积为0,则垂直）1重心P：中线的交点，三等分点（中位线比）AP=3（AB€AC）中心：正三角形的所有心的合一4）模长公式：右a=（a,a,a），b=（b,b,b），123123a2+a2+a2,|b―b-b=,b2+b2+b2123123a-bab+ab+ab(5)夹角公式：coi>b==◎11一IaI爭AABC中①AB•AC„0<=>A为锐角②AB•AC<0则IaI=*a-a=,a2+a2+a2：b2+b2+b2123123<=>A为钝角，钝角A222=+(x2-x1)2+(y2-W2+(Z2-Z1)2，（6）两点间的距离公式：若AT—，B?”y,z），111贝山AB1=“AB或"A,B乙可XP+（打-卩+（丁Z1）27. 空间向量的数量积>（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则ZAOB叫做向量a与b的夹角，记作 的模：设OA=a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模F记作：IaI3）向量的数量积：已知向量a,b，贝I卩可］C0S3^>叫做a,b的数量积，j己,作a•b，即a-b=IaI-1bI•cos ⑴AB 222. 已知平行四边形ABCD,从平面ac外一点o引向量OE，kOAOF，kOBOG，kOC,OH，kOD1）求证：四点E,F,G,H共面；（2）平面AC//平面EG3. 如图正方体ABCD-ABCD中，BE，DF，1AB，求BE与DF所成角的余弦11111111411115. 已知平行六面体ABCD-ABCD中，AB，4,AD，3,AA'，5,„BAD，90，„BAA，，„DAAr，60，求AC'的长o#［参考答案］1.・EG二OG—OE，解：（1）证明：：四边形ABCD是平行四边形，・・AC-AB+AD，2.二k-OC，k-OA=k(OC，OA)二kAC二k(AB€AD)二k(OB—OA€OD—OA)二OF—OE€OH—OE二EF+EH—•:E,F,G,H共面；；(2)解:VEF>OF-OE二k(OB-OA)-k^AB，又:EG—k，AC丿EF//AB,EG//MC>所以，平面AC//平面EG3.解：不妨设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系O-xyz，则B(1,1,0)，E(1,3,1)，D(0,0,0)，141•-BE-(0,-,1)，1417・・BE-DF-114DFi-小15BE•DF-0x0+(―丄2丄)+1x1-J1144161>cosBE,DF-16111^1744-15—17仆心1），4.分析：⑴AB-(-*1,3),AC-(1,—3,2),…co^ZBAC-AB-ACIABIIACI・・.ZBAC=60°，…S-IABIIACIsin60-73⑵)设a=(X?y，Z)，贝Ha丄ABn-2x+3z-0,,a丄ACnx-3y・2z-0,IaI-3nx2+y2+z2-3>解得x=y=z=1或x=y_z__1，・a=(1，1，1)或a>(—1，一1，一1)。 5.解：IAC^|2-(AB+AD+AAX^>-lA*I—IADI—I+2AB•AD+2AB•AA'+2AD•AA'-42+32+52+2x4x3xcos90+2x4x5xcos60+2x3x5xcos60-16+9+25+0+20+15-85所以，IAC'」85。
