1-5极限运算法则07304.doc

第五节极限运算法则•极限运算法则•求极限方法举例•小结(1) 一、极限运算法则定理设1im/(x)=A,limg(x)=则lim[/(x)±g(x)]=A±B;lim[/(x).g(x)]=A.B;=其中BhO・g(x)B推论1如果limy⑴存在，而c为常数，则lim[c/*(x)]=climf(x).常数因子可以提到极限记号外面.推论2如果lim/⑴存在,而兀是正整数，贝IJlim[/(x)r=[lim/(x)r.二、求极限方法举例r3_[例1求鹦不"解91im(x2-3x+5)=limx2-lim3x+lim5F32xt2x^2=(limx)2-31imx+lim5x-^2x->2x-^2=22—3-2+5=3工0,”3_[limx3-liml刃1u•Hm一=32—2=/_丄_>_x->2x2-3x+5lim(x2-3x+5)3332小结：1•设f(x)=aoxn+a1xn~1+A+a“,则有lim/(x)=«0(limx)nx)n~l+A+an兀_兀0X->X0兀T兀()=aoxon+a1xon~1+A+an=f(x0).2S）需，且g则有P(兀0)2U0)=/（兀o）・limP(x)lim/(x)=3%limQ(x)若0（必）=0，贝!I商的法则不能应用4*—[例2求悝齐》商的法则不能用解9lim(x2+2兀一3)=0,XT1又€)lim(4x-1)=3工0,兀？+2x—3兀ti4x-1由无穷小与无穷大的关系，得兀+厶兀一»例彳求卿n解兀T1时,分子,分母的极限都是零.（十型）先约去不为零的无穷小因子兀-1后再求极限2宀1=limx+2x—3(x+3)(x—1)(兀+1)(—1)limX->1six+32（消去零因子法）例4求limX-^OO2x+3x^+57x3+4x2-1解兀Too时,分子，分母的极限都是无穷大・（°°型）00先用兀法除分子分母，分出无穷小，再求极限.C35XT002兀彳+3兀2+57x3+4x2-1X->0021—兀兀r7+二_二（无穷小因子分出法）小结:当仇工0,%丰0,加和〃为非负整数时有limX—>00討当T={0，当〃>m^a^xm+aixm~l+A+%bQx"+blxn~1+A+bn无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幕除分子，分母，以分出无穷小，然后再求极限・求lim（t+三+A+$）・isnnn解〃T8时，是无限多个无穷小之和.先变形再求极限.z12n.1+2+A+nH2lim（飞+飞+A+—r）=lim死TOOnLnn川TOO+i）n—^co=lim-（l+-）川一＞82nX->00例7设于（兀）=1一兀，兀vO亠宀1,小0‘求姣小）・Ox解兀=0是函数的分段点，两个单侧极限为lim/(x)=lim(l-x)=1，xtO一xt(tlim/(x)=lim(x2+1)=1,x—>0+x—>0+左右极限存在且相等，故lim/(x)=1.x—^0定理(复合函数的极限运算法则)设函数U=g)当兀-»必时的极限存在且等于a,即lim(p(x)=a,X-^Xq但在点必的某去心邻域卩勺0(兀)州Xlim/(M)=A,u—>a贝|J复合函数f[(p(x)]当兀时的极限也存在，lim=limf(u)=A.x-»x0u—>a意义:limf[(p(x)]lim/(w)u—>a令眈=(p(x)a=lim(p(x)x->x0请看课本第49页的例题9、例题10・三、小结1、极限的四则运算法则及其推论;2、极限求法;氐多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限；C.无穷小因子分出法求极限；d. 利用无穷小运算性质求极限；e. 利用左右极限求分段函数极限.3、复合函数的极限运算法则思考题在某个过程中，若于(兀)有极限，g(巧无极限，那^/(x)+g(x)是否有极限？为什么？思考题解答没有极限.假设/d)+g(兀)有极限，e>/U)有极限,由极限运算法则可知：gM=[/(x)+g(x)]-f(x)必有极限，与已知矛盾,故假设错误.。