[理学]第08章 相量法.ppt

第八章 相量法§8.1 复数§8.2 正弦量§8.3 相量法的基础§8.4 电路定律的相量形式§8.1 复数 一、复数的形式1、代数形式 F = a + jb为虚单位 复数F 的实部Re[F ] = a复数F 的虚部Im[F ] = b复数 F 在复平面上可以用一条从 原点O 指向F 对应坐标点的有向线 段表示1+jOFab2、三角形式模辐角+1+jOFab5 /-53.1 °3、指数形式根据欧拉公式4、极坐标形式F =|F| /θ3+j4= 5 /53.1°-3+j4=× =5 /126.9 °10 /30 °=10(cos30 °+ jsin30 °)=8.66+j5计算器上的复数运算操作-3+j4 = 5 /126.9°3→rθ+/-a4b2ndb5126.869897a5注意选择角度DEG辐角模代数式→极坐标形式计算器上的复数运算操作10 /60° = 5 + j8.6610a6b2ndb58.6602540a5注意选择角度DEG0→xy虚部实部极坐标形式→代数式二、复数的运算 1、加法 用代数形式进行,设+1+jO几何意义2、减法用代数形式进行， 设+1+jO几何意义3、乘法 用指数形式比较方便 设4、除法三、旋转因子是一个模等于1，辐角为θ的复数。

等于把复数A逆时针旋转一个角度θ， 而A的模值不变j-j-1因此，“±j”和“-1”都可以看成旋转因子任意复数A乘以e jθ？故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子几种不同值时的旋转因子ejq ReIm0一个复数乘以j，等于把该复数逆时针旋转π/2，一个复数除以j， 等于把该复数乘以-j，等于把它顺时针旋转π/2 虚轴等于把实轴+1乘以j而得到的例如j,-j,-1例：设F1=3-j4，F2=10 /135°求 : F1+ F2 和 F1/ F2 解：求复数的代数和用代数形式：F2 = 10 /135° =10（cos135°+jsin135°)= -7.07 + j7.07 F1 + F2 = ( 3 - j 4 ) + ( -7.07 + j 7.07 )= - 4.07 + j3.07= 5.1 /143°F1 F2=3-j4 10 /135°=5 /-53.1 °10 /135°= 0.5 /-188.1 °= 0.5 /171.9 °辐角应在主值范围内求两复数的比,用指数形式或极坐标形式：§8.2 正弦量 一、正弦量 电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量 。

对正弦量的描述，可以用sine，也可以cosine 用相量法分析时，不要两者同时混用本书采用cosine 二、正弦量的三要素: i+-u 瞬时值表达式：振幅Im,角频率ω,初相位(角)ψi1、振幅ImIm 2πωtiO π2π正弦量在整个振荡过程中达到的最大值2、角频率ω 反映正弦量变化的快慢 单位 rad/s ωT=2π,ω=2πf f=1/T 频率f 的单位为赫兹（Hz） 周期T的单位为秒（s） f =50Hz,T = 0.02s ω =314 rad/s3、初相位（角）主值范围内取值Im 2πωtiO π2π称为正弦量的相位，或称相角周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示l 周期电流、电压有效值(effective value)定义R直流IR交流i电流有效 值定义为有效值也称均方根值 (root-meen-square)物 理 意 义三、正弦量的有效值同样，可定义电压有效值：l 正弦电流、电压的有效值设 i(t)=Imcos( t+ ),同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V； U=380V， Um537V。

（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设 备铭牌额定值、电网的电压等级等但绝缘水平、耐压值指 的是最大值因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大 值考虑2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号注例：i = 10 sin(314t+30°) Au= 5 cos(314t-150°) V求电压和电流的相位差i = 10 sin(314t+30°) = 10 cos(314t+30°-90°)= 10 cos(314t-60°)i = 10 sin(314t+30°)例计算下列两正弦量的相位差解不能比较相位差两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较 §8.3 相量法的基础 一、正弦稳态电路性电路中，如果激励是正弦量，则电路中 各支路的电压和电流的稳态响应将是同频正弦量 如果电路有多个激励且都是同一频率的正弦量 ，则根据线性电路的叠加性质，电路全部稳态响应 都将是同一频率的正弦量 处于这种稳定状态的电路称为正弦稳态电路， 又可称正弦电流电路根据欧拉公式可展开为显然有 所以正弦量可以用上述形式的复指数函数描述， 使正弦量与其实部一一对应起来。

如以正弦电流为例则F 就是一个复指数函数二、正弦量的相量对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数1、定义：正弦量的有效值相量称 为正弦量 i(t) 对应的相量相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：已知例1试用相量表示i, u .解可直接写出正弦量的相量相量是一个复数 其在复平面上用向量表示相量的图例2试写出电流的瞬时值表达式解l 相量图•正弦量的振幅相量相量图+1+jO三、正弦波与旋转相量+1+jOωtO正弦电流 i 的瞬时值等于其对应的旋转相量在实轴上的投影1、同频正弦量的代数和 如设.这些正弦量的和设为正弦量 i四、正弦量的运算转换为相对应的相量运算而有上式对于任何时刻 t 都成立，故有故同频正弦量相加减运算变 成对应相量的相加减运算i1  i2 = i32、正弦量的微分设正弦电流对 i 求导，有即表示 di/dt 的相量为3、正弦量的积分则即表示 ∫idt 的相量为例：已知求：解：设其相量为=10 /60°+ 22 /-150 °=(5 + j8.66) + ( -19.05 - j11)= -14.05 - j2.34= 14.24 /-170.54° Ai = 14.24 cos(314t - 170.54 °)A正弦量相应符号的正确表示瞬时值表达式i = 10 cos(314 t + 30°)A变量，小写字母有效值I = 常数，大写字母最大值常数，大写字母最大值相量有效值相量常数，大写字母加点常数，大写字母加点Im=10A相量法的优点：（1）把时域问题变为复数问题；（2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；（3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；注① 正弦量相量时域 频域② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。

③ 相量法用来分析正弦稳态电路N 线性N 线性1 2非 线性不适用正弦波形图相量图§8.4 电路定律的相量形式一、基尔霍夫定律正弦电流电路中的各支路电流和支路电压都 是同频正弦量，所以可以用相量法将KCL和KVL 转换为相量形式1、基尔霍夫电流定律 对电路中任一点，根据KCL有Σ i = 0其相量形式为 2、基尔霍夫电压定律对电路任一回路，根据KVL有Σ u = 0其相量形式为1、电阻元件瞬时值表达式+-R+-R相量形式+1+jO 相量图二、电阻、电感和电容元件的VCR相量形式2、电感元件L+-相量形式 L+-+1+jO 相量图瞬时值表达式3、电容元件瞬时值表达式 C+-相量形式C+-+1+jO相量图如果受控源（线性）的控制电压或电流是正弦量，则受控源的电压或电流将是同一频率的正弦量4、受控源例：正弦电流源的电流，其有效值IS=5A，角频率ω=103rad/s， R=3Ω，L=1H，C=1μF求电压uad和ubdabcdi++ +---解：画出所示电路相对应的相量形式表示的电路图abc+++--- dRjωL设电路的电流相量为参考相量abc+++---dRjωL= 15 /0 ° V= 5000 / 90°V= 5000 / - 90 °V= 0A有效值IS=5A，角频率 ω=103rad/s， R=3Ω， L=1H，C=1μF。

相量法的三个基本公式以上公式是在电压、电流关联参考方向的条件下得到的；如果为非关联参考方向，则以上各式要变号以上公式 既包含电压和电流的大小关系，又包含电压和电流的相位关系第8章结束正误判断？瞬时值复数正误判断？瞬时值复数已知：正误判断？？有效值j45则：已知：正误判断？？则：已知：？正误判断最大值。