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第一章非线性方程和方程组的数值解法1) 二分法的基本原理，误差:2ki 12) 迭代法收敛阶：lim 一p c 0,若p 1则要求0 c 1i3) 单点迭代收敛定理：② x,,x2 a,b ,有(xj(x2) lx, x2 ,0 l 1则对任意初值x0 a,b迭代收敛，且:1—Xi 1 x1 lli X1 Xo 1 l定理三：设(x)在 的邻域内具有连续的一阶导数,敛性；且'()1，则迭代格式具有局部收定理四：假设(x)在根 的邻域内充分可导，则迭代格式x 1 (xj是P阶收敛的定理一：若当x a,b 时，(x)a,b且'(x) l 1， x a,b，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设(x)满足：①xa,b时，(x) a,b，(j)()0, j 1,L ,P 1, (P)( ) 0( Taylor 展开证明)4) Newton迭代法：x 1 x ，平方收敛f (x)5) Newton迭代法收敛定理：设f (x)在有根区间 a,b上有二阶导数，且满足：①：f (a)f(b) 0 ；②：1f (x) 0,x a,b ；③：f不变号,x a,b④：初值 x0 a,b 使得 f (x) f (x) 0 ；则Newt on迭代法收敛于根 。

6）多点迭代法：Xj 1 Xjf (Xi)f(x) f(Xj 1)Xi x 1f (Xj) f(Xi 1)X i Xjf (Xi) f (Xj 1) f(X 1) f(X)收敛阶：P 1 527） Newt on迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newt on法进行修改①：已知根的重数r，XiX「鵲（平方收敛）②：未知根的重数：Xi 1叫 u(X)u (Xi)f (X)帀，为f （X）的重根，则 为U（X）的单根8）XiXiXj迭代加速收敛方法：2XiX 2 Xi 1Xj 2 2人 1 Xj(Xj)(X 1)当不动点迭代函数L 1,0平方收敛(X)在的某个邻域内具有二阶导数，9）确定根的重数：当 Newt on迭代法收敛较慢时，表明方程有重根rXX 2Xj 11Xj11X 2 2Xj 1Xj X 2Xj 1x 2Xj 110)拟 Newton法i X1 iXA =(Xj)A/ i 11(XXj)F(Xj1)F(xj）若A非奇异,A1 AiAi X1 iXHjF(:Xj)Hi1(F(xj1 i)F(x))/ i 1 (xxj)Hi1 HjHif1if1iLf1iX1X2Xnf2f2Lf2其中A F'(Xj)iX1iX2ixnMMMfnfnLfniX1iX2iXn2则 H j Ai111)秩 1 拟 Newton 法:i 1 iF(x ) F(x)xi 1 xi A1F(x)i i (ri)T ,其中 ri xi1 xi,yiA 1 A (y Ar )十(r ) rBroyden秩1方法xi 1 xi HiF(xi)Hi1 Hi (ri Uy)(鳥［打(r ) Hiy第二章线性代数方程组数值解法1) 向量范数：①：非负性：|x 0,且x 0的充要条件是x 0 ；② ：齐次性：I x| nxi③ ：三角不等式： x y x |yn1 范数：||xh xi 1n 122 范数：W ( Xi )2i 1范数：|| x max xip 范数:II xi p ( x P)p12) 矩阵范数：①：非负性：A 0,且I A 0的充要条件是A 0 ； ②：齐次性:③ ：三角不等式： A B || A B④ ：乘法不等式：|| AB ||州|b||n n 2 2f 范数:|| A f q1 j 1n1范数：||a|L max aij ，列和最大n范数：||Ah max ay ,行和最大i n j i2范数: IIAI2 J （AHA） ,其中 j（aha）max i, i 为 aha 的特征值，（A || ai1 33） Gauss消元法（上三角阵）：M n ；3一 1 3Gauss-Jordan消兀法（对角阵）：M n ;2列选主元消元法：在消元之前进行行变换，将该列最大元素换置对角线主元位置； （可用于求逆矩阵）全选主元消元法：全矩阵搜索矩阵最大元素进行行变换和列变换至其处于对角线主元位置；4） 三角分解法：① ：Doolittle分解法：A=LU , L单位下三角阵， U上三角阵② ：Crout分解法：A=LU , L下三角阵，U单位上三角阵③ ：Cholesky分解法：A对称正定， A LLT , L为单位下三角阵④ ：改进的Cholesky分解法：A对称正定， A LDLT , L为单位下三角阵， D为对角阵⑤ ：追赶法：Crout分解法解三对角方程5）矩阵的条件数 cond（A） || A| A 1，谱条件数：cond2（A） || A2 A J|2II xMCon d(A)I A|ACond (A)A|A6）如果B 1，则I B为非奇异阵，且||（lB)111—B7）迭代法基本原理：①：迭代法：xi 1 Bxi K②：（B） 1（ lim Bi 0，迭代格式收敛）i③：至少存在一种矩阵的从属范数，使 || B 18) Jacobi 迭代：A L Dxi 1 (I D 1A)xi D b1 i 1(L D) Ux (L D) bi 19) Gauss-Seidel 迭代：x10）超松弛迭代法xi 1 xi r2 111) 二次函数的一维搜索： XX iR12) 最速下降法：选择方向 Z0 gradf (x°) r° b Ax°进行一维搜索：x1 x°or0，其中o/ 0 0\(r ,r )(Ar ,r )13) 共轭梯度法:第一步：最速下降法,R0r1b Ax1，(r0,r1) 0第二步：过x1选择R0的共轭方向R1 r1 R0，其中(Jap0)(R0,ar0)1 1过x以P为方2x x 1R 向的共轭直线为x x1 tR1，进行二次函数的一维搜索 (r1,R1)1 1 ~ (AR , R )14) 一般的共轭梯度法：第三章插值法与数值逼近n1)Lagra nge 插值：Ln (x) lj(x) f (xj)，j 0I(X) (X XjL(X Xj 1)(x Xj 1)L (x xn) Fn 1(x)j (Xj XjL (Xj Xj1)(Xj Xj1)L(Xj Xn) (x Xj)P‘1(Xj)余项：E(x) f( 1)巳1(x)(n 1)!2) Newton插值：差商表X0f (X0)X1f (X1)f[X0 X1]X2f (X2)f[X0 X2]f[X0X1 X2]X3f (X3)f[X0 X3]f[X0X1 X3] f[X0 X1f(x)%f[X)X](xX)) Lf[X)XL Xn](XX2 X3]X0)L (x Xn1)f[X0 为LxnX|(x X0)L(X Xn)f(n 1}()余项 E(x) f[X0 X1L XnX](X X°)L (X Xn) Pn1(X)(n 1)!3) 反插值4) Hermite插值(待定系数法)嚅1&) [ j(X)f(Xj) j(X)f'(Xj)]j 0n 1 其中 j(x) (ax b)f(x),a 2lj(Xj),b 1 2Xjlj(Xj),lj区)k 1,k j xj Xkj(X) (X Xj)l2(x)余项：E(X) (2 'jPn2。

)(2n 2)!5)分段线性插值：X X, 1 X X,Lj(x) f (Xj) - f (Xj 1)Xj Xj 1 Xj 1 XjX X1插值基函数：|0(x),XoX1O,Xo X Xnlj(x)Xo X1X XnXxj 1,Xj 1 X XjXjXj 1XXj 1,Xj X Xj 1XjXj 10,M 2 2 ,2h ,M286)有理逼近：反差商表余项：分段余项有理逼近函数式:,ln(x)max f(2) (x)f (x) Vo(Xo)V1(xJV2(X2)7)正交多项式的计算:定理：在［a,b］上带权函数(x)的正交多项式序列唯一的，且由以下的递推公式确定(X其中(i,j)(x) i jdxX Xn 1一 ,Xn 1Xn Xn 1xx X-iL x Xn 1Vn(Xn)Xnn(x) 0，若最高项系数唯一，它便是(n , n )1 0,0 1定理3.8Span{1,x,x2丄,xn}上，法方程为 H.a d ,f(x)dxH j f (Xj)，其中 Hj j -l j(x)dx误差:E(f)(n1)()(-1)!P- 1(x)dx定理：数值积分公式具至少有 -次代数精度 其是差值型的3)等距节点的 Newton-Cotes公式将拉格朗日差值积分公式中的差值节点xi a ih即可，其中hHj(1)-jhj!(- j)!n(t-,i ji)dt，令 Cj一 (Cotes系数)则:b a112L1.(- 1)其中H-121.3L1(-2) 1，dk (f, k) 0 f(x) kdxMMM1(-1) 1(- 2)L1(2 -1)均方误差：2(f, f) (P*,f)f 2i-*aidii 18)连续函数的最佳平方逼近：在最大误差：|| | max f PII I 0 x 19)离散函数的最佳平方逼近(曲线的最小二乘拟合) ：n法方程(j, k)aj (f, k)j 0m(j，k) i j(xi) k(xi)其中 ：0m。