新高考《导数》大题必刷热点题型—MST.docx

新高考《导数》大题必刷热点题型—MST1．（2020•抚顺模拟）已知函数．（1）若在处取得极值，求的单调区间；（2）若在，上没有零点，求的取值范围．2．（2020•镇海区校级模拟）已知实数，设函数．（Ⅰ）当，，，时，证明：；（Ⅱ）若有两个极值点，，证明：．3．（2020•宣城二模）已知函数，．（1）当时，求曲线在，处的切线方程；（2）若时，恒成立，求的取值范围．4．（2020春•东海县期中）已知函数．（1）求函数的极值；（2）求函数在区间，上的最大值．5．（2020•大兴区一模）已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）求证：函数有且只有一个零点．6．（2020春•海淀区校级期中）已知函数，其中，．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）讨论函数的极值点的个数，并分别指出极大值点的个数和极小值点的个数；（3）若函数有两个极值点，，证明：．7．（2020春•沙坪坝区校级期中）已知函数，．（1）若的切线过，求该切线方程；（2）讨论与图象的交点个数．8．（2020春•浙江期中）已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值．（1）求实数的取值范围；（2）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式．9．（2020•徐州模拟）如图，某生态农庄内有一直角梯形区域，，，百米，百米．该区域内原有道路，现新修一条直道（宽度忽略不计），点在道路上（异于，两点），，．（1）用表示直道的长度；（2）计划在区域内修建健身广场，在区域内种植花草．已知修建健身广场的成本为每平方百米4万元，种植花草的成本为每平方百米2万元，新建道路的成本为每百米4万元，求以上三项费用总和的最小值（单位：万元）．10．（2020•东湖区校级模拟）已知函数．（1）当时，若函数在上有两个零点，求的取值范围；（2）当时，是否存在，使得不等式恒成立？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由．11．（2020•榆林三模）已知是函数的极值点．（1）求的最小值；（2）设函数，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围．12．（2020•榆林三模）已知函数．（1）当时，求的最小值；（2）若对存在，使得，求实数的取值范围．13．（2020•抚顺模拟）已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论在区间上的零点个数．14．（2020•深圳一模）已知函数．（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）当时，求证：对任意的，，．15．（2020•江西模拟）设函数．（1）试讨论函数的单调性；（2）设，记，当时，若函数与函数有两个不同交点，，，，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由．16．（2020•甘肃模拟）函数，且．（1）若，判断函数的单调性；（2）当时，求证：的图象恒在函数的图象的下方．17．（2020•全国Ⅱ卷模拟）已知：仅有1个零点．（1）求实数的取值范围；（2）证明：．18．（2020春•滨海新区期中）已知函数，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若，，且，使得成立，求的取值范围；（Ⅲ）若函数有两个不同的极值点，，求证：．19．（2020•厦门一模）已知函数．（1）当时，求函数的极值点；（2）若在区间，内有且仅有4个零点的充要条件为，求证：．20．（2020•山东模拟）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求函数在，上的零点个数．21．（2020•台州模拟）已知函数，．（Ⅰ）求证：存在唯一的实数，使得直线与曲线相切；（Ⅱ）若，，，，求证：．（注为自然对数的底数．、22．（2020•宿迁模拟）某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子，它是由半圆、半圆和正方形组成的，且．设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签，标签的其中两个顶点，在上，另外两个顶点，在上，分别是，的中点）设的中点为，，矩形的面积为．（1）写出关于的函数关系式；（2）当为何值时，矩形的面积最大？23．（2020•合肥模拟）已知函数．（1）当时，求证：；（2）若函数，求证：函数存在极小值．24．（2020•盐城三模）设函数，，其中恒不为0．（1）设，求函数在处的切线方程；（2）若是函数与的公共极值点，求证：存在且唯一；（3）设，是否存在实数，，使得在上恒成立？若存在，请求出实数，满足的条件；若不存在，请说明理由．25．（2020•湖北模拟）已知函数，．（1）若，求曲线在点，处的切线方程；（2）若，求的取值范围．26．（2020•武汉模拟）已知函数，（1）求的单调区间，（2）若关于不等式对任意和正数恒成立，求的最小值．27．（2020•肇庆三模）设函数，为自然对数的底数．（1）求的单调区间：（2）若成立，求正实数的取值范围．28．（2020•济宁模拟）已知两个函数．（Ⅰ）当时，求在区间，上的最大值；（Ⅱ）求证：对任意，不等式都成立．29．（2020•和平区校级二模）已知函数，，若曲线与曲线都过点．且在点处有相同的切线．（Ⅰ）求切线的方程；（Ⅱ）若关于的不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围．30．（2020•嘉兴模拟）定义两个函数的关系：函数，的定义域分别为，，若对任意的，总存在，使得，我们就称函数为的“子函数”．已知函数，，，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若为的一个“子函数”，求的最小值．参考答案与试题解析1．（2020•抚顺模拟）已知函数．（1）若在处取得极值，求的单调区间；（2）若在，上没有零点，求的取值范围．【分析】（1）求出原函数的导函数，由（1）求得，代入导函数的解析式，再由导函数小于0求解减区间，导函数大于0求解增区间；（2），得，把在，上没有零点转化为在，上满足或．结合（1），只需证在，上满足．对分类讨论可得在，上的单调性，求出最小值，由最小值大于0可得的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域为，且．在处取得极值，（1），得，经验证符合题意；．当时，，当时，．的单调减区间为，单调增区间为；（2），则．要使在，上没有零点，只需在，上满足或．又（1），只需证在，上满足．①当时，在，上单调递减，则，解得，与矛盾；②当时，在，上单调递减，在，上单调递增，由，得，；③当时，，在，上单调递增，，满足题意．综上，的取值范围是．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．2．（2020•镇海区校级模拟）已知实数，设函数．（Ⅰ）当，，，时，证明：；（Ⅱ）若有两个极值点，，证明：．【分析】（Ⅰ）依题意，即证，换元令，则即证，令，又令二次函数的对称轴，则利用导数可知在，上递增，等价于证明（1），即证，再令，利用导数判断函数的单调性，进而求得其大于等于0恒成立，由此得证；（Ⅱ）根据题意，可求得，，，，构造函数，可证，令，则，令，利用导数可知，即可得证．【解答】证明：（Ⅰ），即为，亦即，令，则，令，令对称轴，则，时，，时，，，时，，在上递增，在，上递减，且，在，上递增，故只需证（1），即证，即证，令，则，在上递减，而（1），当时，，当时，，即时，，当时，，即成立，当，，时，成立；（Ⅱ），有两个极值点，，，，令，则，易知，当时，，当时，，在上递减，在上递增，，故，即，由，可得，，则，，则，，由，得，下证，即证，即证，，等价于证，令，则，故，，即，令，则，令，则，在上递减，，即．【点评】本题考查导数的综合运用，涉及了变换主元法，分析法，消元法，换元法，构造法等常见数学方法的运用，培养了转化思想，放缩思想等数学思想的建立，锻炼了学生运算化简，逻辑推理等数学能力，综合性强，难度大．3．（2020•宣城二模）已知函数，．（1）当时，求曲线在，处的切线方程；（2）若时，恒成立，求的取值范围．【分析】（1）把代入函数解析式，求导函数，再求出与的值，利用直线方程的点斜式得答案；（2）由，得，即．设，可得令，可得△，分，，三类分析求解满足题意的的取值范围．【解答】解：（1）当时，，．则，又，曲线在，处的切线方程为；（2）由，得，即．设，则．令，△．①若△，即，，当时，在上单调递增，而，时，恒成立，满足题意；②若，，当时，在上单调递增，而，时，恒成立，满足题意；③若，当时，由，解得，．在上单调递减，则，不满足题意．综上所述，的取值范围是，．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．4．（2020春•东海县期中）已知函数．（1）求函数的极值；（2）求函数在区间，上的最大值．【分析】（1）求出原函数的导函数，求出导函数的零点，分与可得导函数在不同区间内的符号，得到函数的单调性，从而求得函数的极值；（2）当时，由（1）知，在，上单调递减，故的最大值；当时，，由（1）知，在，上单调递减，的最大值；当时，由（1）知，在，上单调递减，在，上单调递增．结合（1），得的最大值为；当时，由（1）知，在，上单调递减，在，上单调递增．结合（1），知的最大值为（1）．【解答】解：（1），．由，解得．①当时，若，可得，若，可得，在上单调递减，在上单调递增，则当时，函数取得极小值；②当时，若，可得，若，可得，在上单调递增，在上单调递减，则当时，函数求得极大值．综上，若，当时，函数取得极小值；若，当时，函数取得极大值．（2）当时，由（1）知，在，上是单调减函数，而，，，在，上单调递减，故的最大值；当时，，由（1）知，为，上的单调减函数，而，，，在，上单调递减，故的最大值；当时，由（1）知，在，上单调递减，在，上单调递增．又满足（1），故的最大值为；当时，由（1）知，在，上单调递减，在，上单调递增．又满足（1），故的最大值为（1）．综上，．【点评】本题考查利用导数求函数的极值与最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．5．（2020•大兴区一模）已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）求证：函数有且只有一个零点．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，然后分别求出时的函数值、导数值，利用点斜式即可求切线方程；（Ⅱ）函数有且只有一个零点，可转化为在上只有一个零点，可通过研究的单调性、极值的符号结合零点存在性定理求解．【解答】解：（Ⅰ）当时，函数，，所以，，，所以函数在点，（1）处的切线方程是．（Ⅱ）函数的定义域为，要使函数有且只有一个零点，只需方程有且只有一个根，即只需关于的方程在上有且只有一个解．设函数，则，令，则，由，得．10单调递减极小。