数学分析答案无穷小量与无穷大量的阶.doc

习 题 3.3 无穷小量与无穷大量的阶1. 确定a与，使下列各无穷小量或无穷大量等价于(～) a： (1) u(x) = , (x→0，x→∞)； (2) u(x) = (x→0，x→∞)； (3) u(x) = + (x→0+，x→+∞)； (4) u(x) = (x→0+，x→+∞)； (5) u(x) = - (x→0，x→+∞)； (6) u(x) = - x (x→+∞)； (7) u(x) = - (x→0+)； (8) u(x) = - (x→0+)； (9) u(x) = ln cos x - arc(x→0)； (10) u(x) = - (x→0)解（1）～；～ （2）～；～ （3）～；～ （4）～；～ （5）～；～ （6）～ （7）～ （8）～ （9）～ （10）～2. (1) 当x→+∞时，下列变量都是无穷大量，将它们从低阶到高阶进行排列，并说明理由 (a＞1), , (＞0)， (k＞0)， [x]!； (2) 当x→0+时，下列变量都是无穷小量，将它们从高阶到低阶进行排列，并说明理由。

(＞0)，, (a＞1)，, (k＞0)解（1）当x→+∞时，从低阶无穷大量到高阶无穷大量的排列为 (k＞0)， (＞0)， (a＞1), [x]!, 证明： 设，则，，由，与，即得到，，，同时也得到 2）当x→0+时，从高阶无穷小量到低阶无穷小量的排列为, , (a＞1)， (＞0)， (k＞0)证明：令，则当x→0+时，有参考（1）的排列即可得到（2）的排列3. 计算下列极限：⑴；⑵；⑶(-)；⑷(- )；⑸ (a＞0)；⑹ (a＞0)；⑺x ( ln (1+x) - ln x )；⑻ (a＞0)；⑼；⑽；⑾n (- 1) (x＞0)；⑿( - ) (x＞0)解（1）3）(-)4）(- )7）x ( ln (1+x) - ln x )11）n (- 1)12）( - ) 习 题 3.4 闭区间上的连续函数1. 证明：设函数在上连续，且 = A（有限数），则在有界证 由 = A（有限数），可知，：，即再由在闭区间上的连续性，可知在上有界，即：令，，则，成立2. 证明：若函数在开区间上连续，且f(a+)和f(b-)存在，则它可取到介于f(a+)和f(b-)之间的一切中间值。

证 令，则在闭区间连续，不妨设，由闭区间上连续函数的中间值定理，可知在闭区间上可取到上的一切值，于是在开区间上可取到介于f(a+)和f(b-)之间的一切中间值3. 证明：若闭区间上的单调有界函数能取到 f(a)和f(b)之间的一切值，则是上的连续函数证 采用反证法不妨设单调增加若是的不连续点，则与都存在，且，于是取不到开区间中异于的值，与条件矛盾；若是的不连续点，则存在，且，于是取不到开区间中的值，也与条件矛盾；同样可以证明也不可能是的不连续点4. 应用Bolzano-Weierstrass定理证明闭区间上连续函数的有界性定理证 采用反证法设在闭区间上连续，但无界，则存在点列，，满足，即由Bolzano-Weierstrass定理，存在子列，，且因为在点连续，所以有，与产生矛盾5. 应用闭区间套定理证明零点存在定理证 设在闭区间上连续，且，不妨设，，，如果，则定理得证如果，则令，；如果，则令，如果，则定理得证如果，则令，；如果，则令， 这样的过程可以一直进行下去如果存在某个，使得，则定理得证；如果不存在某个，使得，则得到一个闭区间套，满足，由闭区间套定理，可知存在唯一属于所有闭区间的点，且。

再由在点的连续性，可知与，从而得到，定理得证6. 证明方程（）至少有一个正根证 令，则在上连续取，则，，由零点存在定理，在上至少有一个根7．证明方程（）有且仅有一个实根证 令，则在上是严格单调增加的由，，易知在上有且仅有一个实根8．证明： （1）sin在（0,1）上不一致连续，但在(a,1)(a＞0)上一致连续； （2）sin在上不一致连续，但在[0,A]上一致连续； （3）在上一致连续； （4）ln x在上一致连续； (5) 在上一致连续证（1）在上，令，，，但，所以sin在（0,1）上不一致连续在 (a＞0)上，，取，，，成立，所以sin在(a,1) (a＞0)上一致连续2）在上，令，，则，但，所以sin在上不一致连续在上，，取，，，成立，所以sin在[0,A]上一致连续3） ，取，，，成立，所以在上一致连续4） ，取，，，成立，所以ln x在上一致连续5） ，取，，，成立，所以在上一致连续9．证明：对椭圆内的任意一点P，存在椭圆过P的一条弦，使得P是该弦的中点证 过点作弦，设弦与轴的夹角为，点将弦分成长度为和的两线段，则在连续，满足，于是必有，满足，也就是10．设函数在[0,2]上连续，且f(0) = f(2)，证明：存在，，使得。

证 令，则在上连续，，于是必有，满足令，则，，使得11．若函数在有限开区间上一致连续，则在上有界证 由在上一致连续，可知，存在且有限令，则在闭区间连续，所以在有界，因此在上有界12．证明： （1）某区间上两个一致连续函数之和必定一致连续； （2）某区间上两个一致连续函数之积不一定一致连续证（1）设函数，在区间上一致连续，则，，，，成立，，于是，所以在区间上一致连续2）设，区间，则，在区间上一致连续，但在区间上不一致连续13. 设函数在上连续，且，证明在上恒正或恒负证 设在上不保持定号，则存在（不妨设），使与不同号，由闭区间上连续函数的中间值定理，必定存在，使得，这就产生矛盾，所以在上必定恒正或恒负14．设函数在上连续，，证明在中必有，使得证 根据闭区间上连续函数的中间值定理，闭区间上连续函数一定能取到最大值和最小值之间任何一个值由于，所以在中必有，使得15．若函数在上连续，且 = A(有限数)，则在上一致连续证 由，由于 在连续，所以一致连续，也就是。