教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速.ppt

教学要求教学要求1 1、理解弧坐标、自然轴系、切向加速度、法向加、理解弧坐标、自然轴系、切向加速度、法向加速度、全加速度等概念及有关计算公式速度、全加速度等概念及有关计算公式2 2、掌握用自然坐标法求点的速度、加速度的方法、掌握用自然坐标法求点的速度、加速度的方法步骤澎朔认珠猖寥版杀逊呕黎黎誓轧拈刀沼群凡橙茧嫁困驰迢嘲誓畴亏欠躯杭教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速第三节第三节 用自然坐标法确定点的位置、速度和加速度用自然坐标法确定点的位置、速度和加速度 自然坐标法自然坐标法: :以点的轨迹作为坐标轴来确定动点的位以点的轨迹作为坐标轴来确定动点的位置、描述点的运动规律的方法置、描述点的运动规律的方法一、点的弧坐标形式的运动方程一、点的弧坐标形式的运动方程 以以O O点为坐标原点，以轨迹作为自点为坐标原点，以轨迹作为自然坐标轴则动点然坐标轴则动点M M在瞬时在瞬时t t的位的位置可用弧长置可用弧长s s来唯一确定弧长来唯一确定弧长s s称为称为弧坐标弧坐标 弧坐标弧坐标s s是时间是时间t t的单值连续函数的单值连续函数: :s =s =ƒ（（t t）） 点的弧坐标形式的运动方程点的弧坐标形式的运动方程: s =: s =ƒ（（t t）） 1 1、弧坐标、弧坐标页猛绰斑氮众羚阶患贺它普溜痈邱崖模械勤拿匀敝牢捷啤占酸润肾盎苗不教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速2 2、自然轴系、自然轴系以动点以动点M M的切线和法线的切线和法线 为坐为坐标轴，其切向轴的正向为弧标轴，其切向轴的正向为弧坐标的正向，法向轴的正向坐标的正向，法向轴的正向指向指向M M点的曲率中心。

此正点的曲率中心此正交坐标系称为自然（坐标）交坐标系称为自然（坐标）轴系轴系 矢量在自然轴上的矢量在自然轴上的投影为其自然坐标投影为其自然坐标 切向轴和法向轴的单位矢量用切向轴和法向轴的单位矢量用ττ和和n n表示嘿橙汁纵硝撕铸蝶梅素哉署厉凄嵌影界碱励耸肮碾拙者桅戏参俱辗祝凭吃教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速二、用自然坐标表示点的速度二、用自然坐标表示点的速度 动点的速度沿着轨迹在该点动点的速度沿着轨迹在该点的切线方向，它在切向轴上的切线方向，它在切向轴上的投影即为速度的大小，其的投影即为速度的大小，其值等于弧坐标对时间的一阶值等于弧坐标对时间的一阶导数 当当ds/dtds/dt＞＞0 0时，速度时，速度v v与与ττ同向；同向； 当当ds/dtds/dt＜＜0 0时，速度时，速度v v与与ττ反向 把沾丝普品七斌雪遵砸赁瘩抠影辙逾尔衔厘咨姆祟遭圣况鞭乐绰困楔疗弱教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速三、用自然坐标表示点的加速度三、用自然坐标表示点的加速度在自然轴系中，将动点加速度在自然轴系中，将动点加速度a a向向ττ和和n n轴方向分解，轴方向分解，即：即： a =a a =aττ+a+an n= a= aτττ+aτ+an nn n式中：式中：a aττ、、a an n分别称为点的切向加速度和法向加速度。

分别称为点的切向加速度和法向加速度 掘抹陈撕仗俺只蔗震微鹊回讶怖增蔼入陇纷证归旺碰慨船地少划泅灌涣荆教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速1 1、切向加速度、切向加速度a aττ: :反映了动点速度的大小随时间反映了动点速度的大小随时间的瞬时变化率的瞬时变化率 即点的切向加速度的大小等于点的速度的大小对即点的切向加速度的大小等于点的速度的大小对时间的一阶导数，或等于弧坐标对时间的二阶导数时间的一阶导数，或等于弧坐标对时间的二阶导数点的切向加速度为矢量点的切向加速度为矢量当当dv/dtdv/dt＞＞0 0时，切向加速度时，切向加速度a aττ与与ττ同向；同向；当当dv/dtdv/dt＜＜0 0时，切向加速度时，切向加速度a aττ与与ττ反向流潜婿妹愉橡昧兵兵戈紊垄目禄交汪楞嫩酱即砷迢猩啥医擅醋骸林氏恋百教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速2 2、法向加速度、法向加速度a an n: :反映了动点速度的方向随时间的反映了动点速度的方向随时间的瞬时变化率。

瞬时变化率点的法向加速度的大小等于点点的法向加速度的大小等于点的速度大小的平方除以对应点的速度大小的平方除以对应点轨迹的曲率半径；点的法向加轨迹的曲率半径；点的法向加速度为矢量，其方向始终指向速度为矢量，其方向始终指向该点轨迹的曲率中心该点轨迹的曲率中心 尊岭讶阮娶丁驼珐硕坤赡物滦疯蓬吻酮征醉渴添潍栏货咀写淆仲促娇桂婚教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速3 3、全加速度、全加速度a:a:在自然轴系中，称点的加速度为在自然轴系中，称点的加速度为全加速度全加速度全加速度全加速度a a的大小及方向：的大小及方向： 式中：式中：ββ为全加速度为全加速度a a与法向轴与法向轴n n正向所夹的锐角正向所夹的锐角规痕群愁妖斤冗来够葵罢乳独心脓否毗亦综邯摸眷色咨番贷戮吾次录娩婚教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速四、点的运动的几种特殊情况四、点的运动的几种特殊情况 1 1、匀速直线运动、匀速直线运动v =v =常量，常量，ρ→∞ρ→∞，故，故a aττ=0=0，， a an n =0 =0，即，即a=0a=0。

若已知点的运动的初始条件，当若已知点的运动的初始条件，当t=0t=0时，时，s= ss= s0 0，，则有则有v = ds/dtv = ds/dt，积分得，积分得s s－－s s0 0=vt=vt2 2、匀速曲线运动、匀速曲线运动v =v =常量，故常量，故a aττ=0=0，， a an n ≠0 ≠0，即，即a= aa= an n= v= v2 2/ρ/ρ；；a a的方向即的方向即 a an n的方向衔稼墟钢凹芒讽单搅菲侄赖贡蒲俘辱藤隘心仕砸职宴慕旧窄捧姓畅寇封竣教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速3 3、匀变速直线运动、匀变速直线运动a an n=0=0，，a = aa = aττ=dv/dt==dv/dt=常量若已知点的运动的初始常量若已知点的运动的初始条件，当条件，当t=0t=0时，时，s= ss= s0 0，，v= vv= v0 0，则积分可得，则积分可得 v = v v = v0 0 + at + at s = s s = s0 0+ v+ v0 0t +att +at²/2 /2 由上式消去由上式消去t t 可得可得 v v 2 2= v= v0 0 2 2+2a+2a（（s-ss-s0 0）） 4 4、匀变速曲线运动、匀变速曲线运动a an n= v= v2 2/ρ/ρ，， a aττ=dv/dt==dv/dt=常量。

若已知点的运动常量若已知点的运动的初始条件，当的初始条件，当t=0t=0时，时，s= ss= s0 0，，v= vv= v0 0，则积分可，则积分可得得v = vv = v0 0 +a +aττt s = st s = s0 0+ v+ v0 0t +at +aττt t²/2 /2 由上式消去由上式消去t t可得可得 v v2 2= v= v0 02 2+2a+2aττ（（s-ss-s0 0）） 叔甲悬果随檬环课使惰毕轨兴炽注憾跌锚流哪俘岭缆伙挑主跑装眯狭佑粥教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速例例3 3：：如图如图a a所示：杆所示：杆ABAB的的A A端铰接固定，环端铰接固定，环M M将将ABAB杆杆与半径为与半径为R R的固定圆环套在一起，的固定圆环套在一起，ABAB与垂线之夹角为与垂线之夹角为φ=ωtφ=ωt，求套环，求套环M M的运动方程、速度、加速度的运动方程、速度、加速度 方法一：自然坐标法方法一：自然坐标法 ① ①分析动点的运动、建立弧坐标轴。

分析动点的运动、建立弧坐标轴 动点套环动点套环M M的轨迹为沿固定圆环的轨迹为沿固定圆环的圆周运动以圆环上的的圆周运动以圆环上的O′O′点点为弧坐标原点，顺时针为弧坐标为弧坐标原点，顺时针为弧坐标正向，建立弧坐标轴正向，建立弧坐标轴 ②②列动点的运动方程列动点的运动方程 图示几何关系：图示几何关系：s = Rs = R（（2φ2φ））故有：故有：s= 2Rωts= 2Rωt赂剂图茬侮匹彩渴贩蔼擦诵挚萨弹幂拌桨铲城汛剁缠触戳掇膨痊旗咳爽荣教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速③③求点的速度、加速度求点的速度、加速度 由由v = ds/dtv = ds/dt得得 v = d v = d（（2Rωt2Rωt））/dt=2Rω /dt=2Rω 速度速度v v的方向沿该点的切线方向，且指向运动的一方的方向沿该点的切线方向，且指向运动的一方 由由a an n = v = v2 2/ρ/ρ，，a aττ=dv/dt=dv/dt得得 a aττ=dv/dt=0=dv/dt=0，，a an n = v = v2 2/ρ=4Rω/ρ=4Rω2 2 即点即点M M的全加速度为：的全加速度为：a=aa=an n=4Rω=4Rω2 2 a a的方向即的方向即 a an n的方向，自的方向，自M M点半径指向圆心。

点半径指向圆心套环（套环M M沿固定圆环作匀速圆周运动沿固定圆环作匀速圆周运动 击苯吹糠蒂吼幅立刚徐纂窗荡雀培啼戎庐皂蒸著螟氰遮灸脯柬仁序饿拳宋教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速BAMOO'2xyvxv yvaxaya2φ方法二：直角坐标法方法二：直角坐标法 ①①列动点的运动方程列动点的运动方程 建立直角坐标系建立直角坐标系OxyOxy，如图所示如图所示 图示几何关系：图示几何关系：x=Rsinx=Rsin2 2φ y=Rcosφ y=Rcos2 2φ φ 故点故点M M的运动方程为的运动方程为 x=Rsin2ωt x=Rsin2ωt y=Rcos2ωt y=Rcos2ωt②②求点的速度。

求点的速度v vx x= dx/dt = 2Rωcos2ωt = dx/dt = 2Rωcos2ωt v vy y= dy/dt =-2Rωsin2ωt = dy/dt =-2Rωsin2ωt 点点M M速度的大小为：速度的大小为：v =√vv =√vx x2 2+v+vy y2 2 = 2Rω = 2Rω速度的方向余弦：速度的方向余弦：coscos（（v v，，i i））= v= vx x/v= cos2ωt=cos2φ/v= cos2ωt=cos2φ以冠眉磁慎薛讲颇骸颖沦离郑饯剩活耿播睦胆猴门衷篡奸少貉焙邓伤吱藤教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速 ③③求点的加速度求点的加速度a ax x= dv= dvx x/dt = -4Rω/dt = -4Rω2 2sin2ωtsin2ωta ay y= dv= dvy y/dt = -4Rω/dt = -4Rω2 2cos2ωtcos2ωt点点M M加速度的大小为加速度的大小为a =√aa =√ax x2 2+a+ay y2 2 = 4Rω = 4Rω2 2加速度的方向余弦：加速度的方向余弦：coscos（（v v，，i i））= a= ax x/a = -sin2ωt =-sin2φ/a = -sin2ωt =-sin2φ即即a a方向沿该点轨迹的半径指向圆心方向沿该点轨迹的半径指向圆心O O。

散锌囱淫异咱常亚凿汪酷其诅缨肃床歹旺完年遭退绕冬确欧筋跟联娇汝撼教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速例例4 4：：已知点的运动方程已知点的运动方程x=2tx=2t、、y=t2y=t2，其中，坐标、，其中，坐标、时间的单位分别为时间的单位分别为m m和和s s求t=2st=2s时，动点的曲率半径时，动点的曲率半径ρρ①①求点的速度求点的速度v vx x= dx/dt=2= dx/dt=2（（m/sm/s），），v vy y=dy/dt=2t=dy/dt=2t速度的大小为：速度的大小为：②②求点的加速度求点的加速度a ax x= dv= dvx x/dt =0/dt =0，，ay= dvay= dvy y/dt = 2/dt = 2（（m/sm/s2 2））加速度的大小为：加速度的大小为：由由a aττ=dv/dt=dv/dt得点的切向加速度关系式：得点的切向加速度关系式：隋某惑虱根邹脂簇汝了刁鸦穗能卤董烈昔狱宴破捌岩拙租甜届膘佣奈兢衰教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速当当t=2st=2s时，时，v =2√5v =2√5（（m/sm/s）） aτ= 4√5/5 aτ= 4√5/5（（m/s2m/s2））故有故有则有则有橡股径溯这隅疑怜斜射驴限名总旅恳厅绳徽骤抱暂越仗下什葵撬藏掌梗分教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速教学要求理解弧坐标自然轴系切向加速度法向加速。