弹性力学及有限元法：第6章 单元形函数的讨论.ppt

第六章单元形函数的讨论,第6章 单元形函数的讨论,在有限单元的基本理论中，形函数不仅可以用作单元的内插函数，把单元内任一点的位移用节点表示，还可以做为加权函数，将分布力等效为节点上的集中力和力矩此外，它还可用于等参数单元的坐标变换等 在本章中，重点讨论几种典型单元的形函数插值函数的构造方式，然后以平面三角形单元为例，讨论了形函数的性质，在此基础上分析了有限元的收敛准则本章概述,6.1 形函数构造的一般原理,单元的类型和形状决定于结构总体求解域的几何特点、问题类型和求解精度根据单元形状,可分为一维、二维、三维单元单元插值形函数主要取决于单元的形状、节点类型和单元的节点数目节点的类型可以是只包含场函数的节点值，也可能还包含场函数导数的节点值是否需要场函数导数的节点值作为节点变量一般取决于单元边界上的连续性要求，如果边界上只要求函数值保持连续，称为C0型单元，若要求函数值及其一阶导数值都保持连续，则是C1型单元6.1 形函数构造的一般原理,在有限元中，单元插值形函数均采用不同阶次的幂函数多项式形式对于C0型单元，单元内的未知场函数的线性变化仅用角（端）节点的参数来表示节点参数只包含场函数的节点,值。

而对于C1型单元，节点参数中包含场函数及其一阶导数的节点值与此对应，形函数可分为Lagrange型（不需要函数在节点上的斜率或曲率）和Hermite型（需要形函数在节点上的斜率或曲率）两大类，而形函数的幂次则是指所采用的多项式,具有一次、二次、三次、或更高次等幂次，可能,单元类型：维数 次数 节点数,6.1 形函数构造的一般原理,另外，有限元形函数N是坐标x、y、z的函数，而节点 位移不是x、y、z的函数，因此静力学中的位移对坐标微分,只对节点位移向量起作用时，只对形函数N作用，而在动力学中位移对时间t微分,时，,形函数 对应于节点 节点形函数,6.1 .1常用单元的形函数,1. 一维一次两节点单元（杆单元）,图6-1一维一次两节点单元模型,如图6-1所示，设位移函数u(x)沿x轴呈线性变化, 即,设两个节点的坐标为 ；两节点的位移分别为 ，可以代入上式并解出 ，得,写成向量形式为：,(6.1),(6.2),(6.3),6.1.1 常用单元的形函数,(6.4),(6.5),借助于Matlab软件，可以很方便的推导出上述单元形函数，具体代码如下：,位移函数u(x)记作形函数与节点参数乘积的形式,得到形函数矩阵为,1. 一维一次两节点单元（杆单元）,6.1 .1常用单元的形函数,clear x1=sym(x1); x2=sym(x2); x=sym(x);,j=0:1;,v=x.j; % v=1 x;,m=1,x1;1,x2,mm=inv(m),N=v*mm,simplify(factor(N),1. 一维一次两节点单元（杆单元）,6.1 .1常用单元的形函数,2. 二维一次三节点单元（平面三角形单元）,在整体坐标系统下，任一点的某一方向的位移是设三个节点的坐标是 ， 为三个节点在某方向上的位移，具有如下关系,(6.6),(6.7),图6-2 二维一次三节点单元,6.1 .1常用单元的形函数,2. 二维一次三节点单元（平面三角形单元）,其中形函数的各元素为：上述推导可用如下MATLAB程序：,Clear,v=sym(1, x,y),m=sym(1,x1,y1;1,x2,y2;1,x3,y3),mm=inv(m),N=v*mm,simplify(factor(N),得到形函数矩阵如下式,(6.8),(6.9),6.1 .1常用单元的形函数,在总体坐标系统下，任一点的某一方向的位移是,(6.10),3.三维一次四节点单元（三位四面体单元）,图6-3三维一次四节点单元,与上述思想相似 可得,(6.11),6.1 .1常用单元的形函数,形函数矩阵如下式,3.三维一次四节点单元（三位四面体单元）,(6.12),展开后很复杂,6.1 .1常用单元的形函数,4.一维二次三节点单元（高次单元）,图6-4一维二次三节点单元模型,(6.13),(6.14),如图6-4设位移函数为,用节点位移,代入并求解,6.1 .1常用单元的形函数,(6.15),得到,上式等号右端第一项矩阵即为形函数。

4.一维二次三节点单元（高次单元）,6.1 .1常用单元的形函数,5. 一维三次四节点单元（Lagrange型 ),(6.16),图6-5一维三次四节点单元模型,如图6-5，位移函数为三次方程为,需要四个节点参数才能唯一地确定其中的常系数这四个节点可以分别取两个端点和两个三分点类似地，可以得到如下形函数方程,6.1 .1常用单元的形函数,(6.17),(6.18),其中形函数中的各元素为,6.1 .1常用单元的形函数,(6.19),6. 一维三次二节点单元（Hermite型 ),图6-6一维三次二节点单元模型,如图6-6所示的一维三次两节点单元，这类单元的位移插函数为,对应的转角方程为,(6.20),6. 一维三次二节点单元（Hermite型 ),6.1 .1常用单元的形函数,用节点参数,代入求解,(6.21),即,6.1 .1常用单元的形函数,得到,(6.22),其中形函数矩阵中各元素为,(6.23),6.1 .1常用单元的形函数,上述结果可用MATLAB程序进行验证：,Clear,x=sym(x);,j=0:3;,v=x.j % v=1 x x2 x3;,m=sym(1,x1,x12,x13; 0,1,2*x1,3*x12;1,x2,x22,x23;,0,1,2*x2,3*x22,mm=inv(m),N=v*mm;,simplify(factor(N),),6.1 .1常用单元的形函数,(6.24),7. 二维一次四节点单元（平面四边形单元或矩形单元）,用形函数表达的位移方程如下,(6.25),图6-7二维一次四节点单元,其中形函数矩阵的元素为,6.1 .1常用单元的形函数,6.1 .1常用单元的形函数,(6.26),8. 三维一次八节点单元,在三维一次单元形函数中，函数值沿三坐标轴（x、y、z轴）呈线性变化。

假设位移函数沿各坐标轴的线性变化,可写成,假设在i节点的位移值为ui，并将数值代入上式，其他各节点(j,k,l,m,n,p,q)亦类推，共有8个式子，其中第1式如下,(6.27),图6-8 三维一次八节点单元,6.1 .1常用单元的形函数,(6.28),可是以求得系数解,则,(6.29),6.1 .1常用单元的形函数,6.1 .1常用单元的形函数,(6.30),最后得到形函数的表达式为,写出不具体表达式了，对于一个特定的单元，形函数的个数与什么相关？,6.1.2 形函数的构造规律帕斯卡三角形,上述位移函数的构造规律，可以根据帕斯卡三角形加以确定（针对的是Lagrange 单元），同时，这样制定的位移模式，还能够满足有限元的收敛性要求以下是几种典型情况例如,一维两节点单元的情况，,如图6-9：,图6-9一维一次二节点单元的形函数组成,图6-10一维二次三节点单元的形函数组成,实质上是位移模式的构造规律,6.1.2 形函数的构造规律帕斯卡三角形,图6-12二维二次六节点单元的形函数组成,二维高阶单元的情况，见图6-11、12、13、14：,图6-11二维一次四节点单元的形函数组成,6.1.2 形函数的构造规律帕斯卡三角形,图6-14二维二次九节点单元的形函数组成,图6-13二维二次八节点单元的形函数组成,6.1.2 形函数的构造规律帕斯卡三角形,斯卡三角形上圈定相应区域,（3）对应写出位移函数的插值公式，进而求出形函数。

可以看出，形函数时可以按照帕斯卡三角形构造，具体方法（1）按照所研究问题的维数绘制坐标轴，一维对应一个坐标轴，二维对应两个坐标轴，三维对应三个坐标轴2）按照所选单元的节点数，用三角形、矩形或长方体在帕,三维单元的情况，见图6-15,图6-15三维单元的形函数组成,6.2 形函数的基本性质,下面以平面三角形单元为例讨论形函数的一些性质（见图6-16）平面三角形单元的形函数为,（i =1, 2 , 3）,(6.31),图6-16三角形单元,其中，,为三角形单元的面积，,为与节点坐标,有关的系数，它们分别等,于,公式中的行列式的有关代数余子式,前面已经介绍了，这里不再详述,6.2 形函数的性质,对于任意一个行列式, 其任一行（或列）的元素与其相应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素与其他行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零因此有：,第一，形函数在各单元节点上的值，具有“本点是1、它点为零”的性质，即在单元节点1上，满足,(6.32),在节点2、3上，有,(6.33),(6.34),6.2 形函数的性质,类似地有,(6.35),第二，在单元的任一位置上，三个形函数之和等于1，即,(6.36),简记为,(6.37),这说明，三个形函数中只有二个是独立的,6.2 形函数的性质,第三，三角形单元任意一条边上的形函数，仅与该边的两端节点坐标有关、而与其它节点坐标,无关。

例如，在2-3 边上有,(6.38),根据形函数的这一性质可以证明，相邻单元的位移分别进行线性插值之后，在其公共边上将是连续的例如，单元1-2-3和1-2-4具有公共边1-2由上式可知，在1-2边上两个单元的第三个形函数都等于0，即,(6.39),6.2 形函数的性质,不论按哪个单元来计算，公共边1-2上的位移均由下式表示,(6.40),可见，在公共边上的位移u、v 将完全由公共边上的两个节点1、2的位移所确定，因而相邻单元的位移是保持连续,的,6.3 用面积坐标表示的形函数,图6-17平面三角形单元的面积坐标,(6.41),式中，三角形单元ijm的面积，i 、j 、m 为三角形Pjm、Pmi、Pij的面积Li，Lj，Lm叫做P点的面积坐标显然，这三个面积坐标不是完全独立的，这是由于,为了能够更好地理解形函数的概念，这里引入面积坐标在如图6-17所示的三角形单元ijm中，任意一点P(x , y)的位置可以用以下三个比值来确定6.3 用面积坐标表示的形函数,i +j +m =,(6.42),所以有,Li +Lj +Lm =1,(6.43),对于三角形Pjm，其面积为,(6.44),故有,(6.45),类似地有,(6.46),(6.47),6.3 用面积坐标表示的形函数,可见，前面讲述的平面三角形单元的形函数Ni 、Nj 、Nm 等于面积坐标Li 、Lj 、Lm 。

容易看出，单元三个节点的面积坐标分别为,节点 i： Li =1 Lj =0 Lm =0节点 j： Li =0 Lj =1 Lm =0 节点m： Li =0 Lj =0 Lm =1,根据面积坐标的定义，平行于jm边的某一直线上的所有各点都有相同的坐标Li，并且等于该直线至jm边的距离与节点i至jm边的距离之比，图6-15中给出了Li的一些等值线平行于其它边的直线也有类似的情况6.3 用面积坐标表示的形函数,(6.48),当面积坐标的函数对直角坐标求导时，有下列公式,(6.49),不难验证，面积坐标与直角坐标之间还存在以下变换关系：,6.3 用面积坐标表示的形函数,求面积坐标的幂函数在三角形单元上的积分时，有,(6.50),式中, 、 为整常数求面积坐标的幂函数在三角形某一边上的积分值时，有,(6.51),式中, l为该边的长度6.4 形函数与有限元的收敛性,对于一个数值计算方法，一般总希望随着网格的逐步细分所得到的解答能够收敛于问题的精确解根据前面的分析，在有限元中，一旦确定了单元的形状，位移模式的选择将是非常关键的由于载荷的移置、应力矩阵和刚度矩阵的建立都依赖于单元的位移模式，所以，如果所选择的位移模式与真实的位移分布有很大的差别，会将很难获得良好的数值解。

可以证明，对于一个给定的位移模式，其刚度系数的数值比精确值要大所以，在给定的载荷之下，有限元计算模型的变形将比实际结构的变形小因此细分单元网格，位移近似解将。