单纯形法图解法及原理.ppt

1,,,,,线性规划模型隐含的假设：比例性： 决策变量变化引起目标的改变量与决策变量改变量成正比可加性： 每个决策变量对目标和约束的影响独立于其它变量连续性： 每个决策变量取连续值确定性： 线性规划中的参数aij , bi , ci为确定值2,,,第二节 单纯形法原理,----图解法,图解法：是用画图的方式求解线性规划的一种方法只能用于求解两个变量的LP问题,3,,,,1）作出可行域2）作出一条目标函数的等值线3）平行移动目标函数的等值线，求出最优解,图解法基本步骤：,4,,例1.数学模型 max Z=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2  120 2x1+x2  50 x1,x2  0,,5,,,,,,,,,,,,x2,50,40,30,20,10,10,20,30,40,x1,,4x1+3x2  120,,由 4x1+3x2  120 x1  0 x2  0围成的区域,,,,6,,,,,,,,,,,,,x2,50,40,30,20,10,10,20,30,40,x1,,2x1+x2  50,,,4x1+3x2  120,,,7,,,,,,,,,,,,,x2,50,40,30,20,10,10,20,30,40,x1,,2x1+x2  50,,,4x1+3x2  120,,,可行域,同时满足： 4x1+3x2  120 2x1+x2  50 x1  0 x2  0的区域——可行域,,,,,8,,,,,,,,,,,,,x2,50,40,30,20,10,10,20,30,40,x1,,可行域,O（0，0）,Q1（25，0）,Q2（15，20）,Q3（0，40）,可行域是由约束条件围成的区域，该区域内的每一点都是可行解，它的全体组成问题的解集合。

该问题的可行域是由O，Q1，Q2，Q3作为顶点的凸多边形,,,,2x1+x2  50,4x1+3x2  120,9,,,,,,,,,,,,,x2,50,40,30,20,10,10,20,30,40,x1,,可行域,,,目标函数是以Z作为参数的一组平行线x2 = Z/30-（5/3）x1,,,2x1+x2  50,4x1+3x2  120,10,,,,,,,,,,,,,x2,50,40,30,20,10,10,20,30,40,x1,,可行域,,,当Z值不断增加时，该直线x2 = Z/30-（5/3）x1沿着其法线方向向右上方移动2x1+x2  50,4x1+3x2  120,11,,,,,,,,,,,,,x2,50,40,30,20,10,10,20,30,40,x1,,可行域,,,当该直线移到Q2点时，Z（目标函数）值达到最大：Max Z=50*15+30*20=1350此时最优解（x1，x2 ） =（15，20）,Q2（15，20）,,,,,,有唯一最优解,2x1+x2  50,4x1+3x2  120,12,,,,,,,,例2 解线性规划,,,,,,,,,,,,,,有唯一最优解,13,,,,,对于线性规划问题，我们定义：可行解：满足全部约束条件的决策向量 XRn。

可行域：全部可行解构成的集合它是 n 维欧 氏空间Rn 中的点集，而且是一个“凸 多面体”)最优解：使目标函数达到最优值（最大值或最小 值，并且有界）的可行解无界解：若求极大化则目标函数在可行域中无上 界；若求极小化则目标函数在可行域中 无下界14,,,,,有无穷多最优解,例3 解线性规划,Z=0,Z=-2,,15,,,,,例4 解线性规划,,,,,,,,,,有无界解,16,例5： MaxZ=3X1-2X2 X1 + X2 <=1 2X1 + 2X2 >=8 X1,X2 >=0,,无可行解,,,,,,,17,,,结论： 1、线性规划问题的可行域为凸集 2、若有最优解一定可以在其可行域的顶点上得到,线性规划问题解的几种情况： 1、有唯一最优解 2、有无穷多最优解 3、无可行解 4、无最优解,18,第三节 单纯形法 ----原理,单纯形法：单纯形法是求解线性规划的主要算法，1947年由美国斯坦福大学教授丹捷格（G.B.Danzig）提出。

尽管在其后的几十年中，又有一些算法问世，但单纯形法以其简单实用的特色始终保持着绝对 的“市场”占有率19,定义1：基(基阵) ——由A中一个子矩阵B是可逆矩阵，则方阵B称为LP问题的一个基线性规划问题解的概念,20,21,AX=b的求解,A=(BN)X=(XB XN )T XB XN,(BN) = b,,BXB +NXN=bBXB =b-NXNXB = B-1 b - B-1N XN,22,23,B=(P3 P4 P5)=I 可逆 基 N=(P1 P2),例1：,24,令X1 = X2 =0, X3=30, X4=60, X5=24,25,令X4=X5=0 X=(12, 12, -6, 0, 0)T,Z=40X1 +50X2 =40[12-(1/3 X4 -1/3 X5)] +50[12- 1/2 X5 ] = 1080+(- 40/3 X4 -35/3 X5 ),基本解，但不可行,26,求出基变量是X1 , X3 , X4的基本解，是不是可行解？,27,28,,∴X=(1, 0, 3/2, 3/2)T 是,29,定义1：凸集——D是n维欧氏空间的一个集合 X(1), X(2)∈D,若任一个满足 X= X(1)+(1-) X(2) (0   1) 有X∈D,线性规划问题的几何意义,30,X(1) , X(2) , … ,X(k) 是n维欧氏空间中的k个点，若有一组数 µ1 , µ2 , … , µk 满足 0  µi 1 (i=1,… ,k),定义2,有点 X= µ1 X(1) + … + µk X(k)则称点X为 X(1) , X(2) , … ,X(k) 的凸组合。

凸组合,,31,凸集D, 点 XD，若找不到两个不同的点X(1) , X(2) D 使得 X= X(1) +(1-  ) X(2) (0< <1) 则称X为 D的顶点定义3,顶点,,32,定理1：LP问题的可行解域一定是凸集引理1：线性规划问题的可行解X为基可 行解的充分必要条件是：X的非 零分量(>=0)所对应的系数矩阵 A的列向量是线性无关33,定理2：线性规划问题的基可行解对应线性 规划问题可行域（凸集）的顶点引理2：D为有界凸多面集， XD，X必可表 为D的顶点的凸组合 定理3：可行域有界，最优值必可在顶点得到,34,定理2：可行域中点X是顶点 X是基本可行解定理1：LP问题的可行域一定是凸集(凸多面集),,。