第二章电磁场的基本规律.ppt

第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 麦克斯韦提出了“涡旋电场”和“位移电流”两个假说，进而归纳出一组描述电磁场运动规律的基本方程，即麦克斯韦方程组，其正确性为日后的实验所确认，因而是分析解决电磁场问题的理论基础 本章将回顾、总结电磁现象基本规律以及介质的极化和磁化规律，给出涡旋电场和位移电流的概念，在此基础上建立麦克斯韦方程组，并推导电磁场的边界条件，讨论电磁场的能量和能流 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律2.1 真空中的静电场2.1.1 库仑定律 电场强度 库仑定律是静电现象的基本实验规律：真空中点电荷 q1 对点电荷 q2 的作用力为 （2-1-1） 为真空的介电常数 r1、r2为两个点电荷的位矢 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 电荷之间的相互作用通过电场传递 电场强度定义为： （2-1-2） 位于 r′处的点电荷 q 在空间任一点 r 处产生的电场强度为（2－1－3）第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律电场满足叠加原理。

由分布在体积 V 中的全体电荷产生的电场强度： （2-1-4）由分布在曲面 S上的电荷产生的电场强度： （2-1-5） 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律2.1.2 高斯定理 静电场的散度 高斯定理：真空中，静电场在任何闭合曲面上的通量仅由曲面内的电荷决定，而与曲面外的电荷无关： （2-1-7）由分布在曲线 L 上的电荷产生的电场强度： （2-1-6）  为电荷密度； S 为面电荷密度； l 为线电荷密度第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 为证明上式，先介绍立体角： 球面上的任一曲面面积 S 与球面半径 R 的平方之比与 R 无关此比值定义为该曲面对球心所张的立体角： 球面对球心的面积为S = 4R2，故知球面对球心的立体角为 4 。

第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 任意曲面 S 对 O′ 的立体角等于在以 O′ 为心、任意半径的球面上的投影面积 S⊥对点 O′ 的立体角第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 空间任一位矢 r 端点处的有向面元 dS 对某位矢 r′ 端点O′的立体角为 有向曲面对其正侧（即法矢量所指的一侧）的点立体角为负，而对其负侧的点则为正 任一规定了法向的有限曲面 S 对点 O′ 的立体角为 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律若S为闭曲面，则有第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律推导高斯定理： 由 r′处的点电荷 q 产生的电场 E 在任意闭合曲面 S 上的通量为 按场的叠加原理，由 n 个点电荷产生的总电场在闭曲面S上的通量为 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 利用散度定理 ，可以写出高斯定理的微分形式：可见，电场强度在任一点的散度只取决于该点的电荷密度第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律2.1.3 静电场的环路定理和旋度 在电磁学中已经由库仑定律证明了静电场的环路定理：由斯托克斯定理 ，可得与上式相应的微分式：第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律总结静电场 以上表明，静电场是无旋场。

根据矢量场的唯一性定理，静电场的性质由其散度和旋度决定，因此， 就是真空中静电场的基本方程它们表明，静电场是有散无旋场静电场的电力线发自正电荷，止于负电荷，是有头有尾的不闭合曲线第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律2.2 电流连续性方程 2.2.1 电流密度 电荷的定向移动形成电流 1．电流密度 电功率密度 电流密度矢量 J 指向正电荷的运动方向，大小等于单位时间垂直通过单位截面的电荷，亦即通过单位横截面的电流强度：其中 ev 是正电荷的速度单位矢，I 是通过横截面 S 的电流强度第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律通过任一面元的电流强度为dI = J· dS （2-2-2）而通过任一有限面积的电流强度则为 （2-2-3）电流密度与电荷的密度及其运动速度有关: J =  v （2-2-4） 实验指出，导体中某点的电流密度与该点的电场强度成正比，并且二者同方向： J =  E (2-2-5) 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 若电荷处于外电场 E 中，将受到电场力的作用。

单位体积内电荷所受的电场力为  E又若电荷在电场力作用下移动，则单位时间内，电场力对单位体积内电荷所作的功为 E · v = E · J 此即电场力提供给电荷的功率，这些功率通过碰撞等机制被转化为其他形式的能量，因此对电场而言是消耗所以，单位体积内消耗的电功率（即电功率密度）为 P= E · J = E2 (2-2-6)第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律2．面电流密度 如果电流仅分布在某一薄层中，层的厚度远小于电流层到场点的距离，以至于可以近似地认为电流在层中沿厚度方向的分布情况对场的分布没有影响，就可以把这层电流看作是集中在一个没有厚度的几何面上，称为面电流 面电流密度矢量 J 平行于电流面，指向正电荷的运动方向，大小等于垂直通过单位横截线的电流强度： (2-2-7) 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律其中l 是垂直于正电荷运动方向的线段， I 是通过 l 的电流强度，见图2-2-1 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律面电流密度 JS 与体电流密度 J 有简单的关系：JS 与 J 同方向，故有 (2-2-8)2.2.2 电流连续性方程 电荷守恒定律：一个与外界无电荷交换的系统中，电荷的总量（即正负电荷的代数和）在任何情况下都保持不变。

考虑空间区域 V，其表面为S第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 在单位时间内由区域V内部流出的电流强度为 (2-2-9)按电荷守恒定律，I 应等于单位时间内 S 中电量 q 的减少，即 (2-2-10)比较两式，得 （2-2-11）此即电荷守恒定律的数学表达式 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 若（2-2-11）的右边为0，即意味着单位时间内流入和流出面的电流强度相等，此时称电流在面内连续因此，式（2-2-11）反映了闭曲面内电流是否连续与面内电量的改变两者之间的关系，故又称其为电流连续性方程它指出，在电流不连续处必有电荷的增减 在体积不随时间改变时，对 t 求导与对体积的积分可交换顺序应用散度定理，即可得到电流连续性方程的微分形式： （2－2－12） 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 在稳恒电流情形下，电荷分布不随时间变化，有 ·J = 0 （2－2－13）相应的积分形式为 （2－2－14）这表明，稳恒电流线是处处连续的闭合线。

第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律2.3 真空中的稳恒磁场2.3.1 安培定律 毕奥--萨伐尔定律 安培定律给出真空中两个电流元之间磁相互作用的规律，它是根据两个闭合载流回路之间的相互作用力推断出来的定律叙述如下： 若载流回路 C 和 C' 中的电流强度分别为 I 、I' ，则回路 C 上的电流元 I dl 受到来自C'上电流元 I' dl' 的磁力为 (2-3-1)第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律其中 0 为真空的磁导率，r 和 r' 分别为电流元 I dl 和 I' dl' 的位矢，见图2-3-1 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 电流之间的磁相互作用通过磁场传递电流在其周围空间产生磁场，磁场的基本性质是对位于其中的电流和运动电荷有作用力引入磁感应强度 B 描写磁场的这一基本性质，将电流元 I dl 在磁场中的受力写为dF = I dl×B (2-3-2)由此，式（2-3-1）可写为 dF' = I dl×B'其中 （2-3-3)为电流元 I' dl' 在 r 处产生的磁感应强度。

第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 由场的叠加原理，整个电流 I ' 在 r 处产生的总磁场为 (2-3-4)式（2-3-3）或（2-3-4）称为毕奥—萨伐尔定律，它给出了电流激发磁场的规律 载流导线在磁场中受力的微观本质是磁场对在其中运动的电荷有作用力带有电量 dq 的电荷在磁感应强度为B 的磁场中以速度 v 运动时，其等效电流元为 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律其所受的磁力为 dF = dq v×B (2-3-5)此称洛仑兹力该式表明洛仑兹力总是垂直于电荷的运动速度，故洛仑兹力永不作功，它只改变电荷的运动方向 2.3.2 磁通连续性原理 磁场的散度 现在计算电流 I 产生的磁场 B 在任何闭曲面 S 上的通量利用矢量混合积公式 A · (B × C ) = B · (C × A) ， (2-3-4) 可写为第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律利用公式 和可得因为 ，故得 （2-3-6） 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 上式表明，穿过任一闭曲面的 B 通量恒为零，这一性质称为磁通连续性原理。

由散度定理，可写出与式（2-3-6）相对应的微分关系： ·B = 0 （2-3-7）这表明，磁场是无散场2.3.3 安培环路定理 稳恒磁场的旋度 安培环路定理是稳恒磁场的另一个重要定理，表达式为 (2-3-8)这里 S 是以 L 为周界的任意曲面第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律推导：设回路 C 载有稳恒电流 I电流 I 在其周围空间产生的磁场为 下面考虑位于该磁场中的任一回路 L 上的环量 设 P 是 L 上的一点，dl 是 P 处的矢量线元，见图2-3-2a 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律则有 （2-3-9）注意到 (- dl ) × dl = dS' 是线元平移时扫过的有向面积，而 为有向面元 dS′ 对 P 点的立体角d ′ ，，上式可写为 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律这里 为回路 C 平移 – dl 时， C 所围曲面  对点 P 的立体角的增量。

由图2-3-2b可知，它也可看作是回路保持不动，而 P 点发生位移 dl 时，  面对点 P 所张立体角的增量因此，将式（2-3-9）对回路 L 积分，右边就是曲面  对动点 P 的终点和起点的立体角之差： （2-3-10）式中1、2代表回路 L 上无限靠近的两点，1为起点，2为终点1 、2 分别为曲面对1、2两点的立体角  面的法方向与 L 成右手螺旋 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 若 L 未与电流 I 环链，即图2-3-2所示的情形，则有 1 = 2 此时，式（2-3-10）给出 （I 未穿过 L） （2-3-11） 现在考虑回路与电流相互环链的情况假定 I 沿 L 的右手螺旋方向穿过 L，1、2 两点分别紧靠  的正面（即法矢量 en 所指的一侧）和反面，如图2-3-3所示 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 图2-3-4中，用曲线代替  面，用平面角代替立体角，示意地绘出了1 和 2 ，其中图a是1、2两点相距有限远时的情况，图b则是两点相距很近时的情况。

由于点 1 在  的正面，故 1＜０．由图b不难看出，当1、2两点彼此无限靠近时，将有 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律这样，式（2-3-10）就给出　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2-3-12）若 I 沿 L 的左手螺旋方向穿过 L ，则积分应反号，即有　 （2-3-13）以上讨论中 I 皆取绝对值为简洁起见，现规定 I 为代数量：当 I 与 L 成右手螺旋时为正，反之为负这样，式（2-3-11）~（2-3-13）可统一地写为 (2-3-14)第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 若磁场由 n 个电流 Ii（i=1,2,……n）共同产生，其中I1 、 I2 、…、Im 穿过 L，而Im+1 、Im+2 、…、In未穿过，则按式（2-3-14），第 i 个电流所产生的磁感应强度 Bi 对 L 的环量为 （2-3-15）根据场的叠加原理，就有 这就得到了式（2-3-8）。

第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 式（2-3-8）相应的微分形式为×B = 0 I （2-3-16） 式（2-3-8）和（2-3-16）分别给出了稳恒磁场的散度和旋度按矢量场的唯一性定理，它们就是稳恒磁场的基本方程这两方程表明，稳恒磁场有旋无散，磁感应线是无头尾的闭合曲线 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律2.4 电磁感应定律2.4.1 电磁感应定律 在磁通发生变化的回路中存在着感应电动势，其规律由法拉第电磁感应定律给出： 规定回路 C 的绕行参考方向与  的参考方向（即磁场的方向）成右手螺旋关系式中负号表示感应电动势的方向 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 如果回路 C 为 N 匝线圈，则回路的总感应电动势为： 称为穿过多匝线圈回路的磁通匝链，简称磁链 引起磁通或磁链变化的原因有两种，相应的感应电动势也有两种——动生电动势和感生电动势 当导体回路相对于磁场运动时，导体回路中会产生感应电动势，即动生电动势，记做 k。

引起动生电动势的非静电力是洛仑兹力：第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律式中C为导体回路，v 是导体元 dl 的速度，v×B 是单位正电荷所受的洛仑兹力 若回路C中的感应电动势由磁场本身随时间变化而引起，则称其为感生电动势，记为 ind 由法拉第电磁感应定律，有第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律2.4.2 涡旋电场 麦克斯韦涡旋电场假说： 随时间变化着的磁场可以激发一种电场，称为感生电场该电场的电力线是闭合的，故又称为涡旋电场涡旋电场力就是引起感生电动势的非静电力 记涡旋电场对单位正电荷的作用力为 Eind按涡旋电场假说，由电动势的定义，有 与前式比较，有第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 利用斯托克斯定理，与上式对应的微分形式为 这表明涡旋电场是有旋场 结论：激发电场的源有两种，一种是电荷，它激发的电场是无旋的库仑场 EC；另一种是变化的磁场，它激发的是涡旋电场 Eind注意到 EC 满足 × EC = 0 ，故知总电场满足和第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律§2.5 介质的电磁特性 在实际电磁场问题中，通常有介质存在。

介质由分子组成，因此介质中处处有电荷由于分子中正负电荷数量相等，而且还由于热运动分子排列杂乱无章，故一般情况下介质表现为电中性 但当介质处在外加的电磁场中时，分子中电荷的分布以及分子的运动状态都会受场的影响而发生变化，使介质表现出一定的电、磁性质，从而反过来对电磁场的分布产生影响 本节将介绍分析介质与外加电、磁场之间相互影响的方法第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律2.5.1 介质的极化1．极化强度 电介质按其分子是否具有固有电偶极矩分为两类：a)无极分子电介质——无外加电场时，分子正负电荷的重心重合，分子和介质都呈电中性；b)有极分子电介质——无外加电场时，分子正负电荷的重心分开，每个分子相当于一个电偶极子，具有固有电偶极矩但由于各分子的电偶极矩杂乱排列，其作用相互抵消，故有极分子电介质也不显电性 当介质处于外电场中时，电场将使介质发生极化按极化的机理，极化分为两类：第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律a)位移极化：无极分子正负电荷重心分开，成为沿外电场方向的电偶极子，从而使介质在宏观上显示出电性；b)取向极化：有极分子的固有电偶极矩受电力矩作用，一定程度地转向外电场的方向，使介质在宏观上显示出电性。

无论是位移极化还是取向极化，极化现象的特征都是单位体积介质内分子的电偶极矩矢量和不为零为描述介质极化的状态，引入极化强度矢量 P： 其中，p = q l 为分子的等效电偶极矩，q 为电偶极子的电荷，矢量 l 从-q 指向 +q 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律2．极化电荷 由于极化，介质的表面和内部都可能出现宏观的电荷分布，这就是极化电荷从微观上看，极化电荷仍是被束缚在分子中的，因此不可能从介质中引出，它们是束缚电荷 首先导出介质表面的极化电荷面密度表达式 介质极化后，其分子的电偶极矩基本上沿极化强度的方向排列起来，如下页图所示 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律极化电荷面密度推导用图第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 在介质内接近表面处的偶极子，其正电荷将沿 P 方向穿出上底面，形成“浮现”在介质表面的极化电荷 设等效电偶极子长度为 l ，电量为 q 取一斜高为 l ，底面积为 S 的斜柱体，柱体的轴线平行于 P，见图中的虚线框由图可见，每一个向柱体的上底面外贡献 +q 的偶极子，其负电荷一定在此柱体内。

因为负电荷数等于偶极子数，故若分子数密度为 n ，则 S 面拥有的极化电荷总量为应为 于是，介质表面上的极化电荷面密度为 en 为介质表面的外法向单位矢 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律极化电荷的体密度公式： 考虑介质内部的某体积 V由电荷守恒定律，在极化中净移出体积 V 的束缚电荷总量应等于留在体积内的束缚电荷总量的负值因为移出体积 V 的束缚电荷就是“浮现”在该体积表面上的全体极化电荷的代数和，即有此为计算体积 V 中极化电荷的公式它表明，体积 V 中的极化电荷量等于 P 在体积表面上的通量 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 利用散度定理，由上式即得极化电荷的体密度公式：由此可知，介质均匀极化（即 P 为常量）时，其内部无极化电荷 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律3．有介质存在时的高斯定理 当有介质存在时，空间中不仅有自由电荷，还有极化电荷，任一点的电场由二者共同激发因此，高斯定理应扩展为利用 ，上式成为引入电位移矢量： 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律则上式成为此即用 D 表示的高斯定理。

可见，电位移矢量的通量仅由自由电荷决定，与极化电荷无关该式对真空也适用 根据散度定理，由上可得 【例1】 一个半径为 a 的介质球被均匀极化，极化强度大小为 P0，求极化电荷的分布 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律解：设极化强度为，建立球坐标系在球内处，极化电荷体密度为可见，均匀极化的介质内部无极化电荷 在球的表面上，r 处的极化电荷面密度为这表明均匀极化球的表面上有极化电荷，而且极化面电荷的分布不均匀 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律2.5.2 介质的磁化 1．磁化强度 介质由分子组成分子中各种形式的电荷运动的总效果可以等效为一个环形电流，称为分子电流由于分子电流的存在，分子具有一定的磁矩：m = I a ，其中 I 是分子电流的强度，a 是分子电流环绕的有向面积，其方向与分子电流的绕向成右手螺旋 无外加磁场时，介质中各分子磁矩杂乱排列，互相抵消，于是介质不显磁性当处于外磁场中时，各分子磁矩将受到外磁场的力矩作用，磁力矩 L = m×B因此，各分子磁矩将在一定程度上转向外磁场方向，于是介质在宏观上显示出磁性这时就称介质发生了磁化。

第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 描写介质的磁化状态的物理量是磁化强度矢量：2．磁化电流 介质磁化后，内部各分子的磁矩大致沿 M 的方向排列起来，从而介质内部和表面的各分子环流不会互相抵消，这就形成了宏观电流，称为磁化电流磁化电流是束缚电流 考察介质内部通过任一截面S的磁化电流强度为便于说明问题，将式中的 m 视为分子的平均磁矩，于是有这里 n 为单位体积中的分子数 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 穿过 S 面的总磁化电流就是那些与 S 的周线 L 相环链的分子电流的总和，见图以 L 上的任一线元 dl 为轴线，以分子环流所围成的面积 a 为底做一斜柱体，其高为 ，见图b第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 凡中心落在此柱体内的分子环流都与环链因此，与线元环链的分子环流数目为 由于每一分子环流为 I ，故与线元 dl 环链的所有分子环流对穿过 S 的磁化电流的贡献为所以，穿过 S 的总磁化电流为记磁化电流密度为 Jm，则上式可写为 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 利用斯托克斯定理，可写出与上式相应的微分式： 可见，在均匀磁化的介质内部不存在磁化电流。

为导出介质表面上磁化面电流的分布，在由表面法线与M 确定的平面内做一微小矩形回路 L ，回路的两长边（长度为l ）分别在介质表面两侧并与表面平行，如图所示 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 当矩形的宽度 时，穿过回路所围面积的磁化电流即为通过线段 l 的磁化面电流将用于此回路，由于介质外 ，而 l 足够小，在此长度上介质中 M 可视为常量，故有这里  为介质表面的外法向单位矢 en 与 M 的夹角于是 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律注意到分子环流的绕行方向与 M 成右手螺旋，故表面上磁化电流垂直于纸面向外（在图2-5-4中用黑点表示） 综合上述，介质表面磁化电流面密度矢量为可见，在与 M 相垂直的表面上没有磁化面电流3．有介质存在时的安培环路定理 有介质存在时，空间任一点的磁场由传导电流 J 和磁化电流 Jm 共同激发此时安培环路定理应改写为第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律利用 ，可将上式写为定义磁场强度 H：则上式成为此即用 H 表示的安培环路定理，该式对真空中的磁场也成立。

相应的的微分形式为 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律2.5.3 本构方程 当把介质引入到电磁场中时，场分布与介质的极化、磁化状态将在很短的时间内迅速完成相互调适的过程，达到宏观的平衡在这种宏观平衡状态下，介质中极化强度、磁化强度与电场、磁场之间存在着确定的相互关系这种关系与介质本身的物质构成有关，因此被称为本构方程本构方程描写了介质的宏观电磁特性，可以由实验确定 根据介质对电磁场响应的不同，介质可分为两类： 若介质的电磁特性与方向无关，那么它就是各向同性介质；否则就是各向异性介质 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 两类介质各自又可分为两种：若本构方程为线性方程，则介质为线性的，否则为非线性介质1．各向同性线性介质 在各向同性线性介质中， ,其中 e 为介质参数，称为极化率e ≥ 0 ，等号对真空成立 在各向同性的非铁磁线性介质中，M 与 H 大小成正比，但方向可以相同，也可以相反：其中 m 为介质参数，称为磁化率对顺磁质，m ＞ 0 ；对抗磁质，m ＜0 真空中 m = 0 把上两式分别代入 D 和 B ，即得第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律其中  为介质的介电常数：  为介质的磁导率：r 和 r 分别称为介质的相对介电常数和相对磁导率。

以上 P 、E 关系和 M、H 关系就是各向同性线性介质中的本构关系利用  和 ，它们还可写为 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 对于导电介质，除以上各式外，本构方程还包括欧姆定律：  = 0 的介质为理想介质在理想介质中，无论有无电场，总有 J = 0  = ∞ 的介质为理想导体在理想导体中，因 J 有限，故总有 E = 0 2．各向同性非线性介质 在各向同性非线性介质中， 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律其中，e(1)、 e(2)、e(3) 分别表示一阶、二阶、三阶极化率，等等； m(1)、m(2)、m(3) 分别表示一阶、二阶、三阶磁化率，等等 3．各向异性线性介质 对于各向异性线性介质，e、m 不再为标量，而是二阶张量，因而 、  也是二阶张量，此情形下，P 和 E、M 和 H , 以及 D 和 E 、 B 和 H 的关系可用矩阵来表示，这里从略第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律2.6 麦克斯韦方程组 2.6.1 一般情况下的总电位移 前已述及，麦克斯韦的涡旋电场假说将法拉第电磁感应定律包括到了电场的旋度方程中，从而得到了普遍成立的方程式： 其中 与此相对应，空间的总电位移可写为 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律显然 Dind 也应当是涡旋场，因此对任何闭曲面的通量皆无贡献。

于是有因此，总电位移 D 在一般情况下仍然满足方程2.6.2 位移电流 对 ×H =J 两边取散度，则有因为 · ×H = 0 ，而按电流连续性方程， 应有第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律可见在非稳恒情况下，×H = J 与电荷守恒定律相矛盾 为解决上述矛盾，麦克斯韦提出，在一般情况下应有利用 ·D =  ，上式即为满足此式要求，只要取该式就是一般情况下成立的磁场旋度方程第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 麦克斯韦将 称为位移电流密度，提出了位移电流假说： 位移电流和传导电流一样，可以激发涡旋磁场 由于 D 本质上代表电场，故位移电流假说实际上指出，变化的电场可以激发涡旋磁场这就是位移电流假说的意义所在 对 两边作面积分，并利用斯托克斯定理，有此为推广的安培环路定理第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律上式中， 为通过曲面 的传导电流， 为通过曲面 的位移电流， 称为全电流 综上可知，传导电流和位移电流（即变化的电场）都是激发磁场的源，并且它们激发的磁场都是涡旋场。

因此，传导电流和变化电场激发的总磁感应强度对任一闭曲面的通量都为零由此可知，磁通连续性原理 是普遍成立的 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律2.6.3 麦克斯韦方程组 总结上述，麦克斯韦得到一组普遍成立的电磁场方程：左边一组称为麦克斯韦方程组，右边是相应的积分形式 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 麦克斯韦方程组以简洁的形式揭示了电磁场的运动规律，它指出，随时间变化的电场和磁场之间相互激发，相互关联，从而构成一个统一的电磁场 麦克斯韦方程组共涉及到五个矢量：E 、D 、B 、H 和 J ，它们由本构方程相互联系着在各向同性线性介质中，对导电介质则还有 麦克斯韦方程、本构方程、电流连续性方程构成了关于电磁场的完备方程组，其正确性已经得到了无数实验的验证，它们是电磁场分析的基本出发点 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律【例1】铜的电导率 ，介电常数 设电场强度为 ，计算铜中的位移电流密度与传导电流密度的幅值之比 解：铜中传导电流密度的幅值为 J =  E0，而位移电流密度的幅值为于是有其中 f 为场源的频率。

对于可见光，f ~1014 Hz，对一般电磁波而言， f 远小于1014 Hz故导体中 Jd / J ~ 0 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律【例2】设真空中电量为的点电荷以速度 v（v << c）向+z 方向匀速运动，在 t = 0 时刻经过原点试求其此时在空间引起的位移电流密度 Jd 解：注意到除点电荷之外，对空间任意一点均有 J = 0，故可用×H = Jd 求位移电流密度 t = 0 时刻，由该运动电荷在空间一点引起的磁场强度为于是 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律在 r 一定的球面上，各点 Jd 的方向大致如图所示 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律2.7 电磁场的边界条件 在两种介质的交界面两侧，由于电磁参数突变，界面上一般地会出现电荷、电流分布，从而导致场矢量可能不连续因此，麦克斯韦方程组的微分形式只适用于连续介质内部，在界面处则不能适用 但场矢量总是有限的，因此在包围界面的回路或闭合曲面上，各个场矢量的积分仍然存在，故麦克斯韦方程组的积分形式对于包括界面在内的区域仍然成立。

根据麦克斯韦方程组的积分形式，可以导出界面两侧场量之间的关系这些关系称为电磁场的边界条件 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律2.7.1 电磁场矢量法向分量的边界条件 规定界面  的法向单位矢 en 从介质 1 指向介质 2包围界面上 a 点做一扁柱形闭合曲面 S，如图所示柱体的底面积为 S，高度 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律1．关于 D 的法向分量 对闭合曲面 S 应用高斯定理，有 其中 S1 、S2 和 Sb 分别表示扁柱形闭合曲面的两个底面和侧面 当底面积很小时，其上的 D1、D2 皆可视为常量；又由于 ，故柱侧面上的通量为零此时 S 面所包围的电荷实际上仅是界面上的面电荷，即 ，于是上式可写为 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律由此即有此式即为 D 矢量法向分量的边界条件它表明，在带有自由面电荷的界面两侧，D的法向分量不连续 顺便指出，若将 用于上述闭合曲面，则同理可得其中  PS 为界面上的极化电荷面密度。

或或第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律2．关于B 的法向分量 将 应用于图中的闭曲面 S，与前述分析同理，可以得到此即 B 矢量的法向分量的边界条件它表明，B 的法向分量总是连续的 或第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律2.7.2 电磁场矢量切向分量的边界条件 先由界面上某点 a 出发做沿任一切向的单位矢 et，然后环绕点 a 取一矩形回路C，使其两条长边平行于 et 且分别位于界面两侧，两条短边垂直于界面记长边长度为l ，短边长度 h 趋于0，如图所示 1．关于E 的切向分量 将 应用于回路 C第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 因为当 时 ，而 有限，故上式右边的面积分为零又因 l 足够小，故上式成为此即其中 en 为界面上 a 点的法向单位矢这就是关于 E 的切向分量的边界条件 或第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律2．关于 H 的切向分量 将 应用于回路 C。

因为 有限 ，故当 时 ，而 ，这里 eb 为面 S 的法向单位矢，它与 C 的绕向成右手螺旋，于是有这表明， 的值与 JS 的方向有关因此，讨论界面两侧 H 切向分量之间的关系时，必须考虑 JS 的方向 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 取 a 点附近的界面元  为 x y 平面， 则在 a 点附近，JS 在 x y 平面内，而回路 C 则垂直于 x y 平面 先设回路 C 位于 y z 平面，此时 eb = ex，故有 即第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 再设回路 C 位于 x z 平面，此时 eb = - ey，故有 综上可知，若界面上有沿某方向的面传导电流，则垂直于该方向的切向分量在界面两侧不连续 即第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 以上两结果可合并为一个矢量式：因为故有在界面的法向单位矢 en 从介质 1 指向介质 2 的规定下，上式即 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 上式就是 H 切向分量的边界条件。

可见，H 的切向分量一般不连续 在 JS = 0 时，由前有 ，此时 (H2-H1) 只有法向分量，故对任意切向，都有可见，仅当界面上不存在面传导电流时，H 的切向分量才是连续的 回顾以上推导过程可以看到，麦克斯韦方程组中的各时间导数项对积分的贡献皆为零，所以上述四个边界条件对稳恒情况和时变情况都普遍成立 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律【例1】磁导率分别为 1、2 的两种理想介质以平面 z = 0 分界已知两介质中的电场分别为其中，E0、a、b、k1、k2 和  皆为常数设 E0 、 k1、k2 已知，求 a、b解：因为E1、E2皆沿切向，由z =0处 E1t = E2t，有 由 ，可得 ① 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律对 t 积分，不计稳恒场（即，取积分常数为 0），得同理可得因为理想介质表面，JS = 0，故在 z = 0 有 H1t = H2t，即 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律联立①、② ，可以解得 ②第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律2.7.3 界面上的电流连续性方程 将 用于图中的柱形闭合面，取底面积 S 和高度 h 足够小，则有 其中 eb 为柱体侧面 Sb 的法向单位矢，C 为 Sb 与  的交线。

第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律令 ，上式成为再令 ，则上式成为此即界面上的电流连续性方程，亦称电流的边界条件其中为 JS 的“面散度”t 是沿界面切线方向的二维矢量微分算符 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 以上表明，电流密度的法向分量在界面上一般不连续但在稳恒情况下，S 不随时间变化，此时如果没有面传导电流，或者面传导电流密度均匀（从而 t·JS = 0），则电流密度的法向分量连续，即第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律【例2】 稳恒情况下，两种导体的交界面附近电流线如图所示，其中1、2 分别是两种导体的电导率试证明 证：利用欧姆定律 J =  E ，由 E1t = E2t 可得可见 J 的切向分量不连续 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 稳恒情况下，J 的法向分量连续，即以上两式相除，得因为 ，所以上式即为证完 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律2.8 电磁能量和能流 电磁场具有能量。

本节将导出电磁场的功率密度表达式，进而导出电磁场的能量转化关系，并说明能量是通过电磁场传递的 2.8.1 电磁力密度 电磁功率密度 在电磁场中以速度 v 运动着的点电荷 q 将受到电场力和洛仑兹力的共同作用：如果电荷连续分布，则体积元 dV 内全体电荷受到的电磁力为 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 由此，利用 J = v ，可得电磁力密度： 如果 d t 时间内，单位体积中的全体电荷在电磁力作用下发生了位移 d r，则电磁场对这些电荷作的功为 f · d r，于是电磁场对单位体积中的电荷提供的功率（即电磁功率密度）为 可见，电磁功率密度等于电场的功率密度，这是因为洛仑兹力对电荷不作功 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 电磁场向体积 V 中的电荷提供的功率为 由于电磁场对电荷提供的功率对电磁场本身而言是损耗，所以 也就是体积 V 内消耗的电磁功率 2.8.2 坡印亭定理 考虑电磁场的能量转化关系 由 ，体积内电磁功率的损耗可写为 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律再利用矢量恒等式：以及上式成为 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律其中  是包围体积 V 的闭曲面。

注意到则前式成为第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律引入坡印亭矢量 S：并假定体积不随时间改变，故对时间求导可与体积分交换顺序，于是上式可写为此即坡印亭定理 下面将要说明，该定理表述的是电磁场的能量转化关系 ：第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律2.8.3 电磁场的能量密度和能流密度 在坡印亭定理中， 是体积内消耗的电磁功率，因此， 就应是体积内电磁能量的时间增长率由此可知电场能量密度 we 和磁场能量密度 wm 应为在各向同性介质中， 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律由能量的转化与守恒定律可知， 是通过体积 V 的表面  进入 V 内的电磁功率 因此，S 的方向指示了电磁能量流动或传输的方向：当 时，有电磁能量通过面元 d 流入V 内（注意 - d 指向 V 内）S 的大小等于通过单位横截面的电磁功率因此，S 代表了电磁场的能流密度 由 S 可知，电磁能量的传输依赖于电场和磁场两个因素，仅有电场或仅有磁场，都不能传输电磁能。

在任意一点，电磁能的传输方向可以由 E×H 简单地判定 由 S 可计算通过某曲面 的电磁功率：第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律2.8.4 导体在能量传输中的作用 考虑半径为 a、电导率为 、载有稳恒电流 I 的无限长直导线分析导体内外的电磁能流密度 取圆柱坐标系，设电流沿 ez 方向导体内外的区域分别标为1、2区在导体内部，因此，在导体内部距轴线  处， 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律S1的方向指向轴线，可见能量是从侧面进入导体的导体内部没有能量沿电流方向传输情况如图所示 在侧面上，d  = e d ，故通过长度为的表面进入导体的电磁功率为R 为导体电阻第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 在界面处， ，故有 因为界面无面传导电流，故又有 H1t = H2t，而 H 无法向分量，故 由这些关系可得，在导体表面处，可见，导体表面外的电磁能流分为两部分：S1(a)垂直进入导体，转化为导体的焦耳热；另一部分则沿着电流的方向传向负载。

第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 因为 H2(  ) 与半径成反比，而 E2(  ) 由导体上的电荷所引起，它必然也随半径的增大而减弱；因此导体外的能流密度 S2(  ) 将随着半径的增加而下降由此可见，导体外向前传输的能流集中在导线附近一有限横截面内 综上所述，沿导体传输的电磁能实际上是经导体周围的空间（而不是导体内部）流向负载的导体在电磁能的传输过称中仅扮演引导者的角色，但同时也向电磁场索取一定的能量供自身消耗 理想导体内部 ，S1 = 0，故不消耗能量第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律【例1】 同轴线由无限长的导体圆柱和同轴导体圆筒构成，圆柱半径为 a，圆筒内半径为 b设导体是理想的，强度为 I 的电流沿内柱流去，沿外筒流回内、外导体间的电压为 U求此同轴线的传输功率和能流密度矢量解：以内柱的电流方向为 z 轴正方向，建立柱坐标系 因为理想导体中无电场，而外导体之外无磁场（由安培环路定理可知），故只需考虑导体圆柱和导体圆筒之间的场 设内导体单位长度带电量为  l ，则在两导体之间， 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律由此有于是 由安培环路定理有 由以上可得两导体之间的能流密度： 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律这表明电磁场能量在导体之间沿轴正方向（即电流的方向）传输。

传输的功率为其中  为内外导体之间的环状横截面 本例中已假定导体是理想的，故导体间的电压就是负载两端的电压该结果表明，负载得到的电功率 U I 是通过导体之间的电磁场传过去的。