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微积分课件：2-3函数极限的性质与运算法则.ppt

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如果f(x)A(xx0) 那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界 证明有使得则取设);(, 0, 1,)(lim00ddexUxAxfxxo"$. 1)(1)(ÞAxfAxf.);()(0内有界在即dxUxfo 函数极限的性质1.局部有界性局部有界性如果当xx0时f(x)的极限存 那么这极限是唯一的证明，xxfBA时的极限当都是设0,,)(0, 0, 0101edde$"Axfxx时有当则,)(0, 0202edd$Bxfxx时有当故有同时成立时则当取，xx)2(),1 (0),,min(021dddd.2)()())(())((eBxfAxfBxfAxfBA..即其极限唯一的任意性得由BA e2.唯一性唯一性如果f(x)A(xx0) 而且A0(或A0) 那么对任何正数r0 (或f(x) -r < 0) 证明);(, 0,),1 , 0 (, 00ddexUxrArA"$"使得则取设.)(rAxfe有.0的情形类似可证对于r•推论如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0) 而且 f(x)A(xx0) 那么A0(或A0) 3.局部保号性局部保号性证明).(lim)(lim),()();()(),(00'00xgxfxgxfxUxgxfxxxxxx则内有极限都存在且在时如果do,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx设) 1 (),(0, 0, 0101xfAxx$"edde时有当则)2(.)(0, 0202edd$Bxgxx时有当于是有同时成立与不等式时则当令，xgxfxx)2(),1 ()()(,0},,,min{021'ddddd,)()(eeBxgxfA.,2BABA的任意性知由从而ee4.保号性保号性如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)A lim h(x)A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)A 证明),(0, 0, 0101xgAxx，$"edde时有当按假设.)(0, 0202edd$Axhxx时有当故有同时成立时上两不等式与则当令,)()()(0},,min{021xhxfxgxxdddd,)()()(eeAxhxfxgA.)(lim)(0Axf，Axfxx即由此得e5.夹逼定理夹逼定理 (2)lim f(x)g(x)lim f(x)lim g(x)AB •推论1 如果lim f(x)存在 而c为常数 则lim[cf(x)]climf(x) •推论2 如果limf(x)存在 而n是正整数 则lim[f(x)]n[limf(x)]n  如果 lim f(x)A lim g(x)B 那么6.极限的四则运算法则 (1)lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB 复合函数的极限定理复合函数的极限定理[注意注意]例如：例如：7 函数极限与数列极限的关系(归结原则,Heine定理,海涅定理) 如果当xx0时f(x)的极限存在 {xn}为f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列 且满足xn x0(nN) 那么相应的函数值数列{f(xn)}必收敛 且 8.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定义定义定理定理证证例如例如,函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在限都存在, ,且相等且相等. .例例7证证二者不相等二者不相等,v求极限举例•讨论 •提示例1 解例2 解解例3 解例4 根据无穷大与无穷小的关系得因为•讨论 •提示当Q(x0)P(x0)0时 约去分子分母的公因式(xx0) 先用x3去除分子及分母 然后取极限 解先用x3去除分子及分母 然后取极限 例5 解: 例6 •讨论•提示例7 解所以解当x时 分子及分母的极限都不存在 故关于商的极限的运算法则不能应用 例8 是无穷小与有界函数的乘积 一、极限存在准则1.夹逼准则夹逼准则证证函数极限存在的条件函数极限存在的条件上两式同时成立上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限注意注意: :准则准则 和和准则准则 '称为称为夹逼准则夹逼准则.例例1 1解解由夹逼定理得由夹逼定理得2.单调有界准则单调有界准则单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:例例2 2证证(舍去舍去)二、两个重要极限(1)注: 这是因为 令ua(x) 则u0 于是 v第一个重要极限例1 解解例2 例3注：在上例中，应用公式时，我们使用了代换 ,在运算熟练后可不必代换，直接计算：例4 . 求极限:例5. 求极限: 练习1.求下列极限:二.关于极限设有函数，根据下表观察的变化趋势。

2.718152.716922.704812.5937410000100010010…..2.718282.71827…10000001000002.718152.716922.704812.59374-10000-1000-100-10…..2.718282.71827…-1000000-100000时，均趋于一个确定的数2.71828…用e表示该数,e是无理数e=2.718281828…注意：2.底数中的无穷小量（可以是字母或是代数式）和指数互为倒数1.公式中底数的极限是1，指数的极限是无穷大,函数极限为型定义定义v第二个重要极限类似地类似地,例6, 求极限解：例7解：例8解：例9解解例10解解练习2.求下列极限:练习小结：小结：（1）分子、分母含有三角函数且在自变量指定的变化趋势下是“ ” 型2）公式中的“ ”可以是趋向于零的代数式3）注意三角函数有关公式的应用1）函数在自变量指定的变化趋势下是“ ” 型2）应用公式解题时，注意将底数写成1与一个无穷小量的代数和的形式，该无穷小量与指数互为倒数。

3）注意求极限过程中运用指数的运算法则思考题思考题求极限求极限思考题解答思考题解答。

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