2016年全国高考文科数学第一轮总复习(2)平面向量专题下篇.pdf

1 2016 年全国高考文科数学第一轮总复习高三上学期讲义（ 2) 平面向量专题下篇一、平面向量基本概念及其运算考点三 共线向量定理的应用[类题通法 ] 1．共线向量基本定理向量 a(a≠ 0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ ，使得 b＝ λ a. 2． 共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若 a， b 不共线，则 λ a＋ μ b＝ 0 的充要条件是 λ ＝ μ ＝ 0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．3． 证明三点共线的方法若 AB ＝ λ AC ，则 A、 B、 C 三点共线．4． 三点共线等价关系A， P， B 三点共线 ? AP ＝ λ AB (λ ≠ 0)? OP ＝ (1－ t) · OA＋ tOB (O 为平面内异于 A， P， B 的任一点， t∈ R)? OP ＝ xOA ＋ yOB (O 为平面内异于 A， P，B 的任一点， x∈ R， y∈ R， x＋ y＝ 1)．考题精讲1．设 a， b 是两个不共线向量， AB→ ＝ 2a＋ pb， BC→ ＝ a＋ b， CD→ ＝ a－ 2b，若 A， B，D 三点共线，则实数 p 的值为 ________．2、 (“ 江南十校 ” 联考 )如图， 在△ ABC 中， ∠ A＝ 60° ， ∠ A 的平分线交 BC 于 D，若 AB＝ 4，且 AD ＝ 14 AC ＋ λ AB (λ ∈ R)，则 AD 的长为 ( ) A． 2 3 B． 3 3 C． 4 3 D． 5 3 2 3． (大连高三双基测试 )设 O 在△ ABC 的内部， 且有 OA ＋ 2OB ＋ 3OC ＝ 0， 则△ABC 的面积和△ AOC 的面积之比为 ( ) A． 3 B.53 C． 2 D.324．在△ ABC 中， M 为边 BC 上任意一点， N 为 AM 中点， AN ＝ λ AB ＋ μ AC ，则 λ ＋ μ 的值为 ( ) A.12 B.13 C.14 D． 1 5.如图所示，在△ ABC 中，点 O 是 BC 的中点．过点 O 的直线分别交直线 AB、 AC 于不同的两点 M、 N，若 AB→ ＝ mAM→ ， AC→ ＝nAN→ ，则 m＋ n 的值为 ________．6．已知 O， A， B 三点不共线，且 OP→ ＝ mOA→ ＋ nOB→ ， ( m， n∈ R) ．(1) 若 m＋ n＝ 1，求证： A， P， B 三点共线；(2) 若 A， P， B 三点共线，求证： m＋ n＝ 1. 3 二、平面向量的坐标表示1． 平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，则a＋ b＝ (x1＋ x2， y1＋ y2)， a－ b＝ (x1－ x2， y1－ y2)，λ a＝ (λx 1， λy 1)， |a|＝ x21＋ y21. (2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 AB ＝ (x2－ x1， y2－ y1)，|AB |＝ x2－ x12＋ y2－ y12. 2、平面向量共线的坐标表示设 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，其中 b≠ 0.a∥ b? x1y2－ x2y1＝ 0. 考题精炼1、 （ 2015 全国新课标卷 1 第 2） 、已知点 (0,1), (3,2)A B ，向量 ( 4, 3)AC ，则向量 BC（ A） ( 7, 4) （ B） (7, 4) （ C） ( 1,4) （ D） (1,4)2．已知向量 a＝ (2,3)， b＝ (－ 1,2)，若 (ma＋ nb)∥ (a－ 2b)，则 mn等于 ( ) A．－ 2 B． 2 C．－ 12 D.123．已知向量 p＝ (2，－ 3)， q＝ (x,6)，且 p∥ q，则 |p＋ q|的值为A. 5 B. 13 C． 5 D． 13 4.（ 15 年广东文科） 在平面直角坐标系 x y中， 已知四边形 CD 是平行四边形，1, 2 ， D 2,1 ，则 D C （ ）A． 2 B． 3 C． 4 D． 55. 【 2014 高考全国 2 卷文第 4 题】 设向量 ba, 满足 10|| ba ， 6|| ba ，4 则 ba （ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 6．在△ ABC 中，点 D 段 BC 的延长线上，且 BC ＝ 3CD ，点 O 段 CD上 (与点 C、 D 不重合 )，若 AO ＝ x AB ＋ (1－ x) AC ，则 x 的取值范围是 ( ) A. 0， 12 B. 0， 13 C. － 12， 0 D. － 13， 07、 ．非零不共线向量 OA 、 OB ，且 2OP ＝ xOA＋ yOB ，若 PA ＝ λ AB (λ ∈ R)，则点 Q(x， y)的轨迹方程是 ( ) A． x＋ y－ 2＝ 0 B． 2x＋ y－ 1＝ 0 C． x＋ 2y－ 2＝ 0 D． 2x＋ y－ 2＝ 0 8．已知 a， b 是不共线的两个向量， AB ＝ xa＋ b， AC ＝ a＋ yb(x， y∈ R)，若 A，B， C 三点共线，则点 P(x， y)的轨迹是 ( ) A．直线 B．双曲线C．圆 D．椭圆9． (山东高考 )在平面直角坐标系 xOy 中，已知 OA ＝ (－ 1， t)， OB ＝ (2,2)．若∠ABO＝ 90° ，则实数 t 的值为 ________．10． P＝ { a|a＝ (－ 1,1)＋ m(1,2)， m∈ R} ， Q＝ {b|b＝ (1，－ 2)＋ n(2,3)， n∈ R} 是两个向量集合，则 P∩ Q 等于 ________．11． (2015 ·调研 )已知两点 A(1,0)， B(1,1)， O 为坐标原点，点 C 在第二象限，且∠ AOC＝ 135° ，设 OC ＝－ OA ＋ λ OB (λ ∈ R)，则 λ 的值为 ________．三、 平面向量的数量积与平面向量应用举例5 1． 平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 θ ，把数量 |a||b|cos θ 叫做 a 和 b 的数量积 (或内积 )，记作 a· b.即 a· b＝ |a||b|cos θ ，规定 0· a＝ 0. 2、 向量的投影公式：︱ b ︱ cos =| |a ba∈ R，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影3、 数量积的几何意义： a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积4． 向量数量积的运算律(14)a· b＝ b· a.(2)(λ a) · b＝ λ (a· b)＝ a· (λ b).(3)(a＋ b) · c＝ a· c＋ b· c.5． 平面向量数量积的有关结论已知非零向量 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2) 结论 几何表示 坐标表示模 |a|＝ a· a |a|＝ x21＋ y21夹角 cos θ ＝ a· b|a||b| cos θ ＝ x1x2＋ y1y2x21＋ y21· x22＋ y22a⊥ b 的充要条件 a· b＝ 0 x1x2＋ y1y2＝ 0 |a· b|与 |a||b|的关系 |a· b|≤ |a||b| |x1x2＋ y1y2|≤ x21＋ y21 x22＋ y226、易错点（ 1）结合律不成立： a b c a b c ；（ 2）消去律不成立 a b a c 不能得到 b c（ 3） a b =0 不能得到 a =0 或 b = 06 7、方法总结1、向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 a· b＝ |a||b|cos a， b．(2)当已知向量的坐标时， 可利用坐标法求解， 即若 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，则 a· b＝ x1x2＋ y1y2. 2． 利用数量积求解长度问题的处理方法(1)a2＝ a· a＝ |a|2 或 |a|＝ a· a. (2)|a± b|＝ a± b 2＝ a2± 2a· b＋ b2. (3)若 a＝ (x， y)，则 |a|＝ x2＋ y2. 例题讲解、已知 A(1,1)， B(3，－ 1)， C(a， b)．(1)若 A， B， C 三点共线，求 a， b 的关系式；(2)若 AC ＝ 2 AB ，求点 C 的坐标．1（ 15 北京文科）设 a ， b 是非零向量， “ a b a b ”是“ //a b ”的（ ）A．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2.【 2014 高考山东卷文第 7 题】 已知向量 1, 3a ， 3,b m . 若向量 ,a b 的夹角为 π6，则实数 m =（ ）（ A） 2 3 （ B） 3 （ C） 0 （ D） 37 3． 已知向量 a， b， 满足 |a|＝ 3， |b|＝ 2 3， 且 a⊥ (a＋ b)， 则 a 与 b 的夹角为 ( ) A.π2 B.2π3C.3π4 D.5π64．已知向量 a， b 均为非零向量， (a－ 2b)⊥ a， (b－ 2a)⊥ b，则 a， b 的夹角为A.π6 B.π3C.2π3 D.5π65.（ 15 年山东理科）已知菱形 ABCD 的边长为 a ， 60ABC ，则 BD CD(A) 232 a (B) 234 a (C) 234 a (D) 232 a6． 高中毕业班质量检查 )已知向量 a 与 b 的夹角是 2π3 ，且 |a|＝ 1， |b|＝ 4，若 (2a＋ λ b)⊥ a，则实数 λ ＝ ________. 7、设 )3,(xa ， )1,2(b ，若 a 与 b 的夹角为钝角，则 x 的取值范围是 __ ____。

8.【四川卷文第 14 题】 平面向量 (1,2)a ， (4,2)b ， c ma b（ m R ） ，且 c与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m . 9．若非零向量 a， b 满足 |a|＝ 3|b|＝ |a＋ 2b|，则 a 与 b 夹角的余弦值为 ________．。