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数字信号处理第一部分 离散时间信号与系统dsp技术3数字信号处理1.1 离散时间信号o将连续时间信号x(t)按照时间间隔T抽样，就形成了只有在离散时间点t=nT上才有非零值的信号，称为离散时间信号，其数学模型是将x(t)乘以单位冲激串δT(t)：dsp技术3数字信号处理离散时间信号o如果将周期T归一化为1，x[nT]就成为离散时间序列x[n]（discrete time series）o离散时间信号尽管在时间上是离散的，但在幅度上仍然是连续变化的，因此仍然是模拟信号，只有经过量化器，也就是将各离散时间点上的信号的幅度归并到有限的若干个幅度电平上，并用数字来表示，才能称其为数字信号（digital signal）dsp技术3数字信号处理1.2 典型的离散时间信号o单位数字冲激信号δ[n]dsp技术3数字信号处理典型的离散时间信号o单位阶跃序列dsp技术3数字信号处理典型的离散时间信号o门序列dsp技术3数字信号处理典型的离散时间信号o正弦序列正弦序列o正弦序列本身就有一个频率f，再加上一个采样频率fs=1/T，就产生了一个f与fs的关系问题，令：o称为圆周频率圆周频率，它是一个相对频率量，也是一个归一化的频率，记：dsp技术3数字信号处理典型的离散时间信号o实际上，任何序列都可以表示成δ[n]的移位移位加权和加权和，这是一个非常重要的概念，因为我们在讨论信号通过系统时，只需要讨论单位数字冲激通过系统时的响应，即单位冲激响单位冲激响应应，然后将系统对各移位的冲激的响应叠加，就得到系统的输出。

o整个一部信号与系统的理论，就是建立在对信号用不同形式分解，然后再综合的基础上的dsp技术3数字信号处理典型的离散时间信号o时域分析，就是将信号分解为δ[n]的移位加权和o频域分析，就是将信号分解为不同频率的正弦（sin）信号之和o复频域分析，就是将信号分解为不同的复指数之和dsp技术3数字信号处理1.3 离散线性位移不变系统o一个离散时间系统，可以抽象为一个变换或映射，把输入序列x[n]变换为输出序列y[n]:o我们来看两个例子：dsp技术3数字信号处理例1：y[n]=x[n]+ay[n-1]o这是一个一阶差分方程，而且是递归的，其框图如下：dsp技术3数字信号处理离散线性位移不变系统o一个离散的时间系统总是由延时器、加法器与数乘器组成的：dsp技术3数字信号处理例2:y[n]=b0x[n]+b1x[n-1]+b2x[n-2]o这是一个三点的加权平均器dsp技术3数字信号处理离散线性位移不变系统o如果系统的输入x[n]是单位冲激δ[n]，则输出y[n]就是系统的单位冲激响应h[n]在例2中，若x[n]=δ[n]，则：h[n]=b0δ[n]+b1δ[n]+b2δ[n]o这是一个有限冲激响应系统（FIR：Finite Impulse Response），而例1由于有递归，因而是一个无限冲激响应系统（IIR：Infinite Impulse Response）。

dsp技术3数字信号处理系统的线性性o设 x1[n] →y1[n] x2[n] →y2[n]o如果满足ax1[n]+bx2[n] →ay1[n]+by2[n]o则称系统是线性的dsp技术3数字信号处理系统的位移不变性o设 x[n] →y[n]o如果满足 x[n-n0] →y[n-n0]o则称系统是位移不变的dsp技术3数字信号处理线性位移不变系统o同时具有线性性与位移不变系统的离散时间系统，称为线性位移不变系统o只有线性位移不变系统，才可以将表示为单位数字冲激的移位加权和的输入信号中的每一个数字冲激通过系统，然后将其响应相加，得到总的输出，这是讨论问题的基础dsp技术3数字信号处理1.3 离散信号通过线性位移不变系统o将输入信号x[n]表示为δ[n]的移位加权和：o将其中的每一个冲激x[k]δ[n-k]通过系统，得到相应的响应x[k]h[n-k]，然后将所有的输出叠加，得到总的输出：o称为x[n]与h[n]的卷和卷和，其性质类似于连续系统中的卷卷积积dsp技术3数字信号处理卷和示例卷和示例 x[n]=h[n]=δ[n]+ δ[n-1]+ δ[n-2]o求oy[n]=δ[n]+ 2δ[n-1]+3δ[n-2]+2δ[n-3]+δ[n-4]dsp技术3数字信号处理数字信号处理第二部分 Z变换及离散时间系统分析dsp技术3数字信号处理2.1 Z变换的定义o给定一个离散信号x[n]，n=(-∞,∞)，可以直接给出x[n]的Z变换：ox[n]的Z变换也可以由拉普拉斯变换推导出来dsp技术3数字信号处理2.2 Z变换与拉普拉斯变换的关系o信号f(t)的拉普拉斯变换的定义o式中，s=σ+jω，因此可以将上式写为：o由此可以看出拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系dsp技术3数字信号处理Z变换与拉普拉斯变换的关系o从z=es=eσ+jω=eσejω可以看出拉氏变换所在的S平面和Z变换所在的Z平面之间的映射，即直角坐标系和极坐标系之间的映射。

oS平面的jω轴（σ=0）映射为Z平面的单位圆（r=1）oS平面的左半平面（σ<0）映射为Z平面的单位圆内（r<1）oS平面的右半平面（σ>0）映射为Z平面的单位圆外（r>1）dsp技术3数字信号处理Z变换与拉普拉斯变换的关系o时域离散，则频域是周期的o在Z平面上，θ=ωt=2πf / fs，fs是采样频率o当频率从0→fs时，θ从0→2π o或者说，当频率从-fs/2变到fs/2时，θ从-π→πo每当ω变化2π/T时，Z平面上完成一个圆周，从而体现其周期性o当σ=0时，拉氏变换就演变为傅里叶变换，即在S平面上，傅里叶变换始终是在jω轴上进行的o映射到Z平面上，若变量z仅在单位圆上取值，Z变换也就演变成为傅里叶变换dsp技术3数字信号处理2.3 常用信号的Z变换o单位数字冲激δ [n]o只有当k=0时，δ[n]=1，这时z-k=1o单位阶跃序列u[n]dsp技术3数字信号处理常用信号的Z变换o指数序列e-anTo正弦序列sin(nωT)o利用欧拉公式sinx=(1/2j)(ejx-e-jx)得：利用指数Z变换的结果dsp技术3数字信号处理2.4 Z变换的性质o将x[n]及其Z变换X(z)之间的关系化为x[n] ←→X(z)o设a，b为常数，则oax1[n]+bx2[n] ←→aX1(z)+bX2 (z)o这就是我们熟悉的线性性dsp技术3数字信号处理Z变换的性质o移位性ox[k+N]←→zNX(z)ox[k-N] ←→z-NX(z)o由于时移是数字系统的基本运算之一（其余两种是数乘和求和），在时域作单位时延（即延时一个样本），相应的Z变换多一个z-1因子，因此，往往将z-1用来表示单位时延。

dsp技术3数字信号处理Z变换的性质o卷和定理ox1[n]*x2[n] ←→X1(z)X2(z)o这是一个极为重要的定理，类似于模拟系统的卷积定理，将时域内比较繁琐的卷和运算，转化为Z域内的算术乘法dsp技术3数字信号处理2.5 离散信号通过线性位移不变系统o对于线性位移不变系统，满足以下关系：o其中，y[n]=x[n]*h[n] Y(z)=X(z)H(z)dsp技术3数字信号处理数字信号处理第三部分 离散时间信号的傅里叶变换dsp技术3数字信号处理3.1 连续时间信号的傅里叶变换dsp技术3数字信号处理3.2 离散时间序列的傅里叶变换(DTFT)o定义o设线性位移不变系统的单位冲激响应为h[n]，则该系统的频率响应为：o这就是离散时间序列的傅里叶变换，是以2π为周期的周期函数，也可以将其看成周期信号H(jω)在频域内展开的傅里叶级数，其傅里叶系数即是h[n]o由Z变换的定义，容易得到H(jω)=H(z)|z=ejωdsp技术3数字信号处理DTFT的性质o即离散时间序列的傅里叶变换就是仅在单位圆上取值的Z变换o线性性线性性o时移性：时移性：设x[n] ←→X(jω)，则o时域卷积定理时域卷积定理 若y[n]=x[n]*h[n] 则Y(jω)=X(jω)H(jω)o频域卷积定理频域卷积定理 o若y[n]=x[n] h[n] 则Y(jω)=X(jω)*H(jω)o注意：时域是离散的，频域是周期的，故上述积分只在一个周期内（-π，π）进行dsp技术3数字信号处理DTFT的性质o能量定理（Parseval定理）o信号在时域的总能量等于其在频域的总能量o这个结论是显然的，因为无论是时域的x[n]，还是频域的X(jω)，它们所表征的是同一个信号，其能量当然应该是相同的。

o由于离散时间信号的频域表示是周期的，则其频域的总能量是在一个周期内做积分，因此|X(jω)|2是信号的能量谱，而|X(jω)|2是信号在dω这一极小的频带内的能量dsp技术3数字信号处理3.3 离散傅里叶变换（DFT）oDTFT是离散时间序列的傅里叶变换，其时域是离散的，谱是周期的，但还是连续的，仍然不能用计算机来处理，因为计算机要求时域和频域都是离散的，实际上是要求时域和频域都即是离散的，也是周期的o时域的连续的非周期信号←→频域连续非周期谱（FT）o时域的周期信号←→频域离散谱（FST）o时域的离散信号←→频域周期谱（DTFT）o时域的离散周期信号←→频域离散周期谱（DFT）dsp技术3数字信号处理o在DFT中，变换的两边都是离散的，从而才是真正能用计算机来做数字信号处理的变换对o两边都是周期的，从而处理可以只在一个周期内进行，这有两个重要的意义：一是所做的处理是有限的（这对计算机来说是必须的）；二是只在一个周期内就可以保留全部的信息（这对准确处理来说是必须的）dsp技术3数字信号处理信号的离散周期化o工程中的实际信号往往是连续非周期的，为了进行DFT，就必须将其离散周期化o离散化就是采样的过程离散化就是采样的过程o周期化分为两种情况周期化分为两种情况:n若x[n]是有限长序列，长度为N，则将该N点序列看成是周期信号的一个周期，进行周期化延拓;n若x[n]是无限长序列，首先将其截为长度为N点的有限长序列，然后再做周期化延拓。

截尾的过程，必然带来失真，因此要研究各种截尾的方法，这也就是各种加窗算法的由来.dsp技术3数字信号处理信号的离散周期化dsp技术3数字信号处理DFT的定义o这是一个以N为周期的信号，k表示它是离散的，每经过N点，在单位圆上转一周其中特别注意旋转因子dsp技术3数字信号处理DFT的性质o线性性oDFT{ax1[n]+bx2[n]}=aX1[k]+bX2[k]o移位特性oDFT{x[n+m]}=W-kmX[k]oDFT{x[n-m]}=WkmX[k]o由于x[n]是周期序列中的一个周期，所以对x[n]的移位应该是整个序列的移位，即前面的移出去，后面的移进来，移位后仍然是N点的周期序列，这就称为循环移位循环移位dsp技术3数字信号处理循环移位o非周期函数移位 周期函数循环移位dsp技术3数字信号处理DFT的性质o能量定理（Parseval定理）o时域一个周期内的信号的能量和频域内一个周期的能量是相等的，这个结论的正确性是显然的dsp技术3数字信号处理DFT的性质o时域的循环卷和o式中的[n mod N]表示以N为模对n求余o做循环卷和时，将一个信号翻摺，是将整个序列翻摺，而不仅仅是将一个周期翻摺o在翻摺后移位时，在一个周期内，有移出就有移入，求和始终是在一个周期内进行、o循环卷和的结果y[n]也是周期的，周期仍然是Ndsp技术3数字信号处理数字信号处理第四部分 模拟信号的数字化dsp技术3数字信号处理4.1 Nyquist采样定理o截止频率为fm的带限信号，由相距不大的于1/2fm的均匀间隔上的采样序列唯一的确定。

oT=1/2fm称为Nyquist间隔（既不失真的最大采样间隔）ofs=q/T=2fm称为Nyquist频率（既不失真的最低采样频率）o由于理想低通滤波器是不可实现的，实际的低通滤波器都有上升时间和下降时间，因此工程上往往采用fs>2.5～3fmdsp技术3数字信号处理不满足Nyquist条件会产生频谱混叠dsp技术3数字信号处理4.2 采样o首先让信号通过一个低通滤波器（称为防混叠滤波器），使其成为带限信号o往往将采样频率选择为防混叠滤波器带宽的2.5～3倍，以保证无混叠产生o采样脉冲尽可能的窄，以便接近理想的冲激序列，否则，采样信号会产生Sa(x)的包络调制o使用采样/保持器（S/H），使采样得到的电平保持一段时间不变化，以便A/D变换器有充分的时间将采样信号量化dsp技术3数字信号处理4.3 量化o采样后的信号，时间上是离散的，但幅度仍然是连续的，还不是真正的数字信号，必须对其幅度作量化，即将离散时间点上的幅度归入有限数目的等级o这个过程称为A/D变换，目前都是用专门的A/D变换器来完成，不同的A/D变换器，工作方式不同，如逐次逼近，闪烁(flash)，积分，Σ-Δ调制等dsp技术3数字信号处理逐次逼近A/D变换器o数字输出从最高值开始，通过D/A与输入比较，决定该位是0还是1，以2n逐次降低，逐级比较，最后得到从最高位到最低位的数字输出on位转换至少需要n个时钟周期，n越大，即分辨率越高，转换速度就越慢dsp技术3数字信号处理闪烁式A/D转换器o输入信号同时与2n-1个不同的参考电平进行比较o在同一个时钟周期内完成转换，转换速度最快，其精度取决于参考电平的精度与分级的精度dsp技术3数字信号处理4.3 量化噪声oA/D的量化分级越细，精度越高o8-bit 256级o12-bit 4096级o两个量化等级之间的步长q越小，精度越高，因为舍入误差越小，但无论如何还是会引入误差，这种因为量化而引入的误差，称为量化噪声（量化误差）dsp技术3数字信号处理量化噪声o设量化噪声在步长q上式均匀分布的，则因为量化而引入的均方误差为：o其均方根值为：dsp技术3数字信号处理量化噪声o设A/D的满度正向电压为viq=2vi/2n vi=2n-1qS/N=20 log10[vi/erms] =(6.02n+4.77)dBo即每增加1bit，S/N提高约6dBo12bit的A/D S/N≈70dBo16bit的A/D S/N≈94dBdsp技术3数字信号处理量化噪声o量化噪声的降低（即S/N的提高），是要付出代价的n转换速度n成本n存储空间与数据吞吐速度o当信号本身的噪声已经大于量化噪声时，再降低量化噪声已经没有任何意义了dsp技术3数字信号处理量化噪声o上述信噪比的推导，是以信号满度为前提的o输入信号大于满度信号vi时，饱和，也就产生大的误差o输入信号太小，量化噪声加大o因此，往往在采样前加入一级低噪声放大器，程控其增益，使输入信号即接近满度，又不饱和，从而达到最好的信噪比dsp技术3数字信号处理。