(word完整版)二项式定理知识点和各种题型归纳带答案,推荐文档.doc

二项式定理1•二项式定理：(a b)n C0an C：an1b L Qa" rbr L C；；bn(n N),2. 基本概念：① 二项式展开式：右边的多项式叫做 (a b)n的二项展开式② 二项式系数：展开式中各项的系数 cn (r 0,1,2, ,n).③ 项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式④ 通项：展开式中的第 r 1项C"an rbr叫做二项式展开式的通项用 Tr 1 C；an rbr表示3. 注意关键点：①项数：展开式中总共有 (n 1)项② 顺序：注意正确选择 a,b,其顺序不能更改a b)n与(b a)n是不同的③ 指数：a的指数从n逐项减到0，是降幕排列b的指数从0逐项减到n，是升幕排列各项的Cn , Cn ,Cn , , Cn , , Cn -项的系次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是数是a与b的系数(包括二项式系数)4. 常用的结论：令 a 1,b x, (1 x)n C0 C：x C；x2 L Qxr L C；xn(n N )令 a 1,bx, (1 x)n C° C1x C2x2 L C：xr L(1)nC：xn(n N )5.性质:①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等， 即C C , • • • Cnk Cn 1②二项式系数和：令 a b 1,则二项式系数的和为 C0 C： C' L Cn L C； 2n ,变形式 C1 c2 L Cnr L c：2n 1。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 a1,b 1，则 C0 c： c2Cn3 L(1)nc： (1 1)n 0从而得到：Cn CnCn C：r cn C； L2r 1Cn丄 2n 2n 12④奇数项的系数和与偶数项的系数和:(ax)n C0an 0xcnan1xCnan2 2xLc：0 n 1a x ao a1X2 [ na2X L a；x(xa)n C0a0 nx1Cnaxn 1C；a2n 2 xLc：n 0 n ia x anx L2 1a?x a〔x ao令x1,则 aoa1a2asLan(a1)n①令x1,则 aoa1a2a3L an(a 1)n②①②得,aoa2a4Lan(a1)n(a21)n-(奇数项的系数和)①②得,a1a3a5 Lan(a1)n(a21)n(偶数项的系数和)n⑤ 二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数 n是偶数时，则中间一项的二项式系数 Cn2取得最大值n 1 n 1 如果二项式的幕指数 n是奇数时，则中间两项的二项式系数 C仔,C仔同时取得最大值⑥ 系数的最大项：求(a bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法设展开式中各项系数分别为A,A2, , An i，设第r 1项系数最大，应有6•二项式定理的十一种考题的解法：Ar 1Ar 1Ar ，从而解出r来。

Ar 2题型一：二项式定理的逆用;例: cn c2 6 c3 62 L C： 6n 1 .解:(16)nc0c nc1 c n6Cn62c1 c2 c n cn6c3 c n62Lc：6cn6c；62L练：c1 2n 3Cn9C3nL3n1c：解:3C；C：设SnC； 63 L C；； 6n与已知的有一些差距，6n 1 」(cn 6 Cn 62 L Cn 6n)6C： 6n 1) 1[(1 6)n 1] 1(7n 1)6 69C； L 3n1Cn，则3SnC：32C；33 L C：3nCn Cn3 c：32C；33 L C；3； 1 (1 3)n 1Sn(13)n 13题型二：利用通项公式求 xn的系数;例：在二项式(4 13 x2)n的展开式中倒数第 3项的系数为45，求含有x3的项的系数？解：由条件知c；22 245 ,即 Cn 45 , n n 90 0，解得 n 9(舍去)或 n 10，由Tr 11 2 10 rC；0(X 4)10 r(X3)r C；0X F『，由题意-r4 33,解得r 6，则含有x3的项是第7项T6 1C-oX3210x3,系数为 210 1练：求（X2 一）9展开式中X2x的系数?解：Tr 1 C9（X2）9 r（丄）「2x1故x9的系数为c9（ -）32题型三：利用通项公式求常数项;亠 r 18 2r “C9 X (21°2例:求二项式（x210的展开式中的常数项?解:Tr1 C；o(X2)1Orr. 5r 1 r 20 rC10( ) x ，令 20 2练:解:练:解:1、r r 亠 r “ 1、r 18 3r2)x C9(2)x ，1求二项式（2x ）6的展开式中的常数项?2xr 6 r r , 1、rTr1 C6(2x) ( EL（畑冷严，令62r令 18 3r8，所以T90，得r9,则 r 33，所以3 3T4 ( 1) C6 20若（x2 -）n的二项展开式中第x5项为常数项，则nT5 c：(x2)n 4(-)4 C：xx4 2n12，令 2n 12题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项;例：求二项式3 X）9展开式中的有理项?1 1解：Tr 1 C；(X勺9 r( X3)r27 r(1)rC；x丁，令27 r丁 Z，(09)得 r 3或 r 9，27 r所以当r 3时，27 -6当 r 9 时，27 r 3,63 3 4 44 , T4 ( 1) C9X 84x ,3 9 3 30 ( 1) C9 X X °题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;例：若（、x2n展开式中偶数项系数和为 256，求n .解：设 （.x7 具）n展开式中各项系数依次设为 a°,a1, an,&x2令x 1,则有aoa1 an 0,①，令x1,则有a。

a1 a 2 a3 ( 1)an2n,②将①-②得:2(a1a3 a5n)2 , a1a3 a52n1,有题意得，2n125682 ， n 9练：若（3匸52广的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项\ x \x解：Q C° C；C4C^cn c； l2r 1Cn2n 1， 2n 1 1024，解得n 11所以中间两个项分别为 n 6,n 7 , T5 1 C；（? 1 ）6（5 ! ）5 462 x 4, T6 1 462 x 花题型六：最大系数，最大项；1例：已知（—2x）n，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二2项式系数最大项的系数是多少？解: QC： C； 2C；, n2 21n 98 0,解出n 7或 n 14，当n 7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5 T4的系数 C3（\423 35,，T5的系数 C；（丄）324 70,当n 142 2 2时，展开式中二项式系数最大的项是 T8， T8的系数 c74（丄）727 34322练：在（a b）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幕指数是偶数 2n,则中间一项的二项式系数最大，即 T2n Tn 1，也就是第n 1项。

2 1x练：在（23丁的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少?解：只有第5项的二项式最大，则 -1 5，即n 8,所以展开式中常数项为第七项等于2C86（1）2 72例：写出在（a b）7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幕指数 7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有T4 C?a b的系数最小，T5 C7a b系数最大1例：若展开式前三项的二项式系数和等于 79，求（ 2x）n的展开式中系数最大的项？2解：由 C° Cn C' 79,解出 n 12,假设 1 项最大，Q （丄 2x）12 （丄）12（1 4x）122 2Ar 1 A C124 C1214 1，化简得到 9.4 r 10.4，又Q0 r 12, r 10,Ar 1 Ar 2 C；24r C；%11016896x展开式中系数最大的项为 T11 .有 T11 (丄)12/々02练：在(1 2x)10的展开式中系数最大的项是多少?解：假设Tr 1项最大,r r rQTr 1 C10 2 xAr 1 AAr 1 Ar 2r 1 r 1C10 2r r .. ..C102 C10 2 解得 2(11C；°2r C1r012r1, r 1r)丿 ，化简得到6.32(10 r)k 7.3，又Q0 r 10,r 7 ,展开式中系数最大的项为C7027x7 15360x7.题型七：含有三项变两项;例：求当2 5(x 3x 2)的展开式中x的一次项的系数?解法①:(x2 3x 2)5 [(x2 2) 3x]5,Tr 1 C5 (5 r r2) (3x)，当且仅当r1时,Tr 1的展开式中才有x的一次项，此时Tr1 T2c5(x24 14 42) 3x，所以x得一次项为C5C4 2 3x它的系数为C；C：243 240 o解法②:(x2 3x 2)5 (x 1)5(x 2)5(C?x5c5x4Cs)(c5)x5 C；x42C；25)故展开式中含x的项为c4xc5254 4C5X2240x，故展开式中x的系数为240.练：求式子(x32)的常数项?解：(xx 2)3C. x1)6，设第r 1项为常数项，则r rTr 1 C6( 1)6 r 1 r 6 r(x)(1)C66 2r，得62r 0, r 3, T31(1)3c63 20.题型八：两个二项式相乘;例：求(1 2x)3(1 x)4展开式中X2的系数.解: Q (1 2x)3的展开式的通项是 cm (2x)m cm 2m0,1,2,3,4,x)4(1 x)4的展开式的通项是 C4 ( x)n C； 1n xn,其中m 0,1,2,3, n3令m n 2,则m 0且 n 2, m 1且 n 1,m 。