2022年二次函数平行四边形存在性问题例题.pdf

学习必备欢迎下载二次函数平行四边形存在性问题例题一．解答题（共9 小题）1．如图，抛物线经过A（﹣1，0） ，B（5，0） ，C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使 PA+PC的值最小，求点 P的坐标；（3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以 A，C ，M，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C．抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，C两点，且与 x轴交于另一点 B （点 B在点 A 右侧） ．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）若点 M 是线段 BC上一动点，过点 M 的直线 EF平行 y轴交 x 轴于点 F，交抛物线于点 E．求 ME 长的最大值；（3）试探究当 ME 取最大值时， 在 x 轴下方抛物线上是否存在点P，使以 M，F，B，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 29 页学习必备欢迎下载3．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B两点，将∠ OBA对折，使点 O 的对应点 H落在直线 AB上，折痕交x 轴于点 C．（1）直接写出点 C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2） 若（1）中抛物线的顶点为D，在直线 BC上是否存在点 P，使得四边形 ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）若把（ 1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x 轴交于 F、N（点 F在点 N 的左侧）两点，交 y 轴于 E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点 Q 到 E、N 两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，将∠ OBA对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 C．（1）直接写出点 C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线 BC上是否存在点 P，使得四边形 ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为 T，Q 为线段 BT上一点，直接写出| QA﹣QO| 的取值范围．精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 29 页学习必备欢迎下载5．如图， Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与 x 轴重合，∠OAB=90 ° ，OA=4，AB=2，把 Rt△OAB绕点 O逆时针旋转 90° ，点 B 旋转到点 C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A 三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在 x 轴上方的抛物线上有一动点P，过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点M，分别过点 P，点 M 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 E，F两点，问：四边形 PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（3）如果 x轴上有一动点 H，在抛物线上是否存在点N，使 O（原点） 、C 、H、N 四点构成以 OC为一边的平行四边形？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，直线 y=﹣x+3 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线 y=ax2+x+c经过 B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点 E是直线 BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 29 页学习必备欢迎下载出点 E的坐标和△ BEC面积的最大值？（3）在（ 2）的结论下，过点E作 y 轴的平行线交直线BC于点 M，连接 AM，点 Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以 P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点 P的坐标； 如果不存在，请说明理由．7．如图，抛物线 y=ax2+bx+2 与坐标轴交于 A、B、C三点，其中 B（4，0） 、C （﹣2，0） ，连接 AB、AC ，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过 D作 DE ⊥x 轴，垂足为 E，交 AB于点 F．（1）求此抛物线的解析式；（2）在 DE上作点 G，使 G点与 D 点关于 F点对称，以 G为圆心， GD为半径作圆，当⊙ G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；（3）过 D 点作直线 DH∥AC交 AB于 H，当△DHF的面积最大时，在抛物线和直线 AB上分别取 M、N 两点，并使 D、H、M、N 四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的 M、N 两点的横坐标．8．已知直线y=kx+b（k≠0）过点 F（0，1） ，与抛物线y=x2相交于 B、C 两精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 29 页学习必备欢迎下载点．（1）如图 1，当点 C的横坐标为 1 时，求直线 BC的解析式；（2）在（ 1）的条件下，点 M 是直线 BC上一动点，过点M 作 y 轴的平行线，与抛物线交于点 D，是否存在这样的点M，使得以 M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，设 B（m．n） （m＜0） ，过点 E（0．﹣1）的直线 l∥x 轴，BR ⊥l于 R，CS ⊥l 于 S ，连接 FR 、FS ．试判断△ RFS的形状，并说明理由．9．抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（0，2） ，B（3，2）两点，若两动点 D、E同时从原点 O分别沿着 x 轴、y 轴正方向运动，点 E的速度是每秒 1 个单位长度，点 D 的速度是每秒 2 个单位长度．（1）求抛物线与 x 轴的交点坐标；（2）若点 C 为抛物线与 x 轴的交点，是否存在点D，使 A、B、C、D 四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）问几秒钟时， B、D、E在同一条直线上？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 29 页学习必备欢迎下载20XX年 05 月 03 日 1587830199的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共9 小题）1． （2016?安顺）如图，抛物线经过A（﹣1，0） ，B（5，0） ，C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使 PA+PC的值最小，求点 P的坐标；（3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以 A，C ，M，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】 解： （1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0） ，∵A（﹣1，0） ，B（5，0） ，C（0，）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为： y=x2﹣2x﹣；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 29 页学习必备欢迎下载（2）∵抛物线的解析式为：y= x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接 BC ，如图 1 所示，∵B（5，0） ，C（0，﹣） ，∴设直线 BC的解析式为 y=kx+b（k≠0） ，∴，解得，∴直线 BC的解析式为 y= x﹣，当 x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣） ；（3）存在．如图 2 所示，①当点 N 在 x 轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣） ，∴N1（4，﹣） ；②当点 N 在 x 轴上方时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 29 页学习必备欢迎下载如图，过点 N2作 N2D⊥x 轴于点 D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA ） ，∴N2D=OC= ，即 N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣=，解得 x=2+或 x=2﹣，∴N2（2+，） ，N3（2﹣，） ．综上所述，符合条件的点 N 的坐标为（4，﹣） ， （2+， ）或（2﹣， ） ．2． （2016?十堰一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C．抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，C两点，且与 x 轴交于另一点B（点 B在点 A 右侧） ．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）若点 M 是线段 BC上一动点，过点 M 的直线 EF平行 y轴交 x 轴于点 F，交抛物线于点 E．求 ME 长的最大值；（3）试探究当 ME 取最大值时， 在 x 轴下方抛物线上是否存在点P，使以 M，F，B，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 29 页学习必备欢迎下载【解答】 解： （1）当 y=0 时，﹣ 3x﹣3=0，x=﹣1∴A（﹣1，0）当 x=0时，y=﹣3，∴C （0，﹣3） ，∴∴，抛物线的解析式是： y=x2﹣2x﹣3．当 y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得： x1=﹣1，x2=3∴B（3，0） ．（2）由（ 1）知 B（3，0） ，C（0，﹣3）直线 BC的解析式是： y=x﹣3，设 M（x，x﹣3） （0≤x≤3） ，则 E（x，x2﹣2x﹣3）∴ME=（x﹣3）﹣（ x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+；∴当 x= 时，ME 的最大值为．（3）答：不存在．由（2）知 ME 取最大值时 ME=，E（，﹣） ，M（，﹣）∴MF= ，BF=OB ﹣OF= ．设在抛物线 x 轴下方存在点 P，使以 P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，则 BP ∥MF，BF ∥PM．∴P1（0，﹣）或 P2（3，﹣）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 29 页学习必备欢迎下载当 P1（0，﹣）时，由（ 1）知 y=x2﹣2x﹣3=﹣3≠﹣∴P1不在抛物线上．当 P2（3，﹣）时，由（ 1）知 y=x2﹣2x﹣3=0≠﹣∴P2不在抛物线上．综上所述：在 x 轴下方抛物线上不存在点P，使以 P、M、F、B 为顶点的四边形是平行四边形．3． （2016?义乌市模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与 x 轴、y 轴的交点分别为A、B两点，将∠ OBA对折，使点 O的对应点 H落在直线 AB上，折痕交 x 轴于点 C．（1）直接写出点 C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2） 若（1）中抛物线的顶点为D，在直线 BC上是否存在点 P，使得四边形 ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）若把（ 1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x 轴交于 F、N（点 F在点 N 的左侧）两点，交 y 轴于 E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点 Q 到 E、N 两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】 解： （1）连接 CH由轴对称得 CH⊥AB，BH=BO ，CH=CO∴在△ CHA中由勾股定理，得AC2=CH2+AH2∵直线与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B 两点∴当 x=0时，y=6，当 y=0时，x=8精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 29 页学习必备欢迎下载∴B（0，6） ，A（8，0）∴OB=6 ，OA=8，在 Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=10设 C（a，0） ，∴OC=a∴CH=a ，AH=4，AC=8 ﹣a，在 Rt△AHC中，由勾股定理，得（8﹣a）2=a2+42解得a=3C（3，0）设抛物线的解析式为： y=ax2+bx+c，由题意，得解得：∴抛物线的解析式为：∴（2）由（ 1）的结论，得D（）∴DF=设 BC的解析式为： y=kx+b，则有解得直线 BC的解析式为： y=﹣2x+6设存在点 P使四边形 ODAP是平行四边形， P（m，n）作 PE ⊥OA于 E，HD交 OA于 F．精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 29 页学习必备欢迎下载∴∠PEO= ∠AFD=90 ° ，PO=DA ，PO∥DA∴∠POE= ∠DAF∴△OPE ≌△ADF∴PE=DF=n=∴×=P（）当 x= 时，y=﹣2×+6=1≠∴点 P不再直线 BC上，即直线 BC上不存在满足条件的点P．（3）由题意得，平移后的解析式为：∴对称轴为： x=2，当 x=0时，y=﹣当 y=0时，0=解得：∵F在 N 的左边F（，0） ，E（0，﹣） ，N（，0）连接 EF交 x=2 于 Q，设 EF的解析式为： y=kx+b，则有解得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 29 页学习必备欢迎下载∴EF的解析式为： y=﹣x﹣∴解得：∴Q（2，） ．4． （2016?深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，将∠ OBA对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB上，折痕交 x 轴于点 C．精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 29 页学习必备欢迎下载（1）直接写出点 C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线 BC上是否存在点 P，使得四边形 ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为 T，Q 为线段 BT上一点，直接写出| QA﹣QO| 的取值范围．【解答】 解： （1）点 C的坐标为（ 3，0） ． （1 分）∵点 A、B 的坐标分别为 A（8，0） ，B（0，6） ，∴可设过 A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣3） （x﹣8） ．将 x=0，y=6代入抛物线的解析式，得． （2 分）∴过 A、B、C三点的抛物线的解析式为． （3分）（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点 D 的坐标为，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为 G．直线 BC的解析式为 y=﹣2x+6.4 分）设点 P的坐标为（ x，﹣2x+6） ．解法一：如图，作OP∥AD交直线 BC于点 P，连接 AP，作 PM⊥x 轴于点 M．∵OP ∥AD，∴∠POM=∠GAD ，tan∠POM=tan∠GAD ．∴，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 29 页学习必备欢迎下载即．解得．经检验是原方程的解．此时点 P的坐标为． （5 分）但此时，OM＜GA．∵，∴OP ＜AD，即四边形的对边OP与 AD平行但不相等，∴直线 BC上不存在符合条件的点P（6 分）解法二：如图，取OA的中点 E，作点 D 关于点 E的对称点 P，作 PN⊥x 轴于点 N．则∠ PEO= ∠DEA ，PE=DE ．可得△ PEN ≌△DEG ．由，可得 E点的坐标为（ 4，0） ．NE=EG= ，ON=OE ﹣NE= ，NP=DG=．∴点 P的坐标为． （5 分）∵x= 时，，∴点 P不在直线 BC上．∴直线 BC上不存在符合条件的点P． （6 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 29 页学习必备欢迎下载（3）| QA﹣QO| 的取值范围是． （8 分）当 Q 在 OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点 K处） ，此时 OK=AK ，则| QA﹣QO| =0，当 Q 在 AH的延长线与直线 BC交点时，此时 | QA﹣QO| 最大，直线 AH的解析式为： y=﹣x+6，直线 BC的解析式为： y=﹣2x+6，联立可得：交点为（ 0，6） ，∴OQ=6 ，AQ=10，∴| QA﹣QO| =4，∴| QA﹣QO| 的取值范围是： 0≤| QA﹣QO| ≤4．5． （2016?山西模拟）如图， Rt△OAB 如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边 OA 与 x 轴重合，∠ OAB=90 ° ，OA=4，AB=2 ，把 Rt△OAB绕点 O 逆时针旋转90° ，点 B旋转到点 C的位置，一条抛物线正好经过点O，C ，A 三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在 x 轴上方的抛物线上有一动点P，过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点M，分别过点 P，点 M 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 E，F两点，问：四边形 PEFM的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 29 页学习必备欢迎下载周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（3）如果 x轴上有一动点 H，在抛物线上是否存在点N，使 O（原点） 、C 、H、N 四点构成以 OC为一边的平行四边形？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】 解： （1）因为 OA=4，AB=2，把△ AOB绕点 O逆时针旋转 90° ，可以确定点 C的坐标为（ 2，4） ；由图可知点 A 的坐标为（ 4，0） ，又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx 把（2，4） ， （4，0）代入，得，解得所以抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；（2）四边形 PEFM的周长有最大值，理由如下：由题意， 如图所示，设点 P的坐标为 P （a， ﹣a2+4a） 则由抛物线的对称性知OE=AF ，∴EF=PM=4 ﹣2a，PE=MF= ﹣a2+4a，则矩形 PEFM的周长 L=2[ 4﹣2a+（﹣a2+4a）] =﹣2（a﹣1）2+10，∴当 a=1时，矩形 PEFM的周长有最大值， Lmax=10；（3）在抛物线上存在点N，使 O（原点） 、C、H、N 四点构成以 OC为一边的平行四边形，理由如下：∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4 可知顶点坐标（ 2，4） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 29 页学习必备欢迎下载∴知道 C点正好是顶点坐标，知道C点到 x 轴的距离为 4 个单位长度，过点 C作 x 轴的平行线，与 x 轴没有其它交点，过y=﹣4 作 x 轴的平行线，与抛物线有两个交点，这两个交点为所求的N 点坐标所以有﹣ x2+4x=﹣4 解得 x1=2+，x2=2﹣∴N 点坐标为 N1（2+，﹣4） ，N2（2﹣，﹣4） ．6． （2015?葫芦岛）如图，直线y=﹣x+3 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线 y=ax2+x+c 经过 B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点 E是直线 BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点 E的坐标和△ BEC面积的最大值？（3）在（ 2）的结论下，过点E作 y 轴的平行线交直线BC于点 M，连接 AM，点 Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以 P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点 P的坐标； 如果不存在，请说明理由．精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 29 页学习必备欢迎下载【解答】 解： （1）∵直线 y=﹣x+3 与 x轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，∴点 B的坐标是（ 0，3） ，点 C的坐标是（ 4，0） ，∵抛物线 y=ax2+x+c 经过 B、C两点，∴解得∴y=﹣x2+x+3．（2）如图 1，过点 E作 y 轴的平行线 EF交直线 BC于点 M，EF交 x 轴于点 F，，∵点 E是直线 BC上方抛物线上的一动点，∴设点 E的坐标是（ x，﹣x2+x+3） ，则点 M 的坐标是（ x，﹣x+3） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 29 页学习必备欢迎下载∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，∴S△BEC=S△BEM+S△MEC==×（﹣x2+x）×4=﹣x2+3x=﹣（x﹣2）2+3，∴当 x=2时，即点 E的坐标是（ 2，3）时，△ BEC的面积最大，最大面积是3．（3）在抛物线上存在点P，使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形．①如图 2，，由（2） ，可得点 M 的横坐标是 2，∵点 M 在直线 y=﹣x+3 上，∴点 M 的坐标是（ 2，） ，又∵点 A 的坐标是（﹣ 2，0） ，∴AM==，∴AM 所在的直线的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3 的对称轴是 x=1，∴设点 Q 的坐标是（ 1，m） ，点 P的坐标是（ x，﹣x2+ x+3） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 29 页学习必备欢迎下载则解得或，∵x＜0，∴点 P的坐标是（﹣ 3，﹣） ．②如图 3，，由（2） ，可得点 M 的横坐标是 2，∵点 M 在直线 y=﹣x+3 上，∴点 M 的坐标是（ 2，） ，又∵点 A 的坐标是（﹣ 2，0） ，∴AM==，∴AM 所在的直线的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3 的对称轴是 x=1，∴设点 Q 的坐标是（ 1，m） ，点 P的坐标是（ x，﹣x2+ x+3） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 29 页学习必备欢迎下载则解得或，∵x＞0，∴点 P的坐标是（ 5，﹣） ．③如图 4，，由（2） ，可得点 M 的横坐标是 2，∵点 M 在直线 y=﹣x+3 上，∴点 M 的坐标是（ 2，） ，又∵点 A 的坐标是（﹣ 2，0） ，∴AM==，∵y=﹣x2+x+3 的对称轴是 x=1，∴设点 Q 的坐标是（ 1，m） ，点 P的坐标是（ x，﹣x2+ x+3） ，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 29 页学习必备欢迎下载解得，∴点 P的坐标是（﹣ 1，） ．综上，可得在抛物线上存在点P，使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形，点 P的坐标是（﹣ 3，﹣） 、 （5，﹣） 、 （﹣1，） ．7． （2015?梧州）如图，抛物线y=ax2+bx+2 与坐标轴交于 A、B、C三点，其中 B（4，0） 、C（﹣2，0） ，连接 AB、AC ，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作 DE⊥x 轴，垂足为 E，交 AB于点 F．（1）求此抛物线的解析式；（2）在 DE上作点 G，使 G点与 D 点关于 F点对称，以 G为圆心， GD为半径作圆，当⊙ G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；（3）过 D 点作直线 DH∥AC交 AB于 H，当△DHF的面积最大时，在抛物线和直线 AB上分别取 M、N 两点，并使 D、H、M、N 四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的 M、N 两点的横坐标．【解答】 解： （1）∵B，C两点在抛物线 y=ax2+bx+2 上，∴，解得：．∴所求的抛物线为： y=．精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 29 页学习必备欢迎下载（2）抛物线 y=，则点 A 的坐标为（ 0，2） ，设直线 AB的解析式为 y=kx+b，∴，解得：．∴直线 AB的解析式为 y=﹣x+2，设 F点的坐标为（ x，x+2） ，则 D 点的坐标为（ x，） ，∵G点与 D 点关于 F点对称，∴G点的坐标为（ x，） ，若以 G为圆心， GD为半径作圆，使得⊙ G 与其中一条坐标轴相切，①若⊙ G与 x 轴相切则必须由 DG=GE ，即﹣x2+x+2﹣（）=，解得： x=，x=4（舍去） ；②若⊙ G与 y 轴相切则必须由 DG=OE ，即解得： x=2，x=0（舍去） ．综上，以 G为圆心， GD为半径作圆，当⊙ G 与其中一条坐标轴相切时，G点的横坐标为 2 或．（3）M 点的横坐标为 2±2，N 点的横坐标为±2．精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 29 页学习必备欢迎下载8． （2015?资阳）已知直线 y=kx+b（k≠0）过点 F（0，1） ，与抛物线 y=x2相交于 B、C两点．（1）如图 1，当点 C的横坐标为 1 时，求直线 BC的解析式；（2）在（ 1）的条件下，点 M 是直线 BC上一动点，过点M 作 y 轴的平行线，与抛物线交于点 D，是否存在这样的点M，使得以 M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，设 B（m．n） （m＜0） ，过点 E（0．﹣1）的直线 l∥x 轴，BR ⊥l于 R，CS ⊥l 于 S ，连接 FR 、FS ．试判断△ RFS的形状，并说明理由．【解答】 解： （1）因为点 C在抛物线上，所以C（1，） ，又∵直线 BC过 C、F两点，故得方程组：解之，得，所以直线 BC的解析式为： y=﹣x+1；（2）要使以 M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF ，如图 1 所示，设 M（x，﹣x+1） ，则 D（x，x2） ，∵MD∥y 轴，∴MD=﹣x+1﹣x2，由 MD=OF，可得 | ﹣x+1﹣x2| =1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 29 页学习必备欢迎下载①当﹣x+1﹣x2=1时，解得 x1=0（舍）或 x1=﹣3，所以 M（﹣3，） ，②当﹣x+1﹣x2，=﹣1 时，解得， x=，所以 M（，）或 M（，） ，综上所述，存在这样的点M，使以 M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，M 点坐标为（﹣ 3，）或（，）或（，） ；（3）过点 F作 FT⊥BR于点 T，如图 2 所示，∵点 B（m，n）在抛物线上，∴m2=4n，在 Rt△BTF中，BF====，∵n＞0，∴BF=n +1，又∵BR=n +1，∴BF=BR ．∴∠BRF= ∠BFR ，又∵BR ⊥l，EF ⊥l，∴BR ∥EF ，∴∠BRF= ∠RFE ，∴∠RFE= ∠BFR ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 29 页学习必备欢迎下载同理可得∠ EFS= ∠CFS ，∴∠RFS= ∠BFC=90 ° ，∴△RFS 是直角三角形．9． （2015?百色）抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（0，2） ，B（3，2）两点，若两动点 D、E同时从原点 O分别沿着 x 轴、y 轴正方向运动，点E的速度是每秒 1 个单位长度，点 D 的速度是每秒 2 个单位长度．（1）求抛物线与 x 轴的交点坐标；（2）若点 C 为抛物线与 x 轴的交点，是否存在点D，使 A、B、C、D 四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）问几秒钟时， B、D、E在同一条直线上？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 29 页学习必备欢迎下载【解答】 解： （1）抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（0，2） ，B（3，2）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为： y=x2﹣3x+2，令 y=0，则 x2﹣3x+2=0，解得： x1=1，x2=2，∴抛物线与 x 轴的交点坐标是（ 1，0） ， （2，0） ；（2）存在，由已知条件得AB∥x 轴，∴AB∥CD ，∴当 AB=CD时，以 A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形，设 D（m，0） ，当 C（1，0）时，则 CD=m﹣1，∴m﹣1=3，∴m=4，当 C（2，0）时，则 CD=m﹣2，∴m﹣2=3，∴m=5，∴D（5，0） ，综上所述：当 D（4，0）或（ 5，0）时，使 A、B、C、D 四点围成的四边形是平行四边形；（3）设 t 秒钟时， B、D、E在同一条直线上，则OE=t，OD=2t，∴E （0，t） ，D（2t，0） ，设直线 BD的解析式为： y=kx+b，∴，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 29 页学习必备欢迎下载解得 k=﹣或 k=（不合题意舍去），∴当 k=﹣，t=，∴点 D、E运动秒钟时， B、D、E在同一条直线上．精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 29 页。