矩阵范数赵彤.doc

第 1 页 矩矩 阵阵 范范 数数赵赵 彤彤 鞍山师范学院数学系 00 级 114005实数的绝对值和复数的模给出了实数和复数的“大小” 平面向量 x，当其在直角坐标系中的分量为时，也用12xx、给出其大小的度量在许多情况下，我们不仅需要定22 12xx性地描述一个矩阵，而且需要对之进行定量地刻画为此，我们引入矩阵的某些函数，他们在某种意义下给出了矩阵“大小”的量度，其作用相当于复数的模，我们统称这些函数为矩阵范数第一章第一章 矩阵范数矩阵范数一、向量范数的定义与性质一、向量范数的定义与性质定义定义 1.1 设 V 是数域 F（一般为实数域 R 或复数域C）上的线性空间，用表示按照某个法则确定的与向量 xxP P对应的实数，且满足：（1）非负性：当时，＞0；当且仅当时，0x xP P0x 第 2 页 =0；xP P（2）其次性：， 为任意数；kxkxPPP Pk（3）三角不等式：对于 V 中任何向量 、 ，都有xy；xyxyPP P P P P则称实数是向量 的范数.xP Px性质性质 1.1 （1）当时，；0x P P1x xPPP P（2）；xx P P PP（3）；xyxyP P P P PP（4）.xyxyP P P P PP二、矩阵范数的定义二、矩阵范数的定义矩阵空间是一个维的线性空间，将矩阵 Am nCmnm n看作线性空间中的向量，可以按照向量范数的方式定义m nCA 的范数. 但是，矩阵之间还有乘法运算，故应在定义时增加一个条件.定义定义 1.2 对于任何一个矩阵，用表示按照某m nACAP P个法则确定的与矩阵对应的实数，且满足：A（1）非负性：当时， >０； 当且仅当时，AOAP PAO＝０；AP P第 3 页 （2）齐次性： ， 为任意复数；kAk Ak（3）三角不等式：对于任何两个同类型矩阵,都有AB、；ABAB（4）矩阵乘法相容性：若与可乘，有.ABABA B则称对应于的这个实数是矩阵的矩阵范数.AAA由规定矩阵范数的具体方法，可得到矩阵范数的又一定义，本文仅以定义 1.2 为主，来研究矩阵范数及其一些应用.例例 1.1 设，分别定义实数： ijm nAa（1）； ,maxiji jAmna（2）. ,max,maxiji jAm na验证它们都是中的矩阵范数.m nC证明：（1）当时，；当时，存在 与AO0A AO0i使得，从而有.0j 0 00i ja 0 00i jAmn a对于,有.kC,,maxmaxijiji ji jkAmnkakmnak A对于, ijm nBb,,maxmaxijijijiji ji jABmnabmnab有.,,maxmaxijiji ji jmnabAB对于, ijn lBb,,11maxmaxnnikkjikkji ji jkiABmla bmlab有第 4 页 ,,,,maxmaxmaxmaxijijijiji ji ji ji jml nabmnanlbA B 因此,由(1)定义的是中的矩阵范数.Am nC（2）当时，；当时，存在 与使得，AO0A AO0i0j 0 00i ja从而有； 0 00i jAa对于,kC有；,,max,maxmax,maxijiji ji jkAm nkakm nak A对于, ijm nBb ,,max,maxmax,maxijijijiji ji jABm nabm nab有；,,max,maxmaxijiji ji jm nabAB对于, ijn lBb ,,11max,maxmax,maxnnikkjikkji ji jkiABm la bm lab有 ,,,,max,maxmaxmax,maxmax,maxijijijiji ji ji ji jm lnabm nan lbA B 因此,由(2)定义的是中的矩阵范数.Am nC例例 1.2 设，且判断实数是否构 ijn nAa1,n  ,maxiji jAa成中的矩阵范数.n nC解：取，0011110000100,000100AB     KKM OMM OMLL…0…第 5 页 那么，但是001,1AB0000 000000nA B     K M OM L…从而，因为，所以，不满足矩阵乘00A Bn1n 0000A BAB法的相容性.因此，不能构成中的矩阵范数. ,maxiji jAan nC三、几种常用的矩阵范数三、几种常用的矩阵范数定义定义 1.41.4 对于上的矩阵范数和上的同类向m nC mmnCC与量范数，如果，，则称范数vvmvAxAx,m nnACxC  与向量范数是相容的.mv定理定理 1.11.1 设，，则从属向量 12,,Tm nn ijnAaCxC …的三种范数的矩阵范数依次是：x12,,xxx（1）；1 1maxmijjiAa（2），，为的最大特征值；12A1HA A（3）. .1maxnijijAa 通常称，，依次为列和范数、谱范数及行和范数.1A2AA我们常用的矩阵范数还有：第 6 页 （1）； 111mnijm ijAa（2）； ,maxijmi jAna （3）. 21 11222211mn HH ijmF ijAAatr AAtr A A证明：（1）对于函数而言，它显然具有非负性和齐 1mA次性.先仅就三角不等式与相容性验证于下：； 111,1,1,1,1nnnnijijijijijijmmm i ji ji ji jABabababAB11 12211 ,1,1nnijijinnjijinnjm i ji jABa ba ba bababLL 1111 11,1,1nnnniinjnjijijmm iji ji jaabbabABLL因此，是矩阵范数. 1mA（2）同理可证也是的矩阵范.mA A（3）显然具有非负性和齐次性.1 2211mnijF ijAa设的第 列为（ =1，2，， ） ， 的第 列AjjajLnm nBCj为（ =1，2，， ） ，则有jbjLn22222 1111222222nnnnFABababababL LL L 2222 1111222222222nnnnaaababbbL LLL对上式第二项应用 Cauchy 不等式，即可得, x yx y第 7 页 22222FFFFFFFABAABBAB即三角不等式成立.再设，则，于是有 n l ijBbC1n m l ikkj kABa bC.22 2111111mlnmlnikkjikkjF ijkijkABa bab 对括号内的项应用 Cauchy 不等式得2221111mlnnikkjF ijkkABab 22221111mnlnikkjFF ikjkabAB即是的矩阵范数，这一范数又记作.FAA 2mA四、矩阵范数的性质四、矩阵范数的性质性质性质 1.21.2 设,且与都是酉矩阵，则m nACm mPCn nQC, 即给左乘或右乘以酉矩阵后，其值FFFPAAAQAFg不变. (在时,和都是正交矩阵).m nARPQ证明: 若记的第 列( =1,2,,n), 则有AjjajL222 1212,,,,,,nnFFFPAP a aaPa PaPaLL2222211nnjjF jjPaaA即FFPAA第 8 页 于是 .HHHH FFFFAQAQFQ AAA性质性质 1.3 和酉（或正交）相似的矩阵的 F-范数是相同A的，即若，则，其中是酉矩阵.HBQ AQFFBAQ证明： 由性质 1 可得.性质性质 1.4 若与是任意两种矩阵范数，则总存在正AA数对于任意矩阵恒有.12,c cA12c AAcA证明：若范数与都与一固定范数，如范数满AA2A足上不等式的关系，则这两种范数之间也存在上述关系.这是因为若存在正常数和 使'' 12,c c'''' 12,c c， 成立，'' 1222c AAcA'''' 122cAAcA则显然有.'''''' 1 122c cAAc cA令， ，便得不等式，''' 11 1cc c''' 222cc c因此只要对证明不等式成立就行了.2性质性质 1.5 若为上的矩阵范数，则.gn nF1nI证明：对于上的任何一种从属范数，有n nF，但对于一般的矩阵范数，由于11maxnn xII x，对于成立，nxI xIxnxC 所以.1I 性质性质 1.6 设为上的任意矩阵范数，对，Am nQ0,0 第 9 页 只要，就有.ABAB证明：由于，可得AABBABB，ABAB同理可证：,BAAB此即；ABAB下设为的一组基，且令1,2,,;1,2,,ijAim jnLLm nQ，对于，均可表示为上述基的右线性maxijMA,m nA BQ组合.设，由1111,mnmnijijijij ijijAABA 111111mnmnmnijijijijijijijij ijijijABAAMmnM取，则当时，mnMABAB再由刚证明过的式子，则有.ABAB性质性质 1.7 ,列向量，则：m nACnC（1）矩阵范数与向量的 P-范数相容（）. 1mA1P 证明：设，, ijm nAa12,,,T n L则有，，0,,0,,0,,0ijjELLijPEijPE. 1111111mnmnmnijijijijijPPmPPijijijPAa EaEaA（2）矩阵范数与向量范数相容.gg第 10 页 证明：设， 12,,,,T ijnm nAa L则有， ，0,,0,,0,,0TijjELLijE111maxmaxmaxmaxnnnikkikkikkjiiijiii iAaaa  =, ,maxiji jaaA故矩阵范数与向量范数相容.A例例 1.3 若可逆,是中的向量范数. n nSR11SnR是中从属于向量范数的矩阵范数，试导出与矩阵An nRA的 1-范数之间的关系式.解：由从属范数的定义可得：.11111 11000 11maxmaxmaxSASSAAASASS  例例 1.4 若可逆，给定中的矩阵范数，n nSCn nC Mg对于，定义实数，试证明是中的矩n nAC1MASASAn nC。