[理学]微积分 高数.ppt

nbsp;                  哈尔滨工程大学         高 等 数 学第八节  多元函数的极值一、二元函数的极值哈尔滨工程大学         高 等 数 学(1)(2)例1例２例３在1, 3象限的值为正;  在2, 4象限的值为负; 而在坐 标轴上的值为0.哈尔滨工程大学         高 等 数 学1yozx1z=xy哈尔滨工程大学         高 等 数 学证哈尔滨工程大学         高 等 数 学仿照一元函数, 凡能使一阶偏导数同时为零的点, 均称 为函数的 驻点（稳定点）.驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注：哈尔滨工程大学         高 等 数 学哈尔滨工程大学         高 等 数 学哈尔滨工程大学         高 等 数 学例4   求函数 f (x,y) = x3 – y3 + 3x2 + 3y 2－9x 的极值.解先解方程组求得驻点:  (1, 0),  (1, 2),  (－3, 0), (－3, 2) .再求二阶偏导数在点(1, 0): AC – B2 = 12× 6 > 0,   A=12> 0,   f(x,y) 在点 (1,0) 有极小值  f(1, 0) = – 5.哈尔滨工程大学         高 等 数 学在点(1, 2): AC – B2 = 12×(– 6 ) 0,   A = – 12 < 0,   f(x, y) 在点 (– 3, 2)有极大值  f(– 3, 2) = 31.在点(– 3, 0):  AC – B2 = – 12×6 < 0,   f(x, y) 在点 (– 3, 0) 不取极值;哈尔滨工程大学         高 等 数 学方法：(1) 求函数在D 内的所有驻点及不可导处的函数值 ;(2) 求在 D 的边界上的最大值和最小值;(3) 比较上面的数值，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以求有界闭区域上连续 的二元函数的最大值和最小值.二、连续二元函数在有界闭区域内的最值哈尔滨工程大学         高 等 数 学解哈尔滨工程大学         高 等 数 学哈尔滨工程大学         高 等 数 学为求准确, 我们严格地给出一种条件极值的定义. 三、条件极值—拉格朗日乘数法哈尔滨工程大学         高 等 数 学哈尔滨工程大学         高 等 数 学注: (1) 为求条件极值点, 先求其拉格朗日函数的驻 点, 去掉最后一个坐标即可; (2) 上述方法得到的点没 实用的方法判别其为极大值点是极小值点, 一般都由 问题的实际意义 (物理意义和几何意义等) 来判别.哈尔滨工程大学         高 等 数 学哈尔滨工程大学         高 等 数 学哈尔滨工程大学         高 等 数 学哈尔滨工程大学         高 等 数 学解则另一方面, 由问题的实际意义知 u= 4×4 ×4 = 64 为 所求.哈尔滨工程大学         高 等 数 学解哈尔滨工程大学         高 等 数 学哈尔滨工程大学         高 等 数 学哈尔滨工程大学         高 等 数 学哈尔滨工程大学         高 等 数 学抛物面被平面             截成一个椭圆.  求这个椭圆到原点的最长与最短距离.解 这个问题实际上就是要求目标函数在条件及下的最大,最小值问题.应用拉格朗日乘数法,令：例9哈尔滨工程大学         高 等 数 学对L求一阶偏导数,并令它们都等于0,则有哈尔滨工程大学         高 等 数 学求解这个方程组得由于所求问题存在最大最小值,故由椭圆到原点的最长距离为最短距离为哈尔滨工程大学         高 等 数 学关关  于于  应应  用用  的的  习习  题题哈尔滨工程大学         高 等 数 学哈尔滨工程大学         高 等 数 学哈尔滨工程大学         高 等 数 学哈尔滨工程大学         高 等 数 学哈尔滨工程大学         高 等 数 学哈尔滨工程大学         高 等 数 学(元).解得 件，件，故惟一驻点(25,17)也是最小值点，它使成本为最小，最小成本为                。