“一个荒唐结论引发的思考”的思考.pdf

中小学数学 2014年1、2月中旬(初中) “一个荒唐结论 引发的思考’’的思考 浙j工省杭州市妥吉赔笑验学校(310006) 有名辉 《中小学数学》(初中版)2011年第7—8期许小卫的 《为什么抛物线是相似的》(下称文[1])；《中小学数 学》(初中版)2013年第5期又刊载了刘国辉的《一个荒 唐的结论引发的思考》(下称文[2])，“推翻”了文[1] 中的结论“平面上的任意两条抛物线都是彼此相似 的 ．细读文[2]，笔者认为，文中有很多值得商榷的地 方，下文将笔者的一些思考悉数列出，不当之处，请同 行批评指正． 1．抛物线的“曲线角”问题． 为说明“二次项系数不相同的抛物线不相似”，文 [2]作者引入了“曲线角”的概念，即“有公共端点的两 条曲线形成的图形，这个公共端点称为曲线角的顶 点，两条曲线称为曲线角的边”．对于曲线角的大小作 者并没有明确定义，而是“理解“为：在曲线角的两条 边上各取一点，过这两点作曲线的切线，当两个点接 近顶点时，两条切线所形成的角的大小，就是曲线角 的大小”．基于这种“理解”，作者认为“二次项系数不 同的抛物线表示的曲线角不相等”．笔者认为这是不 妥当的． 因 ‘／ 图l 如图l，对于抛物线y=x 上的两点A和B，它们 分别从左右“接近”(文[2]中所说的“接近”显然应该 理解成无限接近，即极限情形，否则曲线角的大小是 无法确定的)于点0时，切线AP和切线BP都趋向于 点0处的切线即 轴，因此抛物线y=x 表示的曲线 角应为180o．同样，对于其他任意抛物线'，=似 表示 的曲线角也是180。

．因此“二次项系数不同的抛物线 表示的曲线角不相等”是错误的，由此来“推翻”结论 “平面上的任意两条抛物线都是彼此相似的”是行不 通的．顺便指出，对于光滑曲线(即处处可导，处处有 切线)，文[2]定义的“曲线角”或许意义不大． 2．伸缩变换与相似变换的关系． 文[2]指出“抛物线，，=乱 上的点可由抛物线 '，= 上对应的点横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4 倍得到，也就是说，抛物线y=4x 可由抛物线'，： 纵 向拉伸原来的4倍得到，这样的拉伸(伸缩)变换不是 相似变换．所以，抛物线y=4x 和抛物线y=x 是不相 似的”．笔者认为这段文字中的观点有严重错误．毫无 疑问，“纵向拉伸4倍”这样的“拉伸变换”确实不是相 似变换，但就此断定“抛物线’，=缸 和抛物线y=x 是 不相似的”似乎为时过早，也没有逻辑上的必然．事实 上，抛物线’，= 到)，= 的伸缩变换有无数种，其中 伸缩变换 ： "一-- X，y=寺(即把y=x 上的点的横、 叶 纵坐标都缩短为原来的 1)就是一种相似变换．另外， 斗 文[2]中“举了一个明显的例子”来说明“拉伸变换不 是相似变换”，笔者在此也举一例说明伸缩变换和相 似变换不矛盾：矩形A的两条邻边长分别是4和2，矩 形B的两条邻边长分别是4和8，显然，矩形A朝着某个 方向拉伸4倍可得矩形B，但我们能就此说明矩形A和 矩形B不相似吗?这显然是荒谬的． 3．曲线的相似与曲线的“弯曲程度”的关系． 文[2]指出：抛物线y=x 和y=似 被y=kx所截 得的两条曲线段，“从理论上说各自包含的圆弧是否 相等，度数是否一样(用通俗的话说，就是两条曲线段 的弯曲程度是否相同)，我们无法判断”，“而从直观上 看，两条曲线段的弯曲程度是不相同的”．从这段文字 中，刘老师似乎认为两条曲线的相似一定意味着曲线 的弯曲程度是一样的，其实不然．曲线的弯曲程度不 第81页 中小学数学 2014年1、2月中旬(初中) “线段AB=CD’’是 甘肃省静宁县曹务初级中学(743405) 代建伟 《中小学数学》(初中版)2013年1-2期刊登了张仁 辉老师的《“线段AB=CD”的命题之争及其引发的思 考》(下称文[1])～文，张老师对命题的认识非常深 刻，对初高中的衔接非常重视．张老师认为“线段AB= CD”不是命题，“线段AB=CD”是否是命题是有争议 的，但是笔者认为“线段AB=．CD”是一个命题．下面对 “线段AB：CD”是否是命题谈谈自己的认识． 笔者翻阅了《离散数学导论》(徐洁磐编著)，书中 第202页举了这样一个例子：“这盘菜太咸”是一个命 题．笔者当时感到这不是一个命题，但是徐教授是这 样解释的：“虽然这个语句的真假似乎不能唯一的判 定，以为它因人而异．但是我们可以认为这个语句的 真假取决于说话人的主观判断(即可以认为，此语句 是‘我认为这盘菜太咸’的缩写)．”笔者在想“线段 AB=CD”是不是省略了什么呢?或者是我们忽视了 什么? 1．什么是命题? 怎样判断一个语句是否是命题? 北师大版八年级下册对命题的定义是：判断一件 事情的句子，叫做命题．北大版教师用书中是这样说 的：“教学中，应根据学生的生活经验来举例，不要举 太复杂的例子或容易发生争议的句子．”“线段AB= CD”是否是命题对初中学生来说确实有难度，或者说 已经超出了对中学生的要求．人教版课本在原来的 《命题、定理》一节中有这样一个问题：“语句 画线段 AB=CD’是命题吗?”现在的《命题、定理、证明》一节 中把这个问题删除了，笔者揣测编写者的意图，可能 是为了防止学生问：“画线段AB=CD”不是命题，“线 段AB=CD”是不是命题，数学教师要清楚． 高中课本对命题的定义是：可以判断真假的语句 (接上页)仅与其切线方向变化的角度△西有关，而且 还与考察的曲线段的弧长△s有关，一段曲线的弯曲程 度通常用 ：掣来衡 量(参见陈传璋等编著 《数学分析》(上册)1983 年7月第2版第216页)． 如图2，oA和oB的公 切线CD、EF相交于点 图2 P，丽的弯曲程度 = ， 的弯曲程度 1 = ，显然 > ，即蔚的弯曲程度大，这与我 I．A．Y2 们的直观感觉是一致的．而另一方面，蔚与 相似 是一个不争的事实．因此，曲线的弯曲程度和曲线的 相似没有必然联系．由此也可大胆推测，即使抛物线 y=x 和y=似 的弯曲程度不一致，它们仍然存在相 似的可能性． 第82页 4．“抛物线相似”的证明． “所有的抛物线都是相似的”其实在很多文献早 有研究和证明．前人的研究在一定程度上可以确定这 一结论不是“荒唐”的．至于文[2]质疑文[1]用“位似” 来证明“相似”是否合理，笔者认为，这或许是现行初 中教材下证明“所有的抛物线都是相似的”唯一的、也 是最好的方法．因为现行教材中(以浙教版为例)只有 相似三角形，相似多边形的定义以及相似三角形和相 似多边形的判定，并没有定义一般图形的相似．对于 一个没有定义的数学对象，研究它的判定方法显然是 困难的，甚至是不合逻辑的．幸亏教材上定义了“位似 图形”，且指出“位似图形是相似图形的特殊情形”，算 是给出了“相似图形”的一种判定方法．因此，从逻辑 上说，文[1]的证明是没有问题的．至于位似的两种定 义是否相容，是否有缺陷，争议由来已久，《中小学数学》杂志 曾刊载过多篇文章进行探讨，本文在此不再过多讨谂 以上仅为一家之言，难免有不当之处，敬请同行 批评指正． 。