2020高考数学第一轮复习求复数的辐角、辐角主值专项练习（通用）.doc

求复数的辐角、辐角主值知识要点：一、基础知识 1）复数的三角形式 ①定义：复数z=a+bi （a,b∈R）表示成r （cosθ+ isinθ）的形式叫复数z的三角形式即z=r（cos θ+ isinθ） 其中 θ为复数z的辐角 ②非零复数z辐角θ的多值性以ox轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角因此复数z的辐角是θ+2k（k∈z） ③辐角主值 表示法；用arg z 表示复数z的辐角主值 定义：适合[0，2）的角θ叫辐角主值 唯一性：复数z的辐角主值是确定的，唯一的 ④不等于零的复数的模是唯一的 ⑤z=0时，其辐角是任意的 ⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定求法） 这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法 2）复数的向量表示 在复平面内与复数z1、z2对应的点分别为z1、z2（如图） 何量 何量 何量 与复数z2－z1对应的向量为 显然oz∥z1z2 则argz1=∠xoz1=θ1 argz2=∠xoz2=θ2 argz（z2－z1）=arg z=∠xoz=θ 3）复数运算的几何意义 主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化 如z1=r1（cosθ1+isinθ1） z2=r2（cosθ2+isinθ2） ①乘法：z=z1 z2=r1r2 [cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] 如图：其对应的向量分别为显然积对应的辐角是θ1+θ2< 1 > 若θ2 > 0 则由逆时针旋转θ2角模变为的r2倍所得向量便是积z1z2=z的向量。

< 2 >若θ2< 0 则由向量顺时针旋转角模变为r1r2所得向量便是积z1z2=z的向量 为此，若已知复数z1的辐角为α，z2的辐角为β求α+β时便可求出z1z2=za z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算 ②除法 （其中 z2≠0） 除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下： < 1 > < 2 >二、基本方法 求复数的辐角、辐角主值主要介绍以下方法： 1）化复数为三角形式 如 求复数 这样化成三角式 ∴复数的辐角是（） 辐角主值为 ∵这个复数对应的点在复平面内第四象限，也可以化三角式为 2）直接求辐角及主值 主要是使用复数代数式 、三角式的互化： 若z=a+bi （a,b∈R） 则辐角为θ则，θ依点z（a,b）所在象限确定 如上例 设辐角为θ则tgθ=－1 ∵ 点z（）在第四象限 ∴ tg θ=tg 而arg z= 3）数形结合 主要是复数运算的几何意义得到的解法。