2016考研数学(一、二、三)真题及答案解析1.pdf

Born To Win2016 考研数学（一）真题及答案解析考研复习最重要的就是真题，所以跨考教育数学教研室为考生提供2016 考研数学一的真题、答案及部分解析， 希望考生能够在最后冲刺阶段通过真题查漏补缺，快速有效的备考一、选择题： 18 小题，每小题4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 . （1）设nx是数列下列命题中不正确的是（）（A）若limnnxa，则221limlimnnnnxxa（B）若221limlimnnnnxxa，则limnnxa（C）若limnnxa，则321limlimnnnnxxa（D）若331limlimnnnnxxa，则limnnxa【答案】（ D）（2）设211()23xxyexe是二阶常系数非齐次线性微分方程xyaybyce的一个特解，则（A）3,2,1abc（B）3,2,1abc（C）3,2,1abc（D）3,2,1abc【答案】（ A）【解析】将特解代入微分方程，利用待定系数法，得出3,2,1abc故选 A3） 若级数1nnna x在2x处条件收敛， 则3x与3x依次为幂级数1(1)nnnnax的（）（A）收敛点，收敛点（B）收敛点，发散点（C）发散点，收敛点（D）发散点，发散点【答案】（ A）【解析】因为级数1nnna x在2x处条件收敛，所以2R，有幂级数的性质，1(1)nnnnax的收敛半径也为2R，即13x，收敛区间为13x，则收敛域为Born To Win13x，进而3x与3x依次为幂级数1(1)nnnnax的收敛点，收敛点，故选A。

4）下列级数发散的是（）（A）18nnn（B）111ln(1)nnn（C）2( 1)1lnnnn（D）1!nnnn【答案】（ C）【解析】（ A）12212.888nnnnSuuu，231211127111817( ).(1( ) )8888888884988nnnnnnnnnnnSSS，8lim49nnS存在，则收敛B)331221111ln(1)nnunnnn收敛，所以（B）收敛C）222( 1)1( 1)1lnlnlnnnnnnnnn，因为22( 1)1,lnlnnnnnn分别是收敛和发散，所以2( 1)1lnnnn发散，故选（C)D)!,nnnun11limlim11nnnnnuneun，所以收敛5）设矩阵22111112,14Aaba，若集合1,2，则线性方程组Axb有无穷多解的充分必要条件为（）（A）,a（B）,a（C）,a（D）,a【答案】（ D）【解析】Axb有无穷多解3,0rArAA，即(2)(1)0aa，从而Born To Win12aa或当1a时，2211111111121010114100032A从而232=0=1=2或时Axb有无穷多解当2a时，2211111111122011114400032A从而232=0=1=2或时Axb有无穷多解所以选 D. （6）二次型123(,)f x xx在正交变换xPy下的标准形为2221232yyy，其中123(e ,e ,e )P，若132(e, e,)Qe，123(,)f x x x在正交变换xQy下的标准型为 （）（A）2221232yyy（B）2221232yyy（C）2221232yyy（D）2221232yyy【答案】（ A）【解析】由已知得222123123(,)2TTf x x xY P APYyyy，232( 1)QPE E，从而123223232(,)( 1)( 1)TTTTTTf x xxY Q AQYY EEP APE EY222223232123( 1)( 1)2TTY EE P APE EYyyy，其中23100001010E，2100( 1)010001E均为初等矩阵，所以选A。

7）若,A B为任意两个随机事件，则（A）()() ()P ABP A P B（B）()() ()P ABP A P B（C）()()()2P AP BP AB（D）()()()2P AP BP AB【答案】（ C）Born To Win【解析】排除法若AB，则()0P AB，而( ),( )P AP B未必为 0，故()( )() ( )(),()2P AP BP A P BP ABP AB，故,B D错若AB，则()()()( )P ABP AP A P B，故A错8）设总体123(, ),XB mXXX为来自该总的简单随机样本，X为样本均值，则21()niiEXX（A）(1)(1)mn（B）(1) (1)m n（C）(1)(1) (1)mn（D）(1)mn【答案】（ B）【解析】221211(1)1(1) (1)niiniiEXXESDXmnEXXm n二、填空题 (9 14 小题，每小题4 分，共 24 分请将答案写在答题纸指定位置上 ) （9）20ln(cos)limxxx_. 【答案】12【解析】2000sinlncos1sin1coslimlimlim22cos2xxxxxxxxxxx (10) 22sin1cosxx dxx_. 【答案】24【解析】22222202222sinsinsin21cos1cos1cos4xxxx dxdxxdxdxxdxxxx (11) 若函数( , )zz x y有方程cos2zexyzxx确定，则(0,1)dz_. 【答案】dx【解析】 对cos2zexyzxx两边分别关于, ,x y z求偏导， 并将(0,1)这个代入， 得到Born To Win(0,1)(0,1)1,0zzxy，所以(0,1)dzdx。

12）设是由1xyz与三个坐标平面所围成的空间区域，则23xyz dxdydz【答案】14【解析】由对称性，102366,ZDxyz dxdydzzdxdydzzdzdxdy其中ZD为平面zz截空间区域所得的截面其面积为21(1)2z所以：1123200112366(1)3224xyz dxdydzzdxdydzzz dzzzz dz(13) n阶行列式20021202_00220012【答案】122n【解析】按第一行展开得Born To Win111122221120021202002200122( 1)2( 1)222(22)222222222nnnnnnnnnnDDDDD（14）设二维随机变量,X Y服从正态分布(1,0;1,1 ;0),N则0.P XYY【答案】12. 【解析】由0,XY故,X Y独立01010,010,0100100 .11111.22222P XYYPXYPXYPXYPXP YPXP Y三、解答题： 1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）设函数3( )ln(1)sin , ( ),f xxaxbxx g xkx若( )f x与( )g x在0 x时为等价无穷小，求, ,a b k的值。

解析】由题意，3/1,2/1, 1)()(6/3/)2/()1(lim)(6/()(3/2/(lim1sin)1ln(lim1)()(lim3434320333332030 x0 xkbakxxoxobxaxxabxakxxoxxbxxoxxxaxkxxbxxaxxgxfxxBorn To Win（16）计算二重积分()Dx xy dxdy，其中222( , )2,Dx y xyyx解析】122()2DDDDIx xy dxdyx dxdyxydxdyx dxdy，其中2221( ,)2,0Dx y xyyxx，则221122202()2245xxDDIx xy dxdyx dxdydxx dy17） 已知函数( ,),fx yxyxy曲线22:3,C xyxy求( ,)f x y在曲线C上的最大方向导数【解析】因为( ,)f x y沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模 ( ,)1, ( ,)1,xyfx yy fx yx( , )1,1,gradf x yyx模为22(1)(1) ,yx此题目转化为对函数22( ,)(1)(1)g x yyx在约束条件22:3,C xyxy下的最大值，即为条件极值问题。

本问题可以转化为对22( , )(1)(1)d x yyx在约束条件22:3,C xyxy下的最大值，构造函数2222( , , )(1)(1)(3)f x yyxxyxy222(1)(2)02(1)(2)030 xyFxxyFyyxFxyxy1234(1 ,1),( 1, 1),(2, 1),( 1,2),MMMM1234()8, ()0, ()9, ()9,d Md Md Md M93.故最大值为3. （18）设函数( )f x在定义域I上的导数大于0，若对任意的0 xI，曲线( )yf x在点00(,()xf x处的切线与直线0 xx及x轴所围成区域的面积恒为4，且(0)2f，求( )f x的表达式解析】000()()()yf xfxxxBorn To Win000()()()yfxxxf x0000()000()()()()4xfxxfxfxxxf xdx解得：23dyydx分离变量可得：13xcy因为(0)2y所以12c综上2( )16f xx19、已知曲线L的方程为222zxyzx，起点为(0,2,0)A，终点为(0,2,0),B计算曲线积分2222()()()LIyz dxzxy dyxydz【解析】由题意假设参数方程cos2sin,:22cosxyz2222222220(2 sincos )sin2sincos1sinsin2 sincossin1sinsin222sin2ddd（20）向量组123,a a a是3R的一个基，()1132231322,2,1,kkbaababaa=+=+（）证明123,b bb为3R的一个基；（）当 k 为何值时，存在非零向量e在基123,a aa与基123,b bb下的坐标相同，并求所有的e. 【解析】（）证明：Born To Win12313213123201,22,2,1 =,020201kkkk123,a aa 是3R的一个基123,a a a 线性无关，即()123,3r a aa=123201,020201rrkk又20102040201kk=?+123201,020201rrkk=3 123,b bb线性无关，为3R的一个基（）由已知设112233112233,0kkkkkkeaaabbb e=+=+?()()()()()1112223331132231320kkkkkkkkbababaaaaaa-+-+-=+=即有非零解，113213232,0kkkkk即有非零解所以132131231012,=,010020kkkkaaaaaaaa+=101010 =0020kkk从而1122310kkkaaa+=Born To Win2130,kkk=-111310,0kkk（21）设矩阵02313312Aa相似于矩阵12000031Bb。

1）求,a b的值2）求可逆矩阵P，使1PAP为对角矩阵解析】（ 1）由5, 5,4),32(132)2(, 32)2()1 (2133132, 10)()1(130000213223212baaaaBABAaaaEAbbbEB故得）（特征值相同（2）由（ 1）得023133124A，其中特征值1231,5，当121时，解()0AE x方程的基础解系为12231 ,001；当35时，解(5 )0AE x方程的基础解系为3111，从而1231231231231(,)(,5)(,)(,)15AAAA，Born To Win因为123,线性无关，所以令123,P可逆，即231101011P，使得1115PAp22）设随机变量X的概率密度为2ln 20( )00 xxf xx，对X进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现为止，记Y的观测次数1）求Y的概率分布2）求EY解析】（。