九年级数学下册 第3章 圆 3.4 圆周角和圆心角的关系 3.4.2 圆周角和圆心角的关系 （新版）北师大版.ppt

北师大版九年级下册数学3.4.2圆周角和圆心角的关系圆周角:顶点在圆上,它的两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.圆周角定理￿￿￿￿￿圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.ABC●O●OABC●OABC●OABC情境导入本节目标1.掌握圆周角定理几个推论的内容，会熟练运用推论解决问题.2．培养学生观察、分析及理解问题的能力.3．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式.√√××××××1.判断题：（1）在同圆或等圆中等弧所对的圆周角相等.￿（￿￿￿￿）（2）相等的圆周角所对的弧也相等.￿￿￿￿￿￿￿￿￿（￿￿￿￿）（3）90°的角所对的弦是直径.￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿（￿￿￿￿）（4）同弦所对的圆周角相等.￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿（￿￿￿￿）预习反馈2.填空题:(1)如图所示,∠BAC=￿￿￿￿￿￿￿￿,∠DAC=￿￿￿￿￿￿￿￿￿.DABC∠DBC∠DBC∠BDC∠BDC●●O OACB(2)如图所示,⊙O的直径AB=10cm,C为⊙O上一点,∠BAC=30°,则BC=￿￿￿cm.￿￿￿￿5 5预习反馈3.如图,△ABC的顶点均在⊙O上,￿AB=4,￿∠C=30°,求⊙O的直径.￿￿￿●●O OACBE解：连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE所以∠E=30°,￿∠ABE=90°.由AB=4得直径AE=8.预习反馈●●O OB BBACDED DE EA AC当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,￿∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?课堂探究￿￿￿如图1,圆中一段￿￿￿￿￿￿￿￿￿对着许多个圆周角,这些个角的大小有什么关系?为什么?图图2由此你能得出什么结论?●●O OB BC CD DE EA A图图1 如图2,圆中￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿那么∠C和∠G的大小有什么关系?为什么?课堂探究如图,圆中∠C=∠G,￿那么￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿的大小有什么关系?为什么?由此你又能得出什么结论?课堂探究圆周角定理的推论1同弧或等弧所对的圆周角相等.用于找相等用于找相等的角的角定理：课堂探究1.如图(1)，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗?BCOA图图(1)2.如图(2)，圆周角∠BAC￿=90º，弦BC经过圆心O吗？为什么？由此你能得出什么结论由此你能得出什么结论?FE●BCA图图(2)O议一议议一议课堂探究用于判断某条弦是否是直径用于构造直角用于构造直角圆周角定理的推论2直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.课堂探究推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；推论2:直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.推论：课堂探究【规律方法】圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的相等关系可以互相转化.但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁.如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角相等.●●O ODABC例1.如图,AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?为什么?解析：BD=CD；理由：如图，连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC.又∵AC=AB，∴BD=CD.典例精析证明：如图，连接AD，AE.∠DAB=∠AED，￿∠EAC=￿∠ADE，￿∴￿∠AMN=∠ANM，∴AM=AN.∴△AMN为等腰三角形.●ODABCNME例2.如图，⊙O中,D，E分别是￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿的中点,￿DE分别交AB和AC于点M，N；求证:△AMN是等腰三角形.∵￿D,E分别是￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿的中点,典例精析定理：圆的内接四边形的对角互补定理拓展：任何一个外角都等于它的内对角。

CBADOEF∠D＋∠B＝180°∠A＋∠C＝180°∠EAB＝∠BCD∠FCB＝∠BAD对角对角外角外角内对角内对角典例精析又一种重要的辅助线FEDCBAO2O1如图，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过A点的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，经过B点的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F求证：CE∥DF有两个圆的题目常用的一种辅助线：作公共弦此图形是一个考试热门图形思考：若此题条件和结论不变，只是不给出图形，此题还能这样证明吗？ECBAO2O1FD典例精析1．要理解好圆周角定理的推论．要理解好圆周角定理的推论.2．构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法．构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法.引辅助线的方法：引辅助线的方法：（（1）构造直径上的圆周角）构造直径上的圆周角.（（2）构造同弧所对的圆周角）构造同弧所对的圆周角.3．要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角．要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一也是常用方法之一.本课小结1.（衡阳·中考）如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A=70o，∠C=50o，￿那么sin∠AEB的值为（￿￿￿￿）答案：答案：D D A. B. C. D. 随堂检测2.（荆门·中考）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，点P是直径MN上一个动点，则PA+PB的最小值为（￿￿￿）答案：答案：B BC．．1 D．．2A．．2B．．随堂检测3．（荆州·中考）△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，作△ABC的外接圆．如图，若弧AB的长为12cm，那么弧AC的长是（￿￿￿）A．10cm￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿B．9cm￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿C．8cm￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿D．6cm答案：答案：C C 随堂检测4.如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1,⊙O的弦AD交⊙O1于C,则(1)OC与AD的位置关系是__________________;￿(2)OC与BD的位置关系是___________;(3)若OC=2cm,则BD=______cm.OCOC垂直平分垂直平分ADAD平行平行4 4C DABOO1预习反馈5.如图，AE是⊙O的直径,￿△ABC的顶点都在⊙O上,AD是△ABC的高.求证：AB·AC=AE·AD.AOBCDE证明：连接EC.因为∠ADB=∠ACE=90°，∠AEC=∠ABD,故△ACE∽￿△ADB,所以即AB·AC=AE·AD.随堂检测。