2022学年南京师范大学附属中学高三第一次调研测试数学试卷（含解析）.doc

2022学年高考数学模拟测试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是（ ）A． B． C． D．2．设点，，不共线，则“”是“”（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件3．已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则|FA| =（ ）A．1 B．2 C．3 D．44．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）A． B． C． D．5．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为，，，且，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A． B． C． D．6．若复数满足，则（ ）A． B． C．2 D．7．已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）．A． B． C． D．8．已知函数．若存在实数，且，使得，则实数a的取值范围为（ ）A． B． C． D．9．已知实数满足线性约束条件，则的取值范围为（ ）A．(-2,-1］ B．(-1,4］ C．[-2,4) D．[0,4]10．在平面直角坐标系中，已知是圆上两个动点，且满足，设到直线的距离之和的最大值为，若数列的前项和恒成立，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．11．已知为虚数单位，实数满足，则 (　　 )A．1 B． C． D．12．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是(　　)A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为－0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若直线与直线交于点，则长度的最大值为____．14．数列满足，则，_____.若存在n∈N*使得成立，则实数λ的最小值为______15．已知、为正实数，直线截圆所得的弦长为，则的最小值为__________.16．若曲线（其中常数）在点处的切线的斜率为1，则________.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知函数（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；（2）求证： 18．（12分）已知，（其中）.(1)求；(2)求证：当时，．19．（12分）如图，四棱锥中，底面是矩形，面底面，且是边长为的等边三角形，在上，且面. （1）求证: 是的中点；（2）在上是否存在点，使二面角为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20．（12分）已知椭圆的长轴长为，离心率（1）求椭圆的方程；（2）设分别为椭圆与轴正半轴和轴正半轴的交点，是椭圆上在第一象限的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问与面积之差是否为定值？说明理由.21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（）.（1）求抛物线C的极坐标方程；（2）若抛物线C与直线l交于A，B两点，求的值.22．（10分）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，.（1）若，求证：平面；（2）若，求二面角的正弦值．2022学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、A【答案解析】先求出函数在处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数和的图象，利用数形结合进行求解即可.【题目详解】当时，，所以函数在处的切线方程为：，令，它与横轴的交点坐标为.在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是.故选：A【答案点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.2、C【答案解析】利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可.【题目详解】由于点，，不共线，则“”；故“”是“”的充分必要条件.故选：C.【答案点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.3、C【答案解析】方法一：设，利用抛物线的定义判断出是的中点，结合等腰三角形的性质求得点的横坐标，根据抛物线的定义求得，进而求得.方法二：设出两点的横坐标，由抛物线的定义，结合求得的关系式，联立直线的方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得，进而求得.【题目详解】方法一：由题意得抛物线的准线方程为，直线恒过定点，过分别作于，于，连接，由，则，所以点为的中点，又点是的中点，则，所以，又所以由等腰三角形三线合一得点的横坐标为，所以，所以．方法二：抛物线的准线方程为，直线由题意设两点横坐标分别为，则由抛物线定义得又 ① ②由①②得.故选：C【答案点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.4、A【答案解析】根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求.【题目详解】如图所示：设内切球球心为，到平面的距离为，截面圆的半径为，因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为，又因为，所以，又因为，所以，所以，所以截面圆的半径，所以截面圆的面积为.故选：A.【答案点睛】本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.5、B【答案解析】根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值．【题目详解】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点，即为三棱锥，且长方体的长、宽、高分别为，∴此三棱锥的外接球即为长方体的外接球，且球半径为，∴三棱锥外接球表面积为，∴当且仅当，时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为．故选B．【答案点睛】（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题．6、D【答案解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算.【题目详解】解：由题意知，，，∴，故选：D.【答案点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法.7、A【答案解析】先化简求出，即可求得答案.【题目详解】因为，所以所以故选：A【答案点睛】此题考查复数的基本运算，注意计算的准确度，属于简单题目.8、D【答案解析】首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果.【题目详解】，令，得，．其单调性及极值情况如下：x0+0_0+极大值极小值若存在，使得，则（如图1）或（如图2）．（图1）（图2）于是可得，故选：D.【答案点睛】该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.9、B【答案解析】作出可行域，表示可行域内点与定点连线斜率，观察可行域可得最小值．【题目详解】作出可行域，如图阴影部分（含边界），表示可行域内点与定点连线斜率，，，过与直线平行的直线斜率为－1，∴．故选：B．【答案点睛】本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题表示动点与定点连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．10、B【答案解析】由于到直线的距离和等于中点到此直线距离的二倍，所以只需求中点到此直线距离的最大值即可。

再得到中点的轨迹是圆，再通过此圆的圆心到直线距离，半径和中点到此直线距离的最大值的关系可以求出再通过裂项的方法求的前项和，即可通过不等式来求解的取值范围.【题目详解】由，得，.设线段的中点，则，在圆上，到直线的距离之和等于点到该直线的距离的两倍，点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆的圆心到直线的距离为，，，..故选：【答案点睛】本题考查了向量数量积，点到直线的距离，数列求和等知识，是一道不错的综合题.11、D【答案解析】 ，则 故选D.12、B【答案解析】根据散点图呈现的特点可以看出，二者具有相关关系，且斜率小于1.【题目详解】散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集，故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，且直线斜率小于1，故选B.【答案点睛】本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13、【答案解析】根据题意可知,直线与直线分别过定点,且这两条直线互相垂直,由此可知,其交点在以为直径的圆上,结合图形求出线段的最大值即可.【题目详解】由题可知,直线可化为,所以其过定点,直线可化为,所以其过定点,且满足,所以直线与直线互相垂直,其交点在以为直径的圆上,作图如下:结合图形可知,线段的最大值为,因为为线段的中点,所以由中点坐标公式可得,所以线段的最大值为.故答案为:【答案点睛】本题考查过交点的直线系方程、动点的轨迹问题及点与圆的位置关系;考查数形结合思想和运算求解能力;根据圆的定义得到交点在以为直径的圆上是求解本题的关键;属于中档题.14、 【答案解析】利用“退一作差法”求得数列的通项公式，将不等式分离常数，利用商比较法求得的最小值，由此求得的取值范围，进而求得的最小值.【题目详解】当时两式相减得所以当时，满足上式综上所述存在使得成立的充要条件为存在使得，设，所以，即，所以单调递增，的最小项，即有的最小值为.故答案为：(1). (2). 【答案点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查数列单调性的判断方法，考查不等式成立的存在性问题的求解策略，属于中档题.15、【答案解析】先根据弦长，半径，弦心距之间的关系列式求得，代入整理得，利用基本不等式求得最。