北京十年中考数学分类汇编《代数综合》含答案解析.pdf

第 1页（共 5页）北京十年中考数学分类汇编北京十年中考数学分类汇编代数综合代数综合1（2022北京）在平面直角坐标系 xOy 中，点（1，m），（3，n）在抛物线 yax2+bx+c（a0）上，设抛物线的对称轴为直线 xt（1）当 c2，mn 时，求抛物线与 y 轴交点的坐标及 t 的值；（2）点（x0，m）（x01）在抛物线上若 mnc，求 t 的取值范围及 x0的取值范围2（2021北京）在平面直角坐标系 xOy 中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线 yax2+bx（a0）上（1）若 m3，n15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点（1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上若 mn0，比较 y1，y2，y3的大小，并说明理由第 2页（共 5页）3（2020北京）在平面直角坐标系 xOy 中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线 yax2+bx+c（a0）上任意两点，其中 x1x2（1）若抛物线的对称轴为 x1，当 x1，x2为何值时，y1y2c；（2）设抛物线的对称轴为 xt，若对于 x1+x23，都有 y1y2，求 t 的取值范围4（2019北京）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx与 y 轴交于点 A，将点 A向右平移 2 个单位长度，得到点 B，点 B 在抛物线上（1）求点 B 的坐标（用含 a 的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点 P（，），Q（2，2）若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围第 3页（共 5页）5（2018北京）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y4x+4 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，抛物线 yax2+bx3a 经过点 A，将点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C（1）求点 C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围6（2017北京）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx24x+3 与 x 轴交于点 A、B（点 A在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C（1）求直线 BC 的表达式；（2）垂直于 y 轴的直线 l 与抛物线交于点 P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线 BC 交于点 N（x3，y3），若 x1x2x3，结合函数的图象，求 x1+x2+x3的取值范围第 4页（共 5页）7（2016北京）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 ymx22mx+m1（m0）与 x 轴的交点为 A，B（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点当 m1 时，求线段 AB 上整点的个数；若抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内（包括边界）恰有 6 个整点，结合函数的图象，求 m 的取值范围8（2015北京）在平面直角坐标系 xOy 中，过点（0，2）且平行于 x 轴的直线，与直线 yx1 交于点 A，点 A 关于直线 x1 的对称点为 B，抛物线 C1：yx2+bx+c 经过点 A，B（1）求点 A，B 的坐标；（2）求抛物线 C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线 C2：yax2（a0）与线段 AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求 a的取值范围第 5页（共 5页）9（2014北京）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y2x2+mx+n 经过点 A（0，2），B（3，4）（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点 B 关于原点的对称点为 C，点 D 是抛物线对称轴上一动点，且点 D 纵坐标为 t，记抛物线在 A，B 之间的部分为图象 G（包含 A，B 两点）若直线 CD 与图象 G 有公共点，结合函数图象，求点 D 纵坐标 t 的取值范围10（2013北京）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 ymx22mx2（m0）与 y 轴交于点 A，其对称轴与 x 轴交于点 B（1）求点 A，B 的坐标；（2）设直线 l 与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线 l 的解析式；（3）若该抛物线在2x1 这一段位于直线 l 的上方，并且在 2x3 这一段位于直线 AB 的下方，求该抛物线的解析式第 1页（共 16页）北京十年中考数学分类汇编北京十年中考数学分类汇编代数综合代数综合参考答案与试题解析参考答案与试题解析1（2022北京）在平面直角坐标系 xOy 中，点（1，m），（3，n）在抛物线 yax2+bx+c（a0）上，设抛物线的对称轴为直线 xt（1）当 c2，mn 时，求抛物线与 y 轴交点的坐标及 t 的值；（2）点（x0，m）（x01）在抛物线上若 mnc，求 t 的取值范围及 x0的取值范围【分析】（1）将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，再根据 mn 得出 b4a，再求对称轴即可；（2）再根据 mnc，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定 x0的取值范围【解答】解：（1）法一、将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，mn，a+b+c9a+3b+c，整理得，b4a，抛物线的对称轴为直线 x2；t2，c2，抛物线与 y 轴交点的坐标为（0，2）法二、当 mn 时，点 A（1，m），B（3，n）的纵坐标相等，由抛物线的对称性可得，抛物线的对称轴为 x，t2，c2，抛物线与 y 轴交点的坐标为（0，2）（2）mnc，a+b+c9a+3b+cc，解得4ab3a，3ab4a，即t2第 2页（共 16页）当 t时，x02；当 t2 时，x03x0的取值范围 2x03综上，t 的取值范围为：t2；x0的取值范围 2x03【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解2（2021北京）在平面直角坐标系 xOy 中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线 yax2+bx（a0）上（1）若 m3，n15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点（1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上若 mn0，比较 y1，y2，y3的大小，并说明理由【分析】（1）将点（1，3），（3，15）代入解析式求解（2）分类讨论 b 的正负情况，根据 mn0 可得对称轴在 x与直线 x之间，再根据各点到对称轴的距离判断 y 值大小【解答】解：（1）m3，n15，点（1，3），（3，15）在抛物线上，将（1，3），（3，15）代入 yax2+bx 得：，解得，yx2+2x（x+1）21，抛物线对称轴为直线 x1（2）yax2+bx（a0），抛物线开口向上且经过原点，当 b0 时，抛物线顶点为原点，x0 时 y 随 x 增大而增大，nm0 不满足题意，当 b0 时，抛物线对称轴在 y 轴左侧，同理，nm0 不满足题意，b0，抛物线对称轴在 y 轴右侧，x1 时 m0，x3 时 n0，即抛物线和 x 轴的 2 个交点，一个为（0，0），另外一个在 1 和 3 之间，抛物线对称轴在直线 x与直线 x之间，第 3页（共 16页）即，点（2，y2）与对称轴距离2（），点（1，y1）与对称轴距离（1），点（4，y3）与对称轴距离4（）y2y1y3解法二：点（1，m）和点（3，n）在抛物线 yax2+bx（a0）上，a+bm，9a+3bn，mn0，（a+b）（9a+3b）0，a+b 与 3a+b 异号，a0，3a+ba+b，a+b0，3a+b0，（1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上，y1ab，y24a+2b，y316a+4b，y3y1（16a+4b）（ab）5（3a+b）0，y3y1，y1y2（ab）（4a+2b）3（a+b）0，y1y2，y2y1y3【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据数形结合求解3（2020北京）在平面直角坐标系 xOy 中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线 yax2+bx+c（a0）上任意两点，其中 x1x2（1）若抛物线的对称轴为 x1，当 x1，x2为何值时，y1y2c；（2）设抛物线的对称轴为 xt，若对于 x1+x23，都有 y1y2，求 t 的取值范围【分析】（1）根据抛物线的对称性解决问题即可（2）由题意点（x1，0），（x2，0）连线的中垂线与 x 轴的交点的坐标大于，利用二次第 4页（共 16页）函数的性质判断即可【解答】解：（1）由题意 y1y2c，x10，对称轴为直线 x1，M，N 关于 x1 对称，x22，x10，x22 时，y1y2c（2）当 x1t 时，恒成立当 x1x2t 时，恒不成立当 x1tx2t 时，抛物线的对称轴为直线 xt，若对于 x1+x23，都有 y1y2，当 x1+x23，且 y1y2时，对称轴为直线 x，满足条件的值为：t解法二：y1y2，ax12+bx1+cax22+bx2+c，a（x12x22）b（x1x2），x1+x22t，当 x1+x23 时，都有 x1+x22t，2t3，t满足条件的值为：t【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题4（2019北京）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx与 y 轴交于点 A，将点 A向右平移 2 个单位长度，得到点 B，点 B 在抛物线上（1）求点 B 的坐标（用含 a 的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点 P（，），Q（2，2）若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函第 5页（共 16页）数图象，求 a 的取值范围【分析】（1）A（0，）向右平移 2 个单位长度，得到点 B（2，）；（2）A 与 B 关于对称轴 x1 对称；（3）a0 时，当 x2 时，y2，当 y时，x0 或 x2，所以函数与PQ 无交点；a0 时，当 y2 时，ax22ax2，x或 x当2 时，a；【解答】解：（1）A（0，）点 A 向右平移 2 个单位长度，得到点 B（2，）；（2）A 与 B 关于对称轴 x1 对称，抛物线对称轴 x1；（3）对称轴 x1，b2a，yax22ax，a0 时，当 x2 时，y2，当 y时，x0 或 x2，函数与 PQ 无交点；a0 时，第 6页（共 16页）观察图象可知，2，解得，a，当 a时，抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键5（2018北京）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y4x+4 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，抛物线 yax2+bx3a 经过点 A，将点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C（1）求点 C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点 B 的坐标，根据平移的性质可求点 C 的坐标；（2）根据坐标轴上点的坐标特征可求点 A 的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；（3）结合图形，分三种情况：a0；a0，抛物线的顶点段 BC 上；进行讨论即可求解【解答】解：（1）与 y 轴交点：令 x0 代入直线 y4x+4 得 y4，B（0，4），点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C，C（5，4）；（2）与 x 轴交点：令 y0 代入直线 y4x+4 得 x1，A（1，0），将点 A（1，0）代入抛物线 yax2+bx3a 中得 0ab3a，即 b2a，抛物线的对称轴 x1；（3）抛物线 yax2+bx3a 经过点 A（1，0）且对称轴 x1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过 A 的对称点（3，0），a0 时，如图 1，将 x0 代入抛物线得 y3a，抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，第 7页（共 16页）3a4，a，将 x5 代入抛物线得 y12a，12a4，解得 a；a0 时，如图 2，将 x0 代入抛物线得 y3a，抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，3a4，解得 a；当抛物线的顶点段 BC 上时，则顶点为（1，4），如图 3，将点（1，4）代入抛物线得 4a2a3a，解得 a1综上所述，a。