级数的收敛与发散ppt课件.ppt

第十二章 数项级数第一节 级数的收敛性第二节 正项级数第三节 一般项级数1一、问题的提出1. 1. 计算圆的面积计算圆的面积正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积第一节 级数的收敛性2二二 、级数的收敛与发散、级数的收敛与发散: :3解解4 收敛收敛 发散发散 发散发散 发散发散 综上综上5解解67定理12.1（柯西准则）级数 收敛的充要条件是：任给正数 ，总存在正整数，使得当以及对任意的正整数，都有：级数 发散的充要条件是：存在正数对任意存在正整数，总存在正整数有：和8例3 讨论调和级数的敛散性解：令时，有因此，取，即得调和级数发散9例4 应用级数收敛的柯西准则证明级数收敛证：使得当及对任意正整数，有：即证10三、基本性质结论结论: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .结论结论: : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .11证明证明 类似地可以证明在级数前面加上有限项不类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性影响级数的敛散性.12证明证明13注意注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 收敛收敛 发散发散14四、收敛的必要条件证明证明级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件: :15注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散则级数发散; ; 发散发散2.2.必要条件不充分必要条件不充分. .16讨论讨论178项4项2项2项 项由性质由性质4 4推论推论, ,调和级数发散调和级数发散. .18定义定义: :这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数. .定理定理12.512.5第二节 正项级数一、正项级数收敛性的一般判别原则19证明证明即部分和数列有界即部分和数列有界定理定理12.6（比较原则）（比较原则）20不是有界数列不是有界数列定理证毕定理证毕.比较原则的不便比较原则的不便:须有参考级数须有参考级数. 21解解由图可知由图可知22重要参考级数重要参考级数: : 几何级数几何级数, P-, P-级数级数, , 调和级数调和级数. .23证明证明24比较原则的极限形式比较原则的极限形式: :设设å å¥ ¥= =1nnu与与å å¥ ¥= =1nnv都是正项级数都是正项级数, , 如果如果则则(1) (1) 当当时时, , 二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; ; (2) (2) 当当时，若时，若收敛收敛, , 则则收敛收敛; ; (3) (3) 当当时时, , 若若å å¥ ¥= =1nnv发散发散, , 则则å å¥ ¥= =1nnu发散发散; ;25证明证明由比较原则的推论由比较原则的推论, 得证得证.26解解原级数发散原级数发散.故原级数收敛故原级数收敛.27二、比式判别法和根式判别法定理12.7（比式判别法）设为正项级数，且存在某正整数及常数（1）若对一切，成立不等式则级数收敛；（2）若对一切，成立不等式则级数发散。

28证明证明推论（比式判别法的极限形式）29收敛收敛发散发散30比式判别法的优点比式判别法的优点: 不必找参考级数不必找参考级数. . 两点注意两点注意:3132解解33比式判别法失效比式判别法失效, 改用比较原则改用比较原则34定理12.8（根式判别法）设为正项级数，且存在某正整数及常数（1）若对一切，成立不等式则级数收敛；（2）若对一切，成立不等式则级数发散35证明：由证明：由推论（根式判别法的极限形式），当取时，有由定理12.8即证36例5 研究级数的敛散性解： 由于所以级数收敛注：此时比式判别法失效因为：37三、积分判别法定理 12.9 设为上非负减函数，那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散证：由假设为上非负减函数，对任何正数在上可积，从而有38依次相加可得若反常积分收敛，则由上式左边，对任何正整数有：根据定理12.5，级数收敛39反之，若为收敛级数，则由（1）式右边，对任一正整数有因为为非负减函数，故对任何正数，都有结合（2）式及定理11.2得反常积分收敛 同理可证它们同时发散40例6 讨论P级数的敛散性解：函数，当时在上是非负减函数，由第十一章知反常积分在时收敛，时发散。

故由定理12.9得当时收敛，当时发散，至于的情形，则可由定理12.1推论知它发散.41例7 讨论下列级数的敛散性.解:研究反常积分,由于当时收敛，时发散故由定理12.9得(1)在时收敛，时发散.对于(2),考察反常积分,同样可推得级数(2)在时收敛，时发散42思考题思考题43思考题解答思考题解答由比较原则知由比较原则知 收敛收敛.反之不成立反之不成立.例如：例如：收敛收敛,发散发散.44第三节 一般项级数一、交错级数二、绝对收敛级数及其性质三、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法45一、交错级数及其判别法定义定义: : 正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数. .定理定理12.11(12.11(莱布尼茨莱布尼茨) ) 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件: :: :( (ⅰⅰ) )), 3 , 2 , 1(1L= =+ +nuunn;(;(ⅱⅱ) ), ,则级数收敛则级数收敛, ,且且其余项其余项nr的绝对值的绝对值1+ +￿ ￿nnur. .46证明证明47满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,定理证毕定理证毕.48例例 1 1 判别级数判别级数的收敛性的收敛性. .解解原级数收敛原级数收敛.49二、绝对收敛与条件收敛定义定义: : 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. .证明证明50上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数51例例 2 2 判别级数判别级数的收敛性的收敛性. .解解故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.52绝对收敛级数的两个重要性质1. 级数的重排定义:把正整数列到它自身的一一映射称为正整数列的重排,相应地对于数列按映射所得到的数列称为原级数的重排,相应也称级数是级数的重排.53则任意重排得到的级数也绝对收敛,且有相同的定理12.13 设级数绝对收敛,且其和等于和数.注:由条件收敛级数重排得到的新级数,即使收敛也不一定收敛于原来的和数,而且条件收敛收敛级数适当重排后,可得到发散级数,或收敛于任何事先指定的数.如：542. 级数的乘积设为收敛级数，他（1）与（2）中每一项所有可能的乘积列成下表：55这些乘积可以按各种方法排成不同的级数，常用的有按正方形顺序或按对角线顺序依次相加，于是分别有：和定理12.14 (柯西定理) 若级数(1)、（2）都绝对收敛，则对（3）中所有乘积按任意顺序排列所得到的级数也绝对收敛，且其和等于56三、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法引理（分部求和公式）设为两组实数，若令则有如下分部求和公式成立：证：以分别乘以整理后就得所要证的公式。

57推论 （阿贝耳引理）若（1）是单调数组；（2）对任一正整数有则记时，有：证：由（1）知都是同号的，于是由分部求和公式及条件（2）推得58以下讨论级数的收敛性59定理12.15 (阿贝尔判别法) 若为单调有界数列,且级数收敛,则级数收敛.定理12.16 (狄利克雷判别法) 若单调递减,又级数部分和数列有界,则级数收敛.且60例3 若数列具有性质:则级数和对任何都收敛.解:因为当时,故得到61所以级数的部分和数列当时有界,由狄利克雷判别法推得级数收敛.同理可证级数也是收敛的.特别地,级数和对一切都成立.62四、小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数判判敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;63。