《整式加减》例题讲解与同步练习.doc

整 式 加 减 　　整式的加减是全章的重点，是我们今后学习方程，方程组及分式，根式等知识的基础知识，我们应掌握整式加减的一般步骤，达到能熟练地进行整式加减运算 　　一、本讲知识重点 　　1．同类项：在多项式中，所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项几个常数项也是同类项 　　例如，在多项式3m2n+6mn2- mn2- m2n中，3m2n与- m2n两项都含字母m,n，并且m的次数都是2，n的次数都是1，所以它们是同类项；6mn2与- mn2两项，都含有字母m,n，且m的次数都是1，n的次数都是2，所以它们也是同类项 　　在判断同类项时要抓住“两个相同”的特点，（即所含字母相同，并且相同字母的次数也相同）并且不忘记几个常数也是同类项 　　2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项 　　合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变 　　例如：合并同类项3m2n+6mn2- mn2- m2n中的同类项： 　　原式=(3m2n- m2n)+( 6mn2- mn2) 　　　　=(3- )m2n+(6- )mn2　　　　= m2n+ mn2 　　合并同类项的依据是：加法交换律，结合律及分配律。

要特别注意不要丢掉每一项的符号 　　例如，合并下式中的同类项：-3x2y+5xy2-6xy2+4-7x2y-9 　　解：原式=-3x2y+5xy2-6xy2+4-7x2y-9(用不同记号将同类项标出，不易出错漏项) 　　　　　　=(-3x2y-7x2y)+(5xy2-6xy2)+(4-9)（利用加法交换律，结合律将同类项分别集中） 　　　　　　=(-3-7)x2y+(5-6)xy2-5（逆用分配律） 　　　　　　=-10x2y-xy2-5（运用法则合并同类项） 　　多项式中，如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，这两项就相互抵消，结果为0如：7x2y-7x2y=0，-4ab+4ab=0，-6+6=0等等 　　有时我们可以利用合并同类项的法则来处理一些问题，如，多项式2(a+b)2-3(a+b)2- (a+b)2-0.25(a+b)2中，我们可以把(a+b)2看作一个整体，于是可以利用合并同类项法则将上式化简：原式=(2-3- -0.25)(a+b)2=- (a+b)2，在这里我们将合并同类项的意义进行了扩展 　　3．去括号与添括号法则： 　　我们在合并同类项时，有时要去括号或添括号，一定要弄清法则，尤其是括号前面是负号时要更小心。

　　去括号法则：括号前面是“+”号，去掉括号和“+”号，括号里各项都不变符号；括号前面是“-”号，去掉括号和“-”号，括号里各项都改变符号即a+(b+c)=a+b+c；a-(b+c)=a-b-c 　　添括号法则：添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号即a+b+c=a+(b+c), a-b+c=a-(b-c) 　　我们应注意避免出现如下错误：去括号a2-(3a-6b+c)=a2-3a-6b+c，其错误在于：括号前面是“-”号，去掉括号和“-”号，括号里的各项都要改变符号，而上述作法只改变了3a的符号，而其它两项末变，因此造成错误正确做法应是：a2-(3a-6b+c)=a2-3a+6b-c又如在m+3n-2p+q=m+(　　 )中的括号内应填上3n-2p+q，在m-3n-2p+q=m-(　　 )中的括号内应填上3n+2p-q 　　4．整式加减运算： 　　（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接如单项式xy2, -3x2y, 4xy2,-5x2y的和表示xy2+(-3x2y)+4xy2+(-5x2y)，又如：a2+ab+b2与2a2+3ab-b2的差表示为(a2+ab+b2)-(2a2+3ab-b2) 　　（2）整式加减的一般步骤： 　　①如果遇到括号，按去括号法则先去括号； 　　②合并同类项 　　③结果写成代数和的形式，并按一定字母的降幂排列。

　　整式加减的结果仍是整式 　　从步骤可看出合并同类项和去括号、添括号法则是整式加减的基础 　　二、例题 　　例1、合并同类项 　　（1）(3x-5y)-(6x+7y)+(9x-2y) 　　（2）2a-[3b-5a-(3a-5b)] 　　（3）(6m2n-5mn2)-6( m2n- mn2) 　　解：（1）(3x-5y)-(6x+7y)+(9x-2y) 　　　　　　=3x-5y-6x-7y+9x-2y　（正确去掉括号） 　　　　　　=(3-6+9)x+(-5-7-2)y　（合并同类项） 　　　　　　=6x-14y 　　（2）2a-[3b-5a-(3a-5b)] （应按小括号，中括号，大括号的顺序逐层去括号） 　　　　=2a-[3b-5a-3a+5b]　 （先去小括号） 　　　　=2a-[-8a+8b]　（及时合并同类项） 　　　　=2a+8a-8b　（去中括号） 　　　　=10a-8b 　　（3）(6m2n-5mn2)-6( m2n- mn2) （注意第二个括号前有因数6） 　　　　=6m2n-5mn2-2m2n+3mn2　（去括号与分配律同时进行） 　　　　=(6-2)m2n+(-5+3)mn2　 （合并同类项） 　　　　=4m2n-2mn2 　　例2．已知：A=3x2-4xy+2y2，B=x2+2xy-5y2 　　求：（1）A+B　 （2）A-B　 （3）若2A-B+C=0，求C。

　　解：(1）A+B=(3x2-4xy+2y2)+(x2+2xy-5y2) 　　　　　　　　=3x2-4xy+2y2+x2+2xy-5y2（去括号） 　　　　　　　　=(3+1)x2+(-4+2)xy+(2-5)y2（合并同类项） 　　　　　　　　=4x2-2xy-3y2（按x的降幂排列） 　　（2）A-B=(3x2-4xy+2y2)-(x2+2xy-5y2) 　　　　　　=3x2-4xy+2y2-x2-2xy+5y2　（去括号） 　　　　　　=(3-1)x2+(-4-2)xy+(2+5)y2　（合并同类项） 　　　　　　=2x2-6xy+7y2　（按x的降幂排列） 　　（3）∵2A-B+C=0 　　∴C=-2A+B 　　　 =-2(3x2-4xy+2y2)+(x2+2xy-5y2) 　　　 =-6x2+8xy-4y2+x2+2xy-5y2　（去括号，注意使用分配律） 　　 　=(-6+1)x2+(8+2)xy+(-4-5)y2　（合并同类项） 　　　 =-5x2+10xy-9y2　（按x的降幂排列） 　　例3．计算： 　　（1） m2+(- mn)- n2+(- m2)-(-0.5n2) 　　（2）2(4an+2-an)-3an+(an+1-2an+1)-(8an+2+3an) 　　（3）化简：(x-y)2- (x-y)2-[ (x-y)2- (x-y)2] 　　解：（1） m2+(- mn)- n2+(- m2)-(-0.5n2) 　　　　　　= m2- mn- n2- m2+ n2　（去括号） 　　　　　　=( - )m2- mn+(- + )n2　（合并同类项） 　　　　　　=- m2- mn- n2　（按m的降幂排列） 　　（2）2(4an+2-an)-3an+(an+1-2an+1)-(8an+2+3an) 　　　　=8an+2-2an-3an-an+1-8an+2-3an　（去括号） 　　　　=0+(-2-3-3)an-an+1　（合并同类项） 　　　　=-an+1-8an 　　（3）(x-y)2- (x-y)2-[ (x-y)2- (x-y)2]　[把(x-y)2看作一个整体] 　　　　=(x-y)2- (x-y)2- (x-y)2+ (x-y)2　（去掉中括号） 　　　　=(1- - + )(x-y)2　（“合并同类项”） 　　　　= (x-y)2 　　例4求3x2-2{x-5[x-3(x-2x2)-3(x2-2x)]-(x-1)}的值，其中x=2。

　　分析：由于已知所给的式子比较复杂，一般情况都应先化简整式，然后再代入所给数值x=-2，去括号时要注意符号，并且及时合并同类项，使运算简便 　　解：原式=3x2-2{x-5[x-3x+6x2-3x2+6x]-x+1}　（去小括号） 　　　　　　=3x2-2{x-5[3x2+4x]-x+1}　（及时合并同类项） 　　　　　　=3x2-2{x-15x2-20x-x+1}　（去中括号） 　　　　　　=3x2-2{-15x2-20x+1}　（化简大括号里的式子） 　　　　　　=3x2+30x2+40x-2　（去掉大括号） 　　　　　　=33x2+40x-2 　　当x=-2时，原式=33×(-2)2+40×(-2)-2=132-80-2=50 　　例5．若16x3m-1y5和- x5y2n+1是同类项，求3m+2n的值 　　解：∵16x3m-1y5和- x5y2n+1是同类项 　　∴对应x,y的次数应分别相等 　　∴3m-1=5且2n+1=5 　　∴m=2且n=2 　　∴3m+2n=6+4=10 　　本题考察我们对同类项的概念的理解 　　例6．已知x+y=6，xy=-4，求: (5x-4y-3xy)-(8x-y+2xy)的值。

　　解：(5x-4y-3xy)-(8x-y+2xy) 　　 　=5x-4y-3xy-8x+y-2xy 　　　 =-3x-3y-5xy 　　　 =-3(x+y)-5xy 　　∵x+y=6，xy=-4 　　∴原式=-3×6-5×(-4)=-18+20=2 　　说明：本题化简后，发现结果可以写成-3(x+y)-5xy的形式，因而可以把x+y，xy的值代入原式即可求得最后结果，而没有必要求出x,y的值，这种思考问题的思想方法叫做整体代换，希望同学们在学习过程中，注意使用 　　三、练习 　　（一）计算： 　　（1） a-( a-3b+4c)+3(-c+2b) 　　（2）(3x2-2xy+7)-(-4x2+5xy+6) 　　（3）2x2-{-3x+6+[4x2-(2x2-3x+2)]} 　　（二）化简 　　（1）a>0，b<0，|6-5b|-|3a-2b|-|6b-1| 　　（2）1

　　（五）x2-3xy=-5，xy+y2=3，求x2-2xy+y2的值 　　练习参考答案： 　　（一）计算： 　　（1）- a+9b-7c　　（2）7x2-7xy+1　　（3）-4 　　（二）化简 　　（1）∵a>0, b<0 　　∴|6-5b|-|3a-2b|-|6b-1| 　　 =6-5b-(3a-2b)-(1-6b) 　　 =6-5b-3a+2b-1+6b=-3a+3b+5 　　（2）∵1