2023年全国硕士研究生考试考研数学一试卷真题及答案详解.pdf

2023年全国硕士研究生统一入学考试数学(一)试题一、选择题：1-10小题，每小题5 分，共 50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线y=xln(e+匚)的斜近线方程为：x-1A.y=x+eB.y=x+-eC.y=xD.y=x-e(2)已知微分方程，+即+=0 的解在(-8,+8)上有界，则 的 取 值 范 围 为A.a 0B.a 0,b 0C.a=0,h 0D.a=0,h 0未知，若6=工一乙|为C的一个无偏估计，则)A.近 B.叵 C.G D.历2 2二、填空题：1116小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.(11)当x-0时，函数/(%)=6 +加+ln(l+x)与g(x)=e，-c o sx是等价无穷小，则ab=(1 2)曲面z=x+2y+In(1+f +2)在点(0,0,o)处的切平面方程为_ _ _ _ _ _ _ _0 8(1 3)设/(x)为 周 期 为2的 周 期 函 数，且/(x)=l-x,x e 0,l,若/=寸+，则2 =82%=-n=lyTat=0 2(i =1,2,3)k；+抬+用=则_ _ _ _ _ _ _ _.(14)设连续函数/(x)满足f(x +2)-f(x)=x%协二=0,则 1 f (x)dx=_.(1)0-111(1 5)已 知 向 量 为=，%=o 生=-1 1 =1,)/=左 臼+左2a2+左3。

3 若U JI d、一 1J(1 6)则随机变量X与丫相互独立，X 6 0,；),Y 则尸X=y=.三、解答题：1722小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分12分)设曲线L:y=y(x)(x 0)经过点(1,2),L上任意一点P(x,y)到y轴的距离等于该点处的切线在y轴上的截距(1)求歹(x)(2)求函数/(x)=y )力 在(0,+oo)的最大值18 .（本题满分1 2 分）求函数/（x j）=3）3 一丁）的极值19 .（本题满分12 分）设空间有界区域由柱面f+/=i与平面z =0 和 x+z =l围成，Z为的边界曲面，取外侧，求/=挣 I xzdydz+xz cos ydzdx+3yz s i n xdxdy.z2 0.（本题满分12 分）设/（x）在-出句上具有2阶连续导数，证明：（D /（0）=0,则 存 在 门（一使 得/a（2）若/（x）在（一内取得极值，则存在（一凡0,使得|/（）户，？|/（0-/（一 0|2 1.已知二次型/（X ,x2,x3）=x,2+2%2 +2%3 +2 X（x2-2 xx3,满足对任意8 8 1，丫 2，丫 3）=+,+$+2歹 2%（1）求可逆变换x=/,将/（%,/3）化为g（yi，y2，y3）（2）是否存在正交变换,将/（百广2/3）化为g（%,y2，y3）2/2 2 2 2 .设二维随机变量（X,y）的概率密度为+y,x2+y2 0 0 K T 8X _ 1 .r-CO X _ 1=li m xln l+-=li m -=-e(x-1)e所以斜渐近线方程为：y x +-e(2)【答案】：C【解析】：微分方程y+ay+by=O的特征方程为A2+aA+b=0当=/-4 6 时，特征方程有2个不同的实数根儿人2,则儿人至少有一个不等于零,若，G都不为零，则微分方程的解y=Ge +c2e.在(T O,+00)无界当 =/=,特征方程有2个相等的实根，A.2 =_a_若G 4,则微分方程的解y=(&+ce 2在(-00,+00)无界.2 x i 1 C l ,y 4b Cl.当 =4 _ 4 b 0时，特征方程的根为儿2=一5 士-I予/d 4 b-.则通解为：V=e 2 (Ge os -x+C 2 s m-x)此时，要使微分方程的解在在(，+8)有界，则。

0,再由4 =/_46 0(3)【答案】：C【解析】：x=3t dy s i n/+/c o s/D当，0时，,，:二-歹二，s i nZ ax 3x=t dv当，v 0时，.=-s i nr-Z s i n/；y=-tsint dx当，=o 时，因为 (0)=l i m /(x)-/(0)=l i m 0X T0+x T O+3t 力、1-/(x)-/()1-/s i n,/l(0)=l i m g-J QN=l i m-=0X T(r X I T/t所以r()=c、1-r、，、v s m +r c o s z 八 八、2)l i m f(x)=hm-=0=/(0)X T 0+T 0+3-s i nZ-Z c o s/3=0=/(0)；所以l i”/(X)=/(0)=o ,所以尸(x)在X =0处连续,八,E“/”小、f(x-f(0)s i nr +/c o s z3)当，=0时，因为 f.(0)=l i m-=l i m-x-o*x t3*3t29Z (0)=l i m /一/=l i m 二*c o s t =X TX/T V t所 以/(0)不存在(4)【答案】:A8【解析】由条件知Z(,-可)为收敛的正项级数，进而绝对收敛;n=8设Z an绝对收敛，则由I bn|=|bn-an+an|bn-an +an,由比较判别法知,7 1=18得 绝 对 收 敛7 1=1设 绝 对 收 敛,则 由1*=&2+斗 悒 色+也 由 比 较 判 别 法 知,)绝对收敛/:=!?:=1(5)答案：B【解析】：对分块矩阵使用推广的初等行变换，注意到初等变换不改变矩阵的秩，如下:，E、0-C (A BE)O0)(A B,rE)I。

0 0、B C E)匕=C 1(A BE)=Oc、E ,A BO0、/、E=r(8)+”=%E-AB0EEABABE0AB、，EO0-(明 则有:nr E、ABABy0 )=n+r f A B=j/3，得”川(8)【答 案】：C【解析】：由X服从参数为1的泊松分布，得到EX=,E(|X =E部 一1|=丁+后 部-1)=/+e-_ 2kle【答案】：D【解 析】：注意到:4(T)S:(加T W(J2 X 侬 T),4、r,Iz=F2 s 2 F(n-1,/7 7T)(10)【答案】:A【解 析】：注 意 到：r=%L N(0,l),根 据：Ed=E(af-410)=0,则a=厂,爽yJ2EY2COIKI=2L y:d y =解出 a2n二、填空题：1116小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.ax+hx2+ln(l+x ln(l+x)-x+/)x2+x(a+l)(11)【解析】：注意到lim-；-L=lim-L=1,首先得到：a=-1,D E _ COS X*ro e*-1+1-cos xlin/(il +x)-x+Zk x 2I 2)另外根据等价无穷小替换，lim 一1-=lim=12。

ex-1+1-cosx 5 主得到：b=2,则ab=2(12)【解析】：切平面法向量为:,根据点法式方程，切平面方程为：z=x+2y(13)【解 析】由/(x)展 开 为 余 弦 级 数 知，/(、)为 偶 函 数，由 傅 里 叶 级 数 公 式 知ri-2an-2jo(l-x)cosH7TX6fr=2 2(cos/27r-l)所以=0Xa2=0n=(14)【解析】3=J,2/(xx+；/(x+2/(xx+Jo fx x+J；xdx=1(15)【解析】yTa=/3Ta=1 =3：a、+k2aa2+k3a/a3=1n 413+左 2左3O =1 n 占=；同理：&=-1，k 3 =一 所以k：+%；+%；=(1 6)【解析】由于 所以 x=0,1,Y 所以 y=0,1,2p X =Y=pX=Q,y=O X=l,1*(；)+栗出.三、解答题：1722小题，共 70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)【解析】(1)曲线L在点尸(x,y)处的切线方程为丫 一尸y(X-x),令X=0,切线在y轴上的截距为Y=y-肛，即，y=-1,解得y(x)=x(c-ln x),又经过点(1,2),所以c=2,y(x)=x(2-ln x)(2)由 知/(x)=(2 ln，)力，/(x)=x(2-ln x)=0,得到驻点x=e 2,由单调性知/(x)的最大值在驻点处取得，最大值/卜2)=；4-;.(18)f =-x(2y+3xy-5x3)=0 2 10【解析】/、；A 得驻点为(0,0),(LD,(不二?)，fy=2 y-x2-x=0 3 27*=f；=0 =一(2y+3 a一5/)_武3y一1 5/),北=-武2+3的/,=2,代 入(0,0),6=,=0 ,则C=f；,=2A C-B2=0,充分条件无法判断，利用定义法，当x-0时，取y-x2+kx3(k 0),/(x,y)=(y-x2)(y-x3)=fcc3x2+(左 一 l)x=kx，+o(x5),则lim 空里=lim 当三)=左,由极限的局部保号性：”0,x e(V,0)时，/(x,y)0,故在(0,0)处不取极值；代入(1,1),8 =/；=5,则.C-炉 0,且4 0所以在(2,3)处“X J)取极小值 士.3 2 7 3 3 2 7 7 2 9C=fyy=2(1 9)【解析】利用高斯公式得=J J J (2 z -xz sin y+3y sin x)dV=J J dxdy 2 z dz=J J (y-x)2dxdy=7 T +J J x2dxdy=+()Jor3cos2 9dr%5-JT4其 中 因 为Q关 于y oz对 称，被 积 函 数 是x的 奇 函 数 所 以/=J J J(xz sin y +3 y sin x)dP =0 ,QDx y:x2+y2i(2 0)【证明】(1)/(x)=/(0)+/(0)x+q /=/，(0)x+号l x*&介 于)与 之 间，则/(a)=/(0)a+/,&w(0,a),f(-a)=-f (0)+2,e(-t z,0),则2/()+/(-)=1-/(0 +/(),由/(X)在 -凡句上具有2阶连续导数，故/(x)在 区 芯 上具有2阶连续导数，所以/(x)在但3,上必存在最大值加和最小值加，使得加v g/G)+/4)W 由介 值 定 理 存 在 存 在 我 国 口 u (-a,a),使得尸=1/6)+/儡)=J /+/(F)，得证 设 /(%)在 x=x0 点 处取得极值，则/(%)=0 ,/(X)=./(/)+/(X o)(x-X。

)+?(X-X o)2 =/(X o)+介 五 与 0 之间，/(-)=f(x0)+/?2,)(_r_x 0)2,/72 G (a,/),f(a)=/(x0)+/x0)2,rj3e(-a,x0),I/()-/(-)1=1 (4 X)2 X)2 归 J 1 /(4)I(a X)2+1 7(%)I(a+X)2 3/7 e (-a,a),/(/7)=max|fq,fn)1，故f(a)/(-a)|=1|/(仇)|()2+1/(%)|(a+x)V L Z Z p h K x)2 +(a+x)2 v 2|/()|命题得证.（2 1）【解析】（1）利用配方法f(x1,x2,x3)=x+2 x；+2 x；+2 xt x2-2 xx3=(石+x2-x3)2+(x2+x3)2=z；+z；I-1、令2=0 1 1 X、o o I,p 0 0、8(%,丫2，丫3)=/+尺+*+2%=疗+(%+%)2 令2=o i i 儿N op贝 i j x=0e-1 Y 7 1i oJ o0 0)1 -11 1 y=0 10 1 J (00H p-10 yt 其中P=0 1J 1 0 0n 为所求矩阵.ijii0（2）由于if(x,x2,x3)=xT 1-1-102x=x/4 x,t r(A)=5)g(y,y2,y3)=y0 01 1 y=yTBy,tr(B)=31 1120100个二次型矩阵的迹不同，故两个二次型矩阵不相似，故不。