高等代数讲义123章.doc

第一章 多项式知识点考点精要一、一元多项式的概念与运算1、定义形式表达式 ( 1 )称为数域上的一元多项式，其中全属于数域，为非负整数数域上的一元多项式的全体称为数域上的一元多项式环，记为2、多项式的次数在( 1 )式中，如果，那么称为多项式（1）的首项，称为多项式（1）的次数，记为称为零次多项式称为零多项式，它是唯一不定义次数的多项式3、一元多项式的运算及性质1）加（减）法：设，是数域上的两个一元多项式2）乘法：设，是数域上的两个一元多项式2）性质（1）加法交换律： （2）加法结合律： （3）乘法交换律： （4）乘法结合律 （5）乘法对加法的分配律：（6）乘法消去律：如果 且，那么 4、多项式的次数定理 设（1）当时，则（2）（3）二、多项式的整除性1、带余除法（Euclid除法）设则存在唯一的使得 这里 或，称上式中为除的商，为除的余式2、整除的定义设如果存在使得称为整除记为否则称不能整除3、整除的性质（1），则；（2）若 ，则；（3）若，则为非零常数。

4）若则， 其中为任意多项式4、余数定理 用一次多项式去除所得的余式是一个常数即 则，且三、最大公因式1、最大公因式定义 设如果，满足：1）2）若与的任一公因式则称为与的最大公因式与的首项系数为1的最大公因式记为2、辗转相除法设如果则 3、设 则存在使得 4、互素1）定义 设若 则称互素2）充要条件 存在3）互素的性质（1）（2）（3）（4）四、因式分解及唯一性定理1、 可约与不可约数域上的次数的多项式如果能表示成数域上两个次数较低的多项式的乘积，那么就称为数域上的可约多项式，否则就称为不可约多项式一次多项式在任何数域上都是不可约多项式2、不可约多项式的基本性质1) 不可约,为中的任意多项式2) 不可约,或3、唯一分解定理 数域上每一个次数的多项式都可以唯一地分解成数域上一些不可约多项式的乘积所谓唯一性是说，如果有两个分解式那么必有并且适当调换因式的次序后有 这里是一些数域中的非零常数4、标准分解式 数域上每一个次数的多项式都有唯一标准分解式，其中是的首项系数，是互不相同的首项系数为1的不可约多项式，而是正整数。

5、重因式1) 定义 设是不可约多项式，如果而不能整除，那么称是的重因式2）如果不可约多项式是的重因式，那么它是的重因式3）是的重因式是与的公因式4）多项式没有重因式 与互素5）设多项式的标准分解式为：则六、多项式函数1、定义 是数域上的多项式，对于每一个都有与之对应，这就确定了数域上的一个函数关系，称为多项式函数2、多项式的根如果对于数域中的那么把称为的根数域上的次多项式，在数域上至多有个根（重根按重数计算） 3、代数基本定理 每个次数的复系数多项式在复数域内有一个根4、次复系数多项式恰有个复根；如果是实系数多项式的复根，则的共轭数也是实系数多项式的根，因此奇数次实系数多项式一定有实根5、有理多项式1) 如果一个非零的整系数多项式的系数互素，则称是一个本原多项式2）任何一个非零的有理系数多项式都可以表示成一个有理数和一个本原多项式得乘积，即 这种表示法除了相差一个正负号是唯一的3）引理（高斯定理）：两个本原多项式的乘积仍是本原多项式.4）定理：如果一个非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能够分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。

5）整系数多项式有理根的求法设是一个整系数多项式，是它的一个有理根，其中互素，则必有，特别的，当，的有理根都是整数，且是的因子6）整系数多项式可约性的判断（Eisenstein是判别法）设是一个整系数多项式，如果存在素数，使（1）不能整除； （2） ； （3） 不能整除.则在有理数域上不可约6、不同数域上的多项式多项式环可约性多项式的根上不可约多项式只能是一次多项式上次多项式在中有个根上不可约多项式有一次及含共轭复根的二次多项式 实系数多项式非实复根成对出现上有任意次的不可约多项式（艾森斯坦判别法）有理系数多项式在有理数域中未必有根（整系数多项式有理根的求法）典型题真题精解例1 证明: 等价于证明：充分性设，存在，使得，则=== 所以 必要性 若不能整除，设， ,则===由充分性的证明可知，，从而，由不能整除，得出，而，于是必有注：将拆成两部分之和，其中一部分能被整除，另一部分不能被整除，必得不能整除，这是证明不整除的方法之一例2 试证：证明：设=，=，则=由例1可知 ， 因为 故则 ，所以 ，所以 例3 设是素数，证明：证明：设 =，则由= (1)因是素数，故|， ，由例1，由(1)知得 |例4 已知 证明： ， 。

证明：由已知得 (2)(2)是关于,的方程组，得所以，但，所以类似的可以证明例5 设是大于1的正整数，证明：可推出证法一 带余除法设 , 其中为常数，于是== 因为，由整除性判别法，得=0，从而=0，故证法二：因是不可约分多项式，按不可约分多项式性质，由，得例6 若|，证明：，证明：因整除关系不因属于扩大而改变，故在复述域上仍有| 于是的个根都是的根设是的个不等于1的次单位根，故1，，且也是的根，则即又系数矩阵的行列式0 （范德蒙行列式）故 所以，例7 设，，且，证明：证明：令， （3）因为，由（3）得= = （4）令 ，由（3）得，，且，从而由（4）得，，，故，为首项系数为1的多项式，则，即注：由本题可得以下结论：1) ，则；2) ，则例8 设是整系数多项式，证明：若是奇数，则在上不可约，是有理数域证明：若是上可约多项式，于是在整数环上可约，设= 由= （5）= （6）因=是奇数，故都为奇数，由（5）知是奇数，因，为奇数知也为奇数，故是偶数，由（6）知是偶数矛盾，故在上不可约。

例9 设，证明：若对任意的，都有，则，这里证明：若=，有，结论成立，若，取，则所以，即0是的一个根，故可设，其中；取，而，则，即故 ，得由的任意性，得，所以注：按已知的条件，取一些特殊的值以发现的性质是解决这类问题的常用方法第二章 行列式 知识点考点精要一、排列1、基本概念定义1：由组成的一个有序数组称为一个级排列 定义2：排列中，若一对数前后位置与大小顺序相反，则称为一个逆序，一个排列中逆序总数称为该排列的逆序数 定义3：逆序数为偶（奇）数的排列称为偶（奇）排列2、性质 性质1 对换改变排列的奇偶性性质2 任一级排列与排列都可经过一系列对换而互变，并且所作对换个数与该排列有相同奇偶性性质3 级排列共有个，其中奇排列、偶排列的个数各有 个二、级行列式1、定义 这里是对所有的级排列求和要点：（1）级行列式是项的代数和； （2）每一项是取自不同行、不同列的个元素的乘积； （3）在行下表按自然顺序排列的前提下，每项的符号由列指标排列的逆序数的奇偶性确定；（4）行列式的值是一个数2、行列式的性质性质1 行列式的行列互换，行列式的值不变；性质2 数乘行列式某行（列）等于数乘此行列式； 性质3 如果行列式中某行(列)是两组数的和，那么行列式等于两个行列式的和；性质4 如果行列式中有两行（列）相同，行列式等于零；性质5 如果行列式中有两行（列）对应分量成比例，行列式等于零；性质6 把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列是不变；性质7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。

3、行列式按行（列）展开 设则下列公式成立：； 4、级行列式的计算1）、基本途径 （1）依据定义 （2）运用性质 （3）按行（列）展开（推广为拉普拉斯定理） 2）、常用方法和技巧(1）化为三角形行列式，对角形行列式，范德蒙行列式等已知结果的行列式 (2）递推法（降级法） (3）分拆法 (4）“加边”法（“升级”法） (5）其他方法5、几类常见特殊行列式的值1）奇级数反对称行列式的值为零，即 （为奇数）2）上（下）三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积，即3）次三角行列式的值等于适当添加正负号的次对角线上元素的乘积，即. 4）分块三角行列式可化为低级行列式的乘积，即 5) 范德蒙德（Vandermonde）行列式 三、行列式的一个应用----克拉默法则1、适用条件 个未知数个方程的线性方程组 即 其中 当 时，该方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表示为其中是把矩阵中第列换成方程组的常数项所成的矩阵的行列式， 即 ()克莱姆（Cramer）法则包含下面三个结论：（1）方程组有解；（2）解是唯一的；（3）解由公式 给出。

这三个结论是联系的2、个未知数个方程的齐次线性方程组，当，该方程组只有零解换句话说，若该方程组有非零解，则典型题真题精解例1 计算级行列式解：在中2个元素不为零，且处于不同行不同列故中不为零的项为由于，位于第1行第2列，故又，位于第2行第3列，故同理从而 .而行列式的其余各项中都至少有一个元素为零，所以其余各项均为零，故 例2 计算级行列式 .解：当时，；当时，；当时，把第一行的倍分别加到第行，行列式的值不变，得综上可得 例3 一个级行列式。