第1讲 长方体与正方体.pdf

第 1讲 长方体和正方体 模块 1 长方体与正方体基础： 1． 长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱 长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积： S 长方体 =2(ab+bc+ca)；长方体的体积： V 长方体 =abc 2．正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形 如果棱长为 a，那么： S 正方体 =6a2； V 正方体 =a3 例 1． 如图 ： 长方体 ABCD−EFGH中 ， 长 BA=a， 宽 AD=b， 高 AE=c， 完成下列各小题 ： （ 1）长方体中共有 个面，其中四边形 ABCD的对面是 ，四边形 ABFE的对面是 长方体共有 条棱其中与 AB相等的棱有 ，与 AD相等的棱有 ，与 AE相等的棱有 （ 2）四边形 ABCD 的面积是 ，四边形 ABFE 的面积是 ，四边形 ADHE 的面积是 ，长方体的表面积是 ，长方体的所有棱长和是 。

（ 3）图中的四边形 ABCD称为长方体的（下）底面，根据柱体的体积公式：体积 =底面积 ×高，可得 V 长方体= （ 4）当长、宽、高都等于 a时，该长方体就是一个正方体，此时表面积是 ，体积是 解： （ 1）长方体中共有 6个面，其中四边形 ABCD的对面是 EFGH，四边形 ABFE的对面是 DCGH 长方体共有 12条棱其中与 AB相等的棱有 CD、 EF、 HG，与 AD相等的棱有 BC、 EH、 FG，与 AE相等的棱有 BF、 CG、 DH （ 2）四边形 ABCD的面积是 ab，四边形 ABFE的面积是 ac，四边形 ADHE的面积是 bc，长方体的表面积是 2(ab+bc+ca)），长方体的所有棱长和是 4×(a+b+c) （ 3）图中的四边形 ABCD称为长方体的（下）底面，根据柱体的体积公式：体积 =底面积 ×高，可得 V 长方体=abc （ 4）当长、宽、高都等于 a时，该长方体就是一个正方体，此时表面积是 6a2，体积是 a3 模块 2 几何体的操作： H GFEDCBA几何体的切 、粘问题： 几何体切开后，总体积不变，总表面积增加增加了两个截面。

两个几何体粘合后，总体积不变，总表面积减少两个粘合面 1．三视图：每个面都与某个方向的视线垂直 将主视图 、俯视图、左视图画出来，丧试图的面积和乘以 2就是几何体的表面积，如果有凹槽，需要加上凹槽，再乘 2. 2．几何体 挖洞问题： 利用平移，分析上下、左右、前后是增加，减少还是不变 例 2．（ 1） 如图一个长方体 ABCD−EFGH， 长 AB=6， 宽 AD=5， 高 AE=4， 沿着竖直面 MNPQ切开变成两个小长方体，其中 AM=2， MB=4，那么两个小长方体的体积 之和是多少？表面积之和是多少？ 解： 体积之和是 V=6×5×4=120； 表面积之和 S=2×(6×5+5×4+6×4)+2×5×4=188. （ 2）如图长方体的长、宽、高分别是 10、 8、 5， 平行于长宽，分别竖直切 两刀，分成 9个小长方体，那么这 9个小长方体的表面积总共是多少？ 解： 原来的表面积是 S=2×(10×8+8×5+10×5)=340，切完之后表面积增加了 4×(8×5+10×5)=360， 所以现在的表面积等于 340+360=700 （ 3）如图一个棱长为 5的大正方体，分别在六个面的中心粘上一个棱长为 2的小正方体，构成的几何体的表面积是 。

解： 原来的大正方体的表面积 S=6×52=150，每个面粘上小正方体之后，每个面的地方表面积增加了 4×22=16， QPNMH GFEDCBA 所以现在的表面积等于 150+16×6=246 例 3．分别由 6、 6、 15个棱长为 1的小正方体堆叠成如图所示的几种例题图形，它们的表面积分别是多少？ 解： 图 1中，表面积等于 2×(4+4+5)=26； 图 2中，表面积等于 2×(5+4+4)=26； 图 3中，表面积等于 2×(8+7+10)=50. 例 4．在一个棱长为 5的正方体中，分别在角上、棱上、面上挖掉一个棱长为 2的小正方体，形成的几何体的表面积分别是多少？ 解： 原来的表面积等于 6×52=150， 图 1，在角上挖掉一个小正方体后 ，表面积不变，等于 150； 图 2，在棱上挖掉一个小正方体后，表面积等于 150+2×22=158； 图 3，在面上挖掉一个小正方体后，表面积等于 150+4×22=166 模块 3 水中浸物问题： 铁块浸没水中的三种情况： （ 1）铁块完全浸没： H 水 =H 原 +VS铁容 底； （ 2）铁块（柱体）部分浸没： H 水 = VSS水容 底 铁 底； （ 3） 水溢出： H 水 =H 容底 。

例 5．如图，一个长 30分米，宽 10分米，高 12分米的长方体玻璃缸，存有四分之三的水，请问： （ 1）将一个高 11分米，体积为 330立方分米的圆柱体铁块竖直放入玻璃缸，水面的高度为多少分米？ （ 2）如果再 竖直放入一个同样的圆柱，水面的高度又变成了多少分米？ （ 3）如果再竖直放入一个同样的圆柱，水面的高度又变成了多少分米？ 解： （ 1）容器的底面积 =30×10=300（ 平方分米 ） ，其中水的高度为 12×34 =9（分米）， 如果铁块完全浸没在水中，则水面上升 330÷300=1.1分米， 1.1+912分米，水溢出，水面高度就是 12分米 例 6．有一个底面积为 300平方厘米，高 10厘米的圆柱形容器，存有 6厘米深的水，现在将一个长、宽、高分别为 10厘米、 5厘米、 5厘米的长方体铁块放入容器内，水深变为多少厘米？ 解： 长方体的铁块的底面有三种方式，分别是 50平方厘米、 50平方厘米和 25平方厘米， 如果是按 50平方厘米的底面朝下放入水中，则铁块的高为 5厘米， 完全浸没计算，水面上升 10×5×5÷300=56 厘米，现在的水面高度为 556 厘米； 如果按 25平方厘米的底面朝下放入水中，铁块的高为 10厘米，只能是部分浸没， 水面高度为 300 6 66300 25 11  （厘米）。

随 堂 测 试 1．制作一个无盖的长方体纸盒，长、宽、高分别为 8厘米、 5厘米、 2厘米，纸盒的体积是多少立方厘米？需要多少平方厘米的纸？ 解： 纸盒的体积是 V=8×5×2=80立方厘米； 需要 S=8×5+2×(8×2+5×2)=92平方厘米的纸 2． 如图，一个长方体的长、宽、高分别是 9厘米、 6厘米、 5厘米，沿 水平方向 ，以及平行于宽的竖直方向切开，分成的小长方体的表面积总共是多少平方厘米？ 解： 原来的长方体的表面积是 S=2×(9×6+6×5+9×5)=258（平方厘米）， 切开之后，表面积增加 2×(9×6+6×5)=168（平方厘米）， 所以现在的表面积等于 258+168=426（平方厘米） 3．下图是有若干个棱长为 1的小正方体堆叠而成，求这个立体图形的体积和表面积 解： 先算表面积，从三个方向观察，得到的表面积是 S=2×(6+7+5)=36， 再算体积， V=2+2+4+1=9. 4．如图，一个棱长为 7的大正方体，分别在角上、棱上挖去一个棱长为 2的小正方体，然后在下面的棱上挖去一个长、宽、高分别为 7、 2、 2的长方体，那么现在的表面积是多少？ 解： 大正方体原来的表面积是 S=6×72=294， 在角上挖去一个小正方体之后，表面积没有变化； 在棱上挖去一个小正方体之后，表面积增加了 2×22=8； 最后在下面挖去一条之后，表面积表面积减少了 2×22=8； 所以现在的表面积是 294. 5．如图，一个长 9分米，宽 8分米，高 8分米的长方体玻璃缸，存有 4分米深的水，现在将一个棱长为 6分米的正方体放入缸底，那么水面高度变成多少分米？ 解： 按部分 浸没计算 ，水面高度为 H= 9 8 49 8 6 6   =8（分米）超过了铁块高度， 按完全浸没计算，水面上升了 h= 3698 =3（分米） ， 水面高度为 H=4+3=7分米 ，符合要求 。

所以水面高度为 7分米。