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1数学是科学的大门和钥匙.数学是科学的大门和钥匙.— 培根培根 主讲：冼军（数学与计算科学学院）博客：主讲：冼军（数学与计算科学学院）博客： Mathematics)2集 合 映 射小结思考题作业函 数集 合 映 射小结思考题作业函 数第一章函数与极限第一章函数与极限第一章函数与极限第一章函数与极限第一节映射与函数第一节映射与函数(function and limit)( set ) ( mapping )( function )第一章函数与极限第一章函数与极限31. 集合集合(set)概念与记号具有某种特定性质的事物的总体概念与记号具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该组成这个集合的事物称为该映射与函数映射与函数一、集合一、集合集合元素集合元素(简称元简称元)(集集)元素元素(element).集合的通常以大写字母集合的通常以大写字母L,,,MBA等表示集合等表示集合,以小写字母等表示集合的元素以小写字母等表示集合的元素.L,,,mba ;Aa∈ ∈Aa∉ ∉,的元素是若的元素是若Aa否则记记作否则记记作 .Aa∈ ∈,Aa属于则说 属于则说或或4映射与函数映射与函数集合分类⎩⎨⎧集合分类⎩⎨⎧有限集无限集有限集无限集只含有限个元素只含有限个元素;不是有限集的集合不是有限集的集合.列举法列举法表示集合方法有两种表示集合方法有两种 ⎩⎨⎧⎩⎨⎧ 描述法描述法把集合的全部元素一一列出来把集合的全部元素一一列出来, 例 考察由下列元素例 考察由下列元素9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 , 0,A可以用可以用列举法列举法将其表示成将其表示成 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 , 0列举法有很大的局限性列举法有很大的局限性.组成的集合组成的集合= =A}{外加花括号外加花括号.5xPx具有性质具有性质映射与函数映射与函数如:由不超过如:由不超过1010的奇数组成的集合的奇数组成的集合,其元素有其元素有50亿个亿个, 要把它们全部写出来要把它们全部写出来,且有很多集合且有很多集合, 其元素是很多纸张其元素是很多纸张!根本无法一一罗列出来根本无法一一罗列出来.得用很多时间得用很多时间,不可数的不可数的,更常用的是列出规定这个集合特定性质更常用的是列出规定这个集合特定性质P 的办法来表示集合的办法来表示集合, 就是就是 描述法.描述法.}{= =M花括号中竖线前的花括号中竖线前的x而竖线后而竖线后x是是M 中元素的通用符号中元素的通用符号,则是则是x 所具有的性质所具有的性质.Px具有性质具有性质可用可用列举法列举法表示为表示为}.032{2=−−=−−xxx0322=−−=−−xx的根组成的集合也可用的根组成的集合也可用描述法描述法表示为表示为{ {} },3 , 1− −例 由方程例 由方程6+ +映射与函数映射与函数注注对几个对几个常用的数集常用的数集规定记号如下数集的字母的数集内排除规定记号如下数集的字母的数集内排除0的集的集.∗ ∗“ ”+ +“ ”数集内排除数集内排除0与负数的集与负数的集.全体全体非负整数非负整数即自然数的集合即自然数的集合N};,,, 2, 1 , 0{LL n= =即即N,全体全体正整数正整数的集合为的集合为N+};,,, 2, 1{LLn= =全体全体整数整数的集合记作的集合记作 Z,即即Z};,,, 2, 1 , 0,1, 2,,,{LLLLnn− −− −− −= =右上角右上角标上标上:7映射与函数映射与函数全体全体有理数有理数的集合即的集合即Q;⎭⎬⎫⎩⎨⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ⎧= =qpZ,∈ ∈pN+∈ ∈q互质与且互质与且qp全体全体实数实数的集合的集合R＊＊为排除为排除0的实数集的实数集,R+为全体为全体正实数正实数的集的集.记作记作Q,记作记作R,全体全体复数复数的集合记作的集合记作C,即即CR,}1,{2− −= =∈ ∈+ += =ibabia8,Ax∈若的是∈若的是BA两个集合两个集合{ {} },2 , 1= =A.BA中的每一个元素都属于中的每一个元素都属于一般地一般地,BA⊂若⊂若.BA = =},2 , 1{= =A如如},023{2=+−==+−=xxxB.BA = =则则,Bx∈ ∈则必则必映射与函数映射与函数子集子集则称则称集合集合A与与B相等,相等,{ {} }4 , 3 , 2 , 1= =BBA⊂ ⊂记作则称记作则称2. 集合集合(set)的关系及集合的运算的关系及集合的运算(1) 集合的关系集合的关系子集子集, (读作读作A包含包含于于B)或或AB ⊃ ⊃(读作读作B包含包含A).集合相等集合相等,AB ⊂且⊂且记作记作9映射与函数映射与函数).(∅记作∅记作如如==+∈==+∈}01,{2xRxx∅∅空集.空集.不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为,BABA≠⊂且若≠⊂且若则称则称的是 的是BA真子集真子集记作记作A⊂ ⊂≠ ≠.B如如NZQR.⊂≠⊂⊂≠⊂≠ ≠⊂ ⊂≠ ≠真子集真子集,空集空集规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.今后在提到一个集合时今后在提到一个集合时,一般都是如不加特别声明一般都是如不加特别声明,非空集非空集.10映射与函数映射与函数2. 集合集合(set)的关系及集合的运算集合的基本运算有三种的关系及集合的运算集合的基本运算有三种:并集并集,交集交集,差集差集.即即 };{BxAxx∈ ∈∈ ∈= =或或记作设记作设A, B 是两个集合是两个集合,由所有属于由所有属于A 称为称为A与与B的的 并集并集,ABA∪∪BA∪∪B ,(2) 集合的运算集合的运算于于B元素元素或者属或者属组成的集合组成的集合,11映射与函数映射与函数称为称为A与与B的记作即的记作即};{BxAxx∈ ∈∈ ∈= =且且交集,交集,由所有既属于由所有既属于A由所有属于由所有属于A称为称为A与与B的的差集,差集,记作即记作即,BABA}.{BxAxx∉ ∉∈ ∈= =且且又属于又属于B元素元素ABAB集合的基本运算有三种集合的基本运算有三种:并并,交交,差差.A∩∩BA∩∩B,组成的集合组成的集合,而不属于而不属于B的元素的元素组成的集合组成的集合,两个集的并与交可推广到任意多个集两个集的并与交可推广到任意多个集推广推广 并与交并与交.12映射与函数映射与函数注注研究某个问题时所考虑的对象的全体记作研究某个问题时所考虑的对象的全体记作.CA例如,例如,{ {}{}}{},6 , 5 , 4 , 3,4 , 3 , 2 , 1= == =BA设设则则BA{ {} }.2 , 1= ={ {} },6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1= ={ {} },4 , 3= =余集余集或或补集.补集.A∪∪BA∩∩B并用并用I 表示表示,称为称为全集全集或或基本集,基本集,并把差积特别称为并把差积特别称为A的的AI例如,在实数集例如,在实数集R中中,集合集合}10{≤ ≤≤ ≤= =xxA的的余集余集= =CA10> > >δ δδ δ且是两个实数与设且是两个实数与设a,中心点 中心点a为半径为半径δ δ= =),(δ δaU}||{δ δ使得>使得用逻辑符号用逻辑符号, ∃ ∃∀ ∀和和将阿基米德公理改写将阿基米德公理改写: ∀ ∀. bna >使得>使得∃ ∃, 0,> >ba,Nn∈ ∈Any(每一个每一个)或或All(所有的所有的)的字头的字头A的倒写的倒写映射与函数映射与函数Exist(存在存在)的 字头的 字头E的倒写的倒写21符号符号“”⇒表示⇒表示“蕴含蕴含”,或或“推出推出”.符号符号“”⇔表示⇔表示“等价等价”,或或“充分必要充分必要”.5. 绝对值绝对值(absolute value)⎩⎨⎧>≤ ≤aaxaxa≤ ≤≤ ≤− −)0(>≥>≥aax. axax− −≤ ≤≥或≥或绝对值不等式绝对值不等式⇔⇔ ⇔⇔映射与函数映射与函数22映射与函数映射与函数X中所有元素的像所组成的集合记作中所有元素的像所组成的集合记作fR或或f 的的),(Xf或即或即= =fR= =)(Xf{ {} }.)(Xxxf∈ ∈称为在中学数学中所接触的称为在中学数学中所接触的函数函数实际是实际是: 实数集实数集(或其子集或其子集)到实数集的到实数集的映射映射.例如,映射例如,映射f :,RR→→,sin)(xxfy= == =正弦函数正弦函数值域值域, 像集像集,23映射与函数映射与函数二、映射二、映射1. 映射概念映射概念(mapping)定义定义设设X、、Y 是两个非空集合是两个非空集合,如果存在 一个法则如果存在 一个法则f ,使得对通过使得对通过f ,在在Y中有唯一 确定的元素中有唯一 确定的元素y 与之对应与之对应,则称则称f 为从为从X到到Y 的的映映(或或算子算子),记作记作 :f并称并称y为为x(在映射在映射f下下)的的像像,并记作并记作),(xf即即),(xfy = =,YX→→x称为称为y的的原像原像.,Xx∈ ∈∀ ∀射定义域射定义域即即,fD.XDf= =记记24对对,Xx∈ ∈∀ ∀元素元素x 的像的像y是是唯一唯一的的;映射与函数映射与函数而对而对,fRy∈∀元素∈∀元素y 的原像不一定是唯一的的原像不一定是唯一的;映射映射f 的值域的值域fR是是Y 的一个子集的一个子集,,YRf⊂即不一定⊂即不一定.YRf= =(2)注注(1)集合集合X, 即定义域即定义域;XDf= =集合集合Y, 即值域的范围即值域的范围:;YRf⊂对应法则⊂对应法则f ,使对使对,Xx∈ ∈有有唯一唯一确定的确定的)(xfy =与之对应=与之对应.①②③①②③三个要素三个要素:构成一个构成一个映射映射必须具备以下必须具备以下∀ ∀25映射与函数映射与函数设映射设映射:f.YX →→,YRf= =若若值域即值域即Y 中任一元素中任一元素y 都是都是X中某元素的像中某元素的像,则称则称f 是是满射满射.若若,21xx ≠ ≠必有必有),()(21xfxf≠ ≠则称则称f 是是单射单射.若映射若映射f 则称则称f 是是 一 一一 一映射映射(或(或双射双射).).2. 几类重要映射又是单射几类重要映射又是单射,,,21Xxx∈ ∈∀既是满射∀既是满射,26映射与函数映射与函数例例设设),,(1∞ ∞+ +− −∞ ∞= =X,2,22⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡−=π ππ πX),,(1∞ ∞+ +− −∞ ∞= =Y].1 , 1[2− −= =Y,:111YXf→→,:212YXf→→,:123YXf→→,:224YXf→→,sin)(xxfi= =, 1= =i对应关系对应关系: , 2, 3 4既既非满射非满射,又又非单射非单射;满射满射,非单射非单射;单射单射,非满射非满射;满射满射,单射单射,即为即为一一映射一一映射.对定义域内的任一对定义域内的任一x ,27映射与函数映射与函数(1) 如图如图,],1 , 0[= =X设设}.,),( {XxxyyxY∈ ∈= == =xOyxy = =x1令由令由X 到到Y 的对应关系为的对应关系为:fXx∈ ∈→→,),(Yxx∈ ∈则则f 是一个从是一个从X 到到Y 的映射的映射.满射满射,单射单射,即为即为一一映射一一映射.(2) },,,, 2, 1{LLnX = =设设}.,2,, 4, 2{LLnY = =令令nn2→→),, 2 , 1(L= =n则则f 是一个从是一个从X 到到Y 的映射的映射.:f满射满射,单射单射,即为即为一一映射一一映射.28映射与函数映射与函数2. 逆映射与复合映射逆映射与复合映射设有设有单射单射,:YXf→→则由定义则由定义,,fRy∈ ∈∀ ∀对对有有唯一。