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吉林省延吉市金牌教育中心高中数学 第三章 热点专题五 对称问题 新人教A版必修2在解析几何中，对称问题有两大类，一类是中心对称，一类是轴对称．1．中心对称．(1)两点关于点对称，设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点为P2(2a－x1,2b－y1)，即P为线段P1P2的中点．特别地，P(x，y)关于原点对称的点为P′(－x，－y)．(2)两直线关于点对称，设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另外一条直线上．必有l1∥l2，且P到l1，l2的距离相等．2．轴对称．(1)两点关于直线对称，设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上．(2)两直线关于直线对称，设l1，l2关于直线l对称．①三条直线l，l1，l2共点，且l上任意点到l1，l2的距离相等，并且l1，l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上；②l1∥l2∥l且l1到l的距离等于l2到l的距离．　已知直线l：y＝3x＋3，试求：(1)点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标；(2)直线y＝x－2关于直线l对称的直线l1的方程；(3)直线l关于点A(3,2)对称的直线方程．解析：(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则PP′的中点M在l上，且直线PP′垂直于l，即解得∴P′点的坐标为(－2,7)．(2)由已知，要求的直线l1过y＝3x＋3与y＝x－2的交点，设其方程为(y－3x－3)＋λ(y－x＋2)＝0.l上点(0,3)到y－x＋2＝0的距离d＝＝，l1的方程化为(1＋λ)y－(3＋λ)x＋2λ－3＝0，点(0,3)到l1的距离为d＝＝＝，∴2λ2＋8λ＋10＝λ2×2，解得λ＝－，∴符合条件的直线方程为－y－x－＝0，即7x＋y＋22＝0.(3)设直线l关于点A(3,2)对称的直线为l3，则直线l上任一点P(x1，y1)关于点A的对称点P3(x3，y3)一定在直线l3上，反之也成立．∴解得代入l的方程后，得3x3－y3－17＝0.即l3的方程为3x－y－17＝0.►跟踪训练8．求直线m：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l′的方程．解析：解法一：设直线l′上的动点P(x，y)，直线m上的点Q(x0,4－2x0)，且P、Q两点关于直线l：3x＋4y－1＝0对称，则有消去x0，得2x＋11y＋16＝0.解法二：由m：2x＋y－4＝0知A(2,0)，B(0,4)为m上的点，设A、B关于l的对称点为A′(a，b)、B′(a′，b′)，则有解得即A′.解得即B′.∴kl′＝＝－.∴l′的方程为y＋＝－，即2x＋11y＋16＝0.9．从点A(－4,1)出发的一束光线l，经过直线l1：x－y＋3＝0反射，反射光线恰好通过点B(1,6)，求入射光线l所在的直线方程．解析：设B(1,6)关于直线l1的对称点为B′(x0，y0)，则解得∴直线AB′的方程为＝，即3x－7y＋19＝0.∴直线l的方程为3x－7y＋19＝0.。