同余理论在中学数学中的应用.docx

    同余理论在中学数学中的应用    侯焱枥Summary：本文主要运用同余理论解决在中学数学中的所出现的一些实际问题，由具体的例子出发做出具体的解题方法，系统的阐述了同余理论的相关重要性质及其应用，特别是一些研究的思想方法同时同余理论在中学数学中是一个新知识点，应用同余理论解题可加深学生对解题的印象，同时也拓展学生的解题思维与能力，也可以方便学生的运算Key：同余理论;整除;余数;不定方程一、引言同余理论是初等数论中旳一个基本的核心理论同余理论包含了数论所特有的思想概念及其方法，是在掌握了整除后对整数的性质及应用做出进一步的研究，也是整除概念的拓展，同余这个概念最早是由德国的数学家高斯（C.F.Gauss1777-1855）所提出，同时在中国的《孙子算经》中也曾提出过“物不知其数”的问题，成为了世界上最早提出解同余式组的国家二、同余理论2.1同余的概念及其基本性质2.1.1同余的概念定义 给定一个正整数，把它叫做模，设，是两个整数，如果用正整数去除和所得的余数相等，则称与对于模同余，记作，读作同余模;若余数不相同，就称与关于模不同余，记作[1]例如 3除17余2，3除35也余2，即17与35对于模3是同余的，记作。

此外，同余的概念还可以用以下方式定义：（1）若，则与对于模同余;（2）若=+（为任意整数），则与对于模同余定理2.1整数，对于模同余的充分与必要条件是，即=+（为任意整数）2.1.2同余中的几个基本重要性质性质1 若，则性质2 若，，则（传递性）性质3 若，，则：（1）;（2）;（3）推论 若，则证 当时，是的倍数，从可知也是的倍数，所以则2.2同余理论中的定理2.2.1费马小定理若是素数，是正整数，那么证明 因为是素数，在中有个数与互质，所以;若，由欧拉定理得：若，则，故推论 若，则2.2.2中国剩余定理（孙子定理）若，并且是两两互素的个正整数，令，，，那么满足同余式组），，…，的正整数解是其中是同余式的正整数解且证明 由，，既得，固由同余式有解的充要条件知对每一，有一存在，使得：另一方面，因此，，故：即为的解若，是适合式的任意两个整数，则：，，因，于是，故的解只有，证完2.3欧拉函数与简化剩余系定义 欧拉函数是定义在正整数上的函数，它在正整数上的值等于序列中与互质的数的个数，即表示不大于而与互质的正整数的个数定义 如果一个模的剩余类里面的数与互质，就把它叫做一个与模互质的剩余类在与模互质的剩余类中，从每一类各取一个数所做成的数的集合，叫做模的一个简化剩余系[1]。

简化剩余系的特点：有个整数，两两不同余，任一数与互质推论 在简化剩余系中若，是两个互质的正整数，则：定理 设，则，其中为一个数的标准分解式证明 由推论既得：今将证由的定义知等于从减去中与不互质的数的个数由于是质数，故等于从减去中被整除的数的个数，由整数的可除性知中被整除的数的个数是，所以，所以由，既得：2.4一次同余式与一次同余式组定义 如果表示多项式，其中是正整数;再设是一正整数，则：叫做模的同余式定义 同余式中含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次的称为一元一次同余式定理 一次同余式，有解的充要条件是且其中为解的个数，且同余式最后的解为：证明 设，若有解，则由定理1.1知适合的解可表示为：，，，此式对模来说可以写成：，，但，是对模两两不同余的，故有个解定义 几个一次同余式联立，称为一次同余式组例：三、同余理论在中学数学中的应用3.1用于求解一次同余式例1 解同余式则解 由于，且，所以该方程无解例2 求一次同余方程：分析由定理得：，且，所以同余式有且有两个解，同时可化简为，从而迅速求得解∵∴一次同余方程有两个解则可化简为：，由同余的性质可得，即，解得：，且一次同余方程的另一解为：对于简单的一次同余方程，可根据同余的性质直接求解出来。

但对于数字较大的一次同余方程即可转化为方程：即，且有解的充要条件为，并且解为，，例3 解同余式分析 由于同余式所涉及到的数字比较大，直接求解难度比较大，本题可把化为方程：的形式来求解解∵，∴同余式有个解考虑方程：即：解得（令：）则=令，则∴，则同余式的解为：∴，，，，，，，，3.2用于求解一次同余式组对于求解同余式组，我国早在孙子算经中就提出了”物不知其數，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”的问题[1]例4设上述题的问物几何为，则问题转化为解同余式组：分析在这里，，，，，，，，=，=解∵，，又∵，，∴，，∴，即为或3.3用于求解质数例5 求从到中与互质的整数分析与不互质的为，，的倍数，根据初等的方法同样可以把与互质的数的个数求解出来，但求解起来比较麻烦，若把分解为标准分解式得：，则根据定理很快就能解出答案解 因为=，所以根据定理有：=，所以与互质的数的个数3.4用弃九法检查加法和乘法中的错误用一般的算数方法判断一个较大算数中是否有加法和乘法的计算错误是很麻烦的事，但采用同余中的弃九法检查计算中加法和乘法的正确性却是方便的例如以下给定的加法：将各数的各位数字相加之后再相加，左边有：即：;右边有：，根据弃九法，左边得：，右边得：，由于左边和右边检验的数不相同，即上式的加法计算错误。

同样这一方法也适用于乘法，如：由弃九法左端有：，右端有：，即上式的乘法计算错以上检查办法只当时，方能使用.这种办法若检查出被乘数与乘数之积与所给数关于9同余，此时无法决定乘法是否正确例如：，，但引理3.1，对都成立[2]3.5平方和问题引理3.2若正整数和均是两个数的平方和，则也是两个数的平方和，于是任意有限个两个数的平方和之积仍是两个数的平方和[3]定理3.1若，且没有平方因数，则能表成两个整数的平方和的充要条件是没有形如的质因数证明 若没有形如的质因数，则只有的质因数或质因数，由定理知每个+1型的质因数都可写成两个数的平方和，以及，知的质因数都是两个数的平方和设，，则也是两个数的平方和，则例8 判断与是否为二平方和，若为平方和，则是那两个数的平方和？解 ①由定理知可分解为，则无平方因子部分为，由于，，即，则由定理可知没有形如的质因数，所以为二平方和∵，∴=則②因为素数且，所以由定理知不是二平方和Reference：[1]闵嗣鹤，严士健.初等数论[M].北京：高等教育出版社，2003（12）：48-76[2]李永新，公务员考试专用教材[M].人民日报出版社，2015：5[3][美]杜德利著，周仲良译[M].哈尔滨工业大学出版社，2011（3）：28-389-123新教育论坛2020年12期新教育论坛的其它文章成长全面打造校园文化促进教育均衡发展浅谈中学生幸福感与解释风格的关系新媒体环境下电视新闻传播的功能分析高等教育中普及劳动法教学的探析高中语文朗读教学的价值及方法探思  -全文完-。