人教版数学九年级上册第5讲 二次函数(3)基础、提高、满分练习试题（含解析）.docx

第5讲 二次函数（三）利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：　　(1)建立适当的平面直角坐标系；　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.1.列二次函数关系【例题精选】例1（2020•昌图县校级一模）把160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数关系式为（　　）A．y＝320（x﹣1） B．y＝320（1﹣x） C．y＝160（1﹣x2） D．y＝160（1﹣x）2【分析】由原价160元可以得到第一次降价后的价格是160（1﹣x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为160（1﹣x）（1﹣x），由此即可得到函数关系式．【解答】解：第一次降价后的价格是160（1﹣x），第二次降价为160（1﹣x）（1﹣x）＝160（1﹣x）2则y与x的函数关系式为y＝160（1﹣x）2．故选：D．【点评】此题考查从实际问题中得出二次函数解析式，需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，所以会出现自变量的二次，即关于x的二次函数．例2（2019•山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象﹣抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点．拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（　　）A．y＝x2 B．y＝﹣x2 C．y＝x2 D．y＝﹣x2【分析】直接利用图象假设出抛物线解析式，进而得出答案．【解答】解：设抛物线的解析式为：y＝ax2，将B（45，﹣78）代入得：﹣78＝a452，解得：a＝﹣，故此抛物线钢拱的函数表达式为：y＝﹣x2．故选：B．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确假设出抛物线解析式是解题关键．【随堂练习】1．（2019秋•永嘉县期中）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（　　）A．y＝x2+a B．y＝a（1+x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝a（1﹣x）2【解答】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆，则y＝a（1+x）2．故选：B．2．（2019秋•庐阳区校级月考）某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（　　）A．y＝a（1﹣x）2 B．y＝a（1+x）2 C．y＝ax2 D．y＝x2+a【解答】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆，则y＝a（1+x）2．故选：B．2．实际问题【例题精选】例1（2019秋•庐阳区校级期中）如图，从某建筑物9米高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面12米，建立平面直角坐标系，如图．（1）求抛物线的解析式；（2）求水流落地点B离墙的距离OB．【分析】（1）根据抛物线上点的坐标特点确定二次函数的解析式；（2）根据（1）中求得的二次函数解析式即可求解．【解答】解：（1）根据题意，得A（0，9），顶点M（1，12），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+12，把A（0，9）代入，得a＝﹣3，所以抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣1）2+12＝﹣3x2+6x+9．答：抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9．（2）当y＝0时，0＝﹣3x2+6x+9解得x1＝3，x2＝﹣1所以B（3，0）．答：水流落地点B离墙的距离OB为3米．【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是根据抛物线上点的坐标特点求解析式．例2（2019秋•香坊区校级月考）如图，某养殖场在养殖面积扩建中，准备将总长为78米的篱笆围成矩形ABCD形状的鸡舍，其中AD一边利用现有的一段足够长的围墙，其余三边用篱笆，且在与墙平行的一边BC上开一个2米宽的门PQ．设AB边长为x米，鸡舍面积为y平方米．（1）求出y与x的函数关系式；（不需写自变量的取值范围）（2）当鸡舍的面积为800平方米时，求出鸡舍的一边AB的长．【分析】解：（1）设AB边长为x米，鸡舍面积为y平方米，由题意得：y＝ABAD＝x（78+2﹣2x）＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x；（2）由题意得：y＝﹣2x2+80x＝800，解得：x＝20，答鸡舍的一边AB的长为20米．【解答】解：（1）设AB边长为x米，鸡舍面积为y平方米，由题意得：y＝ABAD＝x（78+2﹣2x）＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x；（2）由题意得：y＝﹣2x2+80x＝800，解得：x＝20，答鸡舍的一边AB的长为20米．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．面积最大的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．【随堂练习】1．（2019秋•淮南期中）某地网红秋千在推出后吸引了大量游客前来，其秋千高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示，已知秋千在静止时的高度为0.6m．根据图象，当推出秋千3s后，秋千的高度为（　　）A．10m B．15m C．16m D．18m【解答】解：观察图象可知：当推出秋千3s后，秋千的高度为15m．故选：B．2．（2019秋•江岸区校级月考）一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m，该运动员身高1.9m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手球出手时，他跳离地面的高度是（　　）A．0.1m B．0.2m C．0.3m D．0.4m【解答】解：∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5．由图知图象过以下点：（1.5，3.05）．∴2.25a+3.5＝3.05，解得：a＝﹣0.2，∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5．设球出手时，他跳离地面的高度为hm，因为y＝﹣0.2x2+3.5，则球出手时，球的高度为h+1.9+0.25＝（h+2.15）m，∴h+2.15＝﹣0.2（﹣2.5）2+3.5，∴h＝0.1（m）．故选：A．3．（2019•铜仁市模拟）赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度AB为20m时，水面与桥拱顶的高度DO等于（　　）A．2m B．4m C．10m D．16m【解答】解：根据题意B的横坐标为10，把x＝10代入y＝﹣x2，得y＝﹣4，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即水面与桥拱顶的高度DO等于4m．故选：B．4．（2019•宝安区二模）如图，小明想用长为12米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是（　　）平方米．A．16 B．18 C．20 D．24【解答】解：设AB＝x，则BC＝12﹣2x得矩形ABCD的面积：S＝x（12﹣2x）＝﹣2x2+12＝﹣2（x﹣3）2+18即矩形ABCD的最大面积为18平方米故选：B．3．二次函数与几何综合【例题精选】例1（2020•雨花区校级模拟）如图1，已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0）．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）设点P是抛物线上的动点，若在此抛物线上有且只有三个P点使得△PAB的面积是定值S，求这三个点的坐标及定值S．（3）若点F是抛物线对称轴上的一点，点P是（2）中位于直线AB上方的点，在抛物线上是否存在一点Q，使得P、Q、B、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存请说明理由．【分析】（1）将交点坐标代入解析式可求解；（2）设AB上方的抛物线上有点P，过点P作AB的平行线交对称轴于点C，且与抛物线只有一个交点为P，设区PC解析式与抛物线解析式组成方程组，由△＝0，可求PC解析式，可求点P坐标，由等底等高的三角形面积相等，可得另两个点所在直线与AB，PC都平行，且与AB的距离等于PC与AB的距离，可求PE的解析式，即可求解；（3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0）．∴∴∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+6，∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，∴顶点坐标为（2，8）（2）∵点A（0，6），点B（6，0），∴直线AB解析式y＝﹣x+6，当x＝2时，y＝4，∴点D（2，4）如图1，设AB上方的抛物线上有点P，过点P作AB的平行线交对称轴于点C，且与抛物线只有一个交点为P，设直线PC解析式为y＝﹣x+b，∴﹣x2+2x+6＝﹣x+b，且只有一个交点，∴△＝9﹣4（b﹣6）＝0∴b＝，∴直线PC解析式为y＝﹣x+，∴当x＝2，y＝∴点C坐标（2，），∴CD＝∵﹣x2+2x+6＝﹣x+，∴x＝3，∴点P（3，）∵在此抛物线上有且只有三个P点使得△PAB的面积是定值S，∴另两个点所在直线与AB，PC都平行，且与AB的距离等于PC与AB的距离，∴DE＝CD＝，∴点E（2，﹣），设PE的解析式为y＝﹣x+m，∴﹣＝﹣2+m，∴m＝∴PE的解析式为y＝﹣x+，∴﹣x2+2x+6＝﹣x+，∴x＝33，∴点P（3+3，﹣﹣3），P（3﹣3，﹣+3），∴S＝6（﹣3）＝．（3）设点Q（x，y）若PB是对角线，∵P、Q、B、F为顶点的四边形是平行四边形∴BP与FQ互相平分，∴∴x＝7∴点Q（7，﹣）；若PB为边，∵P、Q、B、F为顶点的四边形是平行四边形，∴BF∥PQ，BF＝PQ，或BQ∥FP，BQ＝PF，∴xB﹣xF＝xP﹣xQ，或xB﹣xQ＝xP﹣xF，∴xQ＝3﹣（6﹣2）＝﹣1，或xQ＝6﹣（3﹣2）＝5，∴点Q（﹣1，）或（5，）；综上所述，点Q（7，﹣）或（﹣1，）或（5，）．【点评】本题是。