2019-2020学年新教材高中数学 模块复习课学案 新人教B版第三册.doc

模块复习课一、弧度制与任意角的三角函数1.角的概念经过推广以后，包括正角、负角、零角．2.按角的终边所在位置可分为象限角和坐标轴上的角(又叫象限界角)．3.与角α终边相同的角可表示为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．4．角度制与弧度制的换算关系是180°＝π.5．扇形弧长公式是l＝αr，扇形面积公式是S＝lr.6．三角函数在各象限的符号可简记为一全正，二正弦，三正切，四余弦．7．同角三角函数的基本关系式是sin2α＋cos2α＝1，tan α＝.8．三角函数的诱导公式都可表示为±α，k∈Z的形式，可简记为奇变偶不变，符号看象限．二、三角函数的图像与性质1.正弦函数(1)定义域R，值域[－1,1]，最小正周期2π.(2)单调增区间：k∈Z；单调减区间：k∈Z.2.余弦函数单调增区间：[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z；单调减区间：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.3.正切函数(1)定义域：.(2)单调增区间：，k∈Z.4．对于y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)，应明确A，ω决定“形变”，φ，k决定“位变”，A影响值域，ω影响周期，A，ω，φ影响单调性．针对x的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．5．由已知函数图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式时常用的解题方法是待定系数法．由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ.但由图像求得的y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一的解．否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．三、平面向量的数量积1.两个向量的夹角已知两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．(1)两个向量的夹角的取值范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉．(2)当〈a，b〉＝时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.2.向量数量积的定义一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos 〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，即a·b＝|a||b|·cos 〈a，b〉．(1)当〈a，b〉∈时，a·b＞0; 当〈a，b〉＝时，a·b＝0；当〈a，b〉∈时，a·b<0.(2)两个非零向量a，b的数量积的性质：不等式|a·b|≤ |a||b|恒等式a·a＝a2＝|a|2，即|a|＝向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝03.向量的投影与向量数量积的几何意义(1)设非零向量b所在的直线为l，向量a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影．(2)一般地，如果a，b都是非零向量，则|a|cos 〈a，b〉为向量a在b上的投影的数量．(3)两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．四、向量的运算律与坐标运算1.向量的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a，a·b＝b·a .(2)结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，a－b－c＝a－(b＋c)．(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) .(3)分配律(λ＋u)a＝λa＋ua，λ(a＋b)＝λa＋λb，(a＋b)·c＝a·c＋b·c.2.向量的坐标运算已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，a·b＝x1x2＋y1y2，|a|＝，a2＝x＋y，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 .五、三角恒等变换1.和角公式(1)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β .(2)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β_.(3)tan(α±β)＝.2.辅助角公式f(x)＝asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)．3.倍角公式(1)sin 2α＝2sin_αcos_α，(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，(3)tan 2α＝.4．半角公式sin ＝± ，cos ＝± ，tan ＝±＝＝ .5．积化和差公式cos αcos β＝ [cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－ [cos(α＋β)－cos(α－β)]；sin αcos β＝ [sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝ [sin(α＋β)－sin(α－β)]．6．和差化积公式sin x＋sin y＝2sin cos ；sin x－sin y＝2cos sin ；cos x＋cos y＝2cos cos ；cos x－cos y＝－2sin sin .1.钝角是第二象限角． (√)[提示]　钝角的范围是大于90°而小于180°，始边与x轴正半轴重合时，终边落在第二象限，因此钝角是第二象限角．2.不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关． (×)[提示]　根据角度、弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关，所以错误．3.已知α是三角形的内角，则必有sin α>0. (√)[提示]　当α为三角形的内角时，0°<α<180°，由三角函数的定义知sin α>0.4．三角函数线的长度等于三角函数值． (×)[提示]　三角函数线表示轴上的向量，不仅有大小，也有方向，三角函数线的方向表示三角函数值的正负．5．对任意角α，＝tan 都成立． (×)[提示]　由正切函数的定义域知α不能取任意角，所以错误．6．若cos α＝0，则sin α＝1. (×)[提示]　由同角三角函数关系式sin2α＋cos 2α＝1知，当cos α＝0时，sin α＝±1.7．诱导公式中角α是任意角． (×)[提示]　正余弦函数的诱导公式中，α为任意角但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义．8．若sin <0，且cos >0，则θ是第一象限角． (×)[提示]　由题意得 ，所以θ为第二象限角．9．画正弦函数图像时，函数自变量通常用弧度制表示． (√)[提示]　在平面直角坐标系中画y＝sin x(x∈R)的图像自变量x为实数，通常用弧度表示．10．函数y＝3sin(2x－5)的初相为5. (×)[提示]　在y＝3sin(2x－5)中x＝0时的相位φ＝－5称为初相，故初相为－5.11.由函数y＝sin 的图像得到y＝sin x的图像，必须向左平移． (×)[提示]　由函数y＝sin 的图像得到y＝sin x的图像，可以把y＝sin 的图像向右平行移动 得到y＝sin x的图像．12.函数y＝sin x，x∈ 的图像与函数y＝cos x，x∈ [0,2π]的图像的形状完全一致． (√)[提示]　由正、余弦曲线可知它们的图像形状一致．13.将函数y＝sin x的图像向左平移 个单位，得到函数y＝cos x的图像． (√)[提示]　函数y＝sin x的图像向左平移 个单位，得到函数y＝sin 的图像，因为y＝sin x＋＝cos x，故正确．14．正切函数在整个定义域上是增函数． (×)[提示]　正切函数的定义域为 k∈Z，只能说正切函数在每一个开区间 ，k∈Z上为增函数，不能说它在整个定义域上为增函数．15．若sin α＝ ，且α∈ ，则α可表示为α＝＋arcsin . (×)[提示]　∵α∈ ，∴π－α∈ .∵sin α＝sin(π－α)＝ ，∴π－α＝arcsin ，∴α＝π－arcsin .16．已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，若a∥b，则必有a1b2＝a2b1. (√)[提示]　若a∥b，则a1b2－a2b1＝0即a1b2＝a2b1.17．若a·b＝b·c，则一定有a＝c. (×)[提示]　当b＝0时，满足a·b＝b·c，但不一定有a＝c.18．若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0. (×)[提示]　当a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，且a，b为非零向量时，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.19．对于任意实数α，β，cos(α＋β)＝cos α＋cos β都不成立． (×)[提示]　当α＝ ，β＝－ 时，cos(α＋β)＝1，cos α＋cos β＝1，此时cos(α＋β)＝cos α＋cos β.20．对于任意α∈R，sin ＝ sin α都不成立． (×)[提示]　当α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立．21.tan ＝ ，只需要满足α≠2kπ＋π，(k∈Z)． (√)[提示]　tan 中， ≠kπ＋ 即α≠2kπ＋π，(k∈Z)， 中，cos α≠－1即α≠2kπ＋π，(k∈Z)．22.若x＋y＝1，则sin x＋sin y≥1. (×)[提示]　∵sin x＋sin y＝2sin cos ＝2sin cos ，又0<<< ，∴sin