极限定理-样本及抽样分布.ppt

X~B(n, p), 以Ｘ以Ｘi表示第ｉ次试验表示第ｉ次试验A发生的次数发生的次数以以X表示表示n重贝努里试验重贝努里试验A发生次数发生次数EX=np, DX=npq, 大数定律大数定律ＸＸi独立同分布独立同分布中心极限定理中心极限定理ＸＸi独立同分布独立同分布, 且且E(Xi )=μ, D(Xi )= бб2 25.1 大数定律大数定律大数定律大数定律 表达了大量随机变量平均值的稳定性表达了大量随机变量平均值的稳定性.. ,...,, 1}{lim 21aYaYYYaYPPnnnn¾¾®®¾¾= =< <- -¥ ¥®®记为记为依概率收敛于依概率收敛于则称序列则称序列对于任意正数对于任意正数e, e, 有有定义定义5.1 5.1 设随机变量序列设随机变量序列Y1 , Y2 …Yn , a是常数是常数, ,Le e贝努利大数定律贝努利大数定律 以以nA是是n次贝努利试验中次贝努利试验中A出现的次出现的次数数, P(A)=p, 则当则当n→∞时,有有:表达了频率的稳定性表达了频率的稳定性.X~B(n, p), X表示表示n重贝努里试验中重贝努里试验中A发生次数发生次数 . 第ｉ次试验中第ｉ次试验中A发生发生第ｉ次试验中第ｉ次试验中A不发生不发生有有辛钦大数定律辛钦大数定律 设随机变量设随机变量X1 , X2… Xn …相互独立相互独立, 服从同一分布，数学期望服从同一分布，数学期望 E(Xi )=  (i=1, 2…),则对于任意正数则对于任意正数  , 有有表达了随机变量算术平均值的稳定性表达了随机变量算术平均值的稳定性.例例5.2 设电站供电网有设电站供电网有 10000盏电灯盏电灯, 夜晚每一盏灯开夜晚每一盏灯开灯的概率是灯的概率是0.7, 假定开关时间彼此独立假定开关时间彼此独立, 估计夜晚同估计夜晚同时开着的灯数在时开着的灯数在 6800与与 7200之间的概率之间的概率.解：设解：设X表示同时开着的灯数表示同时开着的灯数, 有有X~ b(10000, 0.7). E( X )=7000 , D( X )= 2100, 5.2 中心极限定理中心极限定理 观察结果表明：大量相互独立的随机变量之和观察结果表明：大量相互独立的随机变量之和, 每个每个随机变量对总和的影响都很小随机变量对总和的影响都很小, 近似服从正态分布近似服从正态分布.独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理设设X1 , X2 …..Xn独立同分布独立同分布, E(Xi )=μ, D(Xi )= бб2 2 , 当当n充分大时充分大时, 有有即即例例5.3 一个螺丝钉重量时一个随机变量一个螺丝钉重量时一个随机变量, 期望值是期望值是1两两, 标准差是标准差是0,1两两. 求一盒求一盒( 100个个 )同型号螺丝钉的重量同型号螺丝钉的重量超过超过 10.2 斤的概率斤的概率.解解 设一盒重量为设一盒重量为X, 第第i个螺丝钉重量为个螺丝钉重量为Xi, 有有 E( Xi )=1 , D( Xi )= 0.01,有有 X ~ N(100 , 1).例例5.4 对敌人的防御地进行对敌人的防御地进行100次轰炸次轰炸, 每次轰炸命中每次轰炸命中目标的炸弹数是随机变量目标的炸弹数是随机变量, 期望值期望值 2, 方差方差 1.69. 求在求在100次轰炸中有次轰炸中有 180到到 220 颗炸弹命中目标的概率颗炸弹命中目标的概率.解解: 以以Xi表示第表示第i次轰炸中命中目标的炸弹数次轰炸中命中目标的炸弹数,则则 有有 X近似服从近似服从N(200 , 169).设设X~B(n, p), 则则X表示表示n重贝努里试验中重贝努里试验中A发生次数发生次数 . 第ｉ次试验中第ｉ次试验中A发生发生第ｉ次试验中第ｉ次试验中A不发生不发生德莫佛德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理 设随机变量设随机变量 X~B(n, p), 则当则当n充分大时充分大时, 有有即即例例 已知生男孩的概率为已知生男孩的概率为0.515,求在求在10000新生儿中女孩新生儿中女孩不少于男孩的概率不少于男孩的概率.解解: 以以X表示表示10000个新生儿中的男孩数个新生儿中的男孩数,则则 X~b(10000,0.515), X近似服从正态分布近似服从正态分布 N(5150, 2498) 所求概率为所求概率为P{X≦5000≦5000}例例 保险公司有保险公司有10000个同龄同阶层的人参加人寿保险个同龄同阶层的人参加人寿保险,该类人一年内死亡的概率为该类人一年内死亡的概率为0.006，每个参保的人在年，每个参保的人在年初付初付12元保险费，死亡时家属可领得元保险费，死亡时家属可领得1000元元.问保险公司亏本的概率问保险公司亏本的概率.解解: 设这设这10000人中一年内死亡的人数为人中一年内死亡的人数为X，则，则 X~b(10000,0.006), X近似服从正态分布近似服从正态分布N(60, 59.64) P{亏本亏本}=P{X>120}第六章第六章第六章第六章样本及抽样分布样本及抽样分布样本及抽样分布样本及抽样分布 第一节第一节 随机样本随机样本研究对象的全体称为研究对象的全体称为总体总体. 每一个元素称为每一个元素称为个体个体. 总体用随机变量总体用随机变量X表示表示. 从总体中从总体中随机独立随机独立抽取一部分个体进行观察抽取一部分个体进行观察, 所抽得所抽得的个体称为的个体称为样本样本.样本样本 的观察值的观察值x1 , x2 ….xn称为称为样本值样本值.总体总体X的分布函数为的分布函数为F(x), 则样本则样本X1, X2….Xn的的联合联合 分布函数分布函数样本用随机变量样本用随机变量X1, X2…Xn表示表示.例例 考察某种型号灯泡的寿命，考察某种型号灯泡的寿命，设为设为 X, 总体总体X服从指数分布Ｅ服从指数分布Ｅ( ),从中随机独立抽取５个个体从中随机独立抽取５个个体,设为设为X1, X2… X５５,x1=1010, x2=1020 , x３３=1000, x ４４=990, x5 =980。

X可能为０到正无穷上任一值可能为０到正无穷上任一值 则则X1,X2…X５５相互独立且相互独立且Xi ~ＥＥ( ),例例 考察某厂家生产的彩电是否合格考察某厂家生产的彩电是否合格, 总体总体X ~(0-1)分布分布,从中随机独立抽取从中随机独立抽取5台台, 则则 X1, X2… X5相互独立且相互独立且 Xi ~(0-1)分布分布. x1=1，， x2=0 ，， x３３=1，，x ４４=０，０， x5 =1总体分布　总体分布　P{ X =1｝｝=p，Ｐ｛，Ｐ｛ X =0 } =1-p，，常写成　　常写成　　P{ X =x｝｝合格品合格品否则否则合格率为合格率为p，，x=0或１＝＝px(1-p)1-x ,分别以分别以 X1, X2 … X5表示表示,例例 某种炮弹的炮口速度某种炮弹的炮口速度, 随机独立抽取５发随机独立抽取５发,则则X1,X2…X５５相互独立且相互独立且 Xi ~ N (µ, δδ2 2) . x1=3, x2=4 , x３３=5, x ４４=6, x5 =7设为设为X, 总体Ｘ服从正态分布Ｎ总体Ｘ服从正态分布Ｎ(µ, δδ2 2),不含任何未知参数不含任何未知参数.统计量统计量: 样本样本X1,X2….Xn的函数的函数样本方差样本方差 样本均值样本均值分别以分别以X1, X2… X５５表示炮口速度表示炮口速度,但但µ, δδ2 2未知，未知，样本样本k阶矩阶矩 样本样本k阶中心矩阶中心矩 例例 总体总体X的期望的期望, 方差分别为方差分别为 X1，，X2…Xn为来自总体为来自总体X的样本的样本, 求求第二节第二节 抽样分布抽样分布设设X1,X2…Xn是来自总体是来自总体N(0，，1)的样本，称统计量的样本，称统计量服从服从自由度为自由度为n的的 分布分布，记为，记为分布的概率分布密度为分布的概率分布密度为1、、 分布分布 分布具有以下性质分布具有以下性质: X～～N(0,1), 若若 满足条件满足条件称称 为标准正态分布的为标准正态分布的上上  分位点分位点.求标准正态分布的上求标准正态分布的上 分位点分位点, =0.003, 求求2、、t分布分布设设X~N(0, 1), Y~ , 且且X 与与 Y相互独立，相互独立，则称随机变量则称随机变量服从自由度为服从自由度为 n的的t 分布分布, 记为记为t ~ t(n)。

t(n)分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为t(n)分布的图形：分布的图形： t(n)分布的上分布的上 分位点记为分位点记为 , 满足：满足： 设设 且且U与与V相互独立，相互独立，则称随机变量则称随机变量服从自由度为服从自由度为(n1，，n2)的的F分布，记为分布，记为F～～F(n1，，n2)3、、F分布分布 概率密度函数为概率密度函数为 的上的上 分位点记为分位点记为 ，即它满足，即它满足F~F(n1, n2), 则则 性质性质证证:例例6.2 设总体设总体X~N(62, 102), 为使样本均值大于为使样本均值大于60的概的概率不小于率不小于0.95, 问样本容量问样本容量 n至少应取多大至少应取多大?解解5.设总体设总体X~N(μ,42), X1,X2…. X10为来自总体的一个为来自总体的一个6.样本样本, s2为样本方差为样本方差, 且且 P { s2 >a}= 0.1, 求求a. 7.解解P { s2 >a} = 。