数学建模课程建设与竞赛辅导(天津)-杨启帆.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学建模课程建设,与竞赛,浙江大学数学系杨启帆,（一）,浙江大学开展数学建模教学和组织参加各种竞赛的情况简介,1982-1995,课程开设，数学系限定性选修课，教材建设，,1990,年出版,“,数学模型,”,1995-1999,扩大受教育面，开设各种必修课、选修课,：（,1,）竺可桢学院混合班必修课（今年起改为荣誉课程）（,2,）竺可桢学院工程高级班 （,3,）理科基地班必修课修课 （,4,）全校性选修课 （,5,）数学系必修课（,6,）研究生学位课,1999-2004,创建名牌课程与数学建模实践基地,国家理科基地创建精品课程项目（,1999,年）,国家理科基地创建优秀课程项目（,2001,年）,获浙江省教学成果一等奖（,2000,年）,获国家级教学成果二等奖（,2001,年）,被浙江省教育厅授予首批省级精品课程（,2003,年）,被教育部授予首批国家级精品课程（,2004,年）,数学建模方法与实践被立项为国家级教学团队（,2008,）,我们的教学方法,普及教育：为新生举办讲座，激发学生的兴趣,课堂教学：为二三年级学生开课（周学时,4-5,不等）,课堂教学与学生建模实践活动相结合（,SRTP,项目，课外课题研究），荣誉课程建设（三个转变）,数学建模教育与培训组织学生参加国内外大学生数学建竞赛相结合（校内竞赛，全国竞赛、国际竞赛等）,教学内容改革与教材建设（包括教材建设、学生建模基地与建模网站建设、教改项目的执行等）,兼顾创新性人才的培养与应用型人才的培养（竺可桢学院,-,尖子学生的培养、全校选修,-,普及、独立二级学院,-,应用型人才培养、研究生研讨班）,开设研究生学位课，开展较高层次的课题研究,教学效果与教改收获,学生综合素质与科研能力得到了有效提高（每年有上千名学生听课、提交科研论文或研究报告数十篇，,300,多个队参加学校数学建模竞赛，大约,25-30,个队参加全国竞赛、,10,个队参加美国竞赛，学生参与的积极性十分高涨，这些学生的素质与能力在科研实践中迅速提高）,增强了学生学习数学知识和专业知识的兴趣（培养兴趣、提高能力、增长知识是大学教育的主要任务）,为更高层次的人才培养输送了大批尖子学生（为国内外著名高校和科研机构提供了优秀生源，其中不少原先只是中等生）,培养了学生合作研究的习惯,学生参赛获奖（,1999,年以来）,美国竞赛：特等奖,4,项（,99,、,03,、,10,、,11,）其中,INFORMS,（美国运筹与管理学会）,3,项，国际一等奖,52,项（,2000,、,2001,全部一等奖），二等奖,30,项,全国竞赛：一等奖,34,项（含高教社杯），二等奖,46,项,出版教材：,除较早期和边馥萍老师合作编写的“数学模型”外还有：,（,1,）数学建模，,1999,（省重点建设教材），国家十五规划教材，,2006,年,6,月出版，浙江大学出版社,（,2,）数学建模竞赛,-,浙江大学学生获奖论文点评，,2005,年,7,月出版，浙江大学出版社,（,3,）数学建模，教育科学十五规划研究成果，,2005,年,5,月出版，高等教育出版社,（,4,）数学建模案例集，,2006,年,7,月出版，高等教育出版社,另有几本正在编写中,（二）教学中注意对学生能力的培养,在介绍经典模型的同时，讲解基本技巧：经验方法、量纲分析、比例关系的利用、参数选取、房室系统、集中参数法与分布参数法、工程师原则、统计筹算率等等,基本技巧的灵活应用与经典模型的推广：从人口模型到多种群生态系统模型,从,P-P,模型到大鱼吃小鱼、小鱼吃虾米,将课堂教学、课外实践、,SRTP,（毕业设计）等项目指导、研讨班、竞赛培训及组织竞赛有机结合起来，形成系列化教学体系。

春节后开课、,5,月初校竞赛、暑假后举办,1,次研讨班、暑假自行准备竞赛、美赛前举办,1,次研讨）,加强学生实践环节的指导（鼓励学生研究自己感兴趣的问题，如：蝉的共鸣、紫金港校区路灯优化设计、杭州黄金周旅游接待等）,注意对学生综合素质的培养（冰冻三尺，非一日之寒，功夫在平时）,（观察与发现能力），如：,（例）数字的黑洞现象,任取一个能被,3,整除的数，如,213,按如下运算：,猜测自然也有可能猜错，例如欧拉方，费马数,（,3,，,5,，,17,，,257,65537,）等被猜错,-,猜测须证明,（例,1,）,某人平时下班总是按预定时间到达某处，然,然后他妻子开车接他回家有一天，他比平时提早,了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他,的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他,比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时,间？,发散性思维能力的培养,似乎条件不够哦换一种想法，问题就迎刃而解了假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了提前的十分钟时间从何而来？,显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开,5,分钟。

而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设,？,例,2,交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态,亮一段时间的黄灯请分析黄灯应当亮多久设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离,L,这就是说，在离街口距离为,L,处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图,1-4,对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路马路的宽度,D,是容易测得 的，问题的关键在 于,L,的确定为确定,L,，还应当将,L,划分为两段：,L1,和,L2,，,其中,L1,是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程 ，,L2,为刹车制动后车辆驶过的路程L1,较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间,t1,早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度,v,也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而,L1=v*t1,刹车距离,L2,既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来（,留作习题）,。

黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了第一步，先计算出,L,应多大才能使看见黄灯的司机停得住车第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即,T,至少应当达到,（,L+D,）,/v,D,L,例,3,将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离设砖块是均质的，长度与重量均 为,1,，其 重心在中点,1/2,砖长处，现用,归纳法,推导Z,n,(,n,1),n,(,n,1),由第,n,块砖受到的两个力的力矩相等，有：,1/2-,Z,n,=(,n,1),Z,n,故,Z,n,=1/(2,n,),，从而上面,n,块砖向右推出的总距离为 ，,故砖块向右可叠至,任意远,，这一结果多少,有点出人意料发散性思维要有意义，科研要有目的，要尽量应用已有的学科知识，但学科知识的应用有时是意想不到的例）循环图的连通性与,gcd(a,n)=1,之间的关系）举例,gcd(2,7)=1,，,gcd(2,6)=2,希尔密码设计,古典密码不能改变字母出现的频率,利用矩阵与向量相乘运算,困难：逆矩阵不能用于解密,想办法克服困难实例）,取,A,=,则,(,具体求法见,后,),用,A,加密,THANK YOU,再用 对密文解密,用矩阵,A,左乘各向量加密（关 于,26,取余）得,得到密文,JXCPI WEK,解,:(,希尔密码加 密,),用相应数字代替字符，划分为两个元素一,组并表示为向量：,（,希尔密码解密,）,用,A,-1,左乘求得的向量，即可还原为原来的向量。

自行验证,),希尔密码是以,矩阵 法,为基础的，明文与密文的对 应由,n,阶矩阵,A,确定矩阵,A,的阶数是事先约定的，与明文分组时每组字母的字母数量相同，如果明文所含字数 与,n,不匹配，则最后几个分量可任意补足A,-1,的求法,方法,1,利用公式 ，例如，若取 ，,则,(mod26),，即,方法,2,利用高斯消去法将矩 阵,(A,E),中的矩阵,A,消为,E,，则原先的,E,即被消成了,A,-1,，,观察,猜测,证明，科学研究的重要途径之一,（例,1,）设有一个半径为,r,的圆形湖，圆心为,O,A,、,B,位于湖的两侧，,AB,连线过,O,，见图现拟从,A,点步行到,B,点，在不得进入湖中的限,制下，问怎样的路径最近A,B,O,r,E,F,E,F,逻辑推理与证明能力,猜测证明如下：,（方法一）,显然，由,AE,、,EF,、,FB,及,AE,，,EF,，,FB,围成的区域,R,是一凸集利用,分离定理,易证最短径不可能经过,R,外的点，若不然，设,为最短路径，,过,R,外的一点,M,，则必存在直 线,l,分离,M,与,R,，由于路径,是连续曲线，由,A,沿,到,M,，必交,l,于,M,1,，由,M,沿,到,B,又必交,l,于,M,2,。

这样，直线 段,M,1,M,2,的长度必小于路 径,M,1,MM,2,的长度，与,是,A,到,B,的最短路径矛盾，至此，我们已证明最短路径必在凸集,R,内不妨设路径经湖的上方到达,B,点，则弧,EF,必在路径,F,上，又直线段,AE,是由,A,至,E,的最短路径，直线,FB,是由,F,到,B,的最短路径，猜测得证A,B,O,r,E,F,E,F,M,1,M,2,M,l,（例,2,）（交换座位,奇偶数校验）,（问题的提出）一位老师正在上英语课，教室里共有九排座位，每排有,7,把椅子，座位上坐满了学生为了增加口语练习机会，老师要求学生变换一下座位，但该老师要求每位同学在交换以后必须坐在原先座位的前后左右,4,个座位之一上，问学生应当怎样交换座位？,（解答）这一问题是无解的，教室里共有,63,个座位，如果你给座位编一下号（要连续编号），你会发现原先坐在奇数号上的学生交换以后必定坐在偶数位上，反之，原先坐在偶数位的同学交换后必定坐在奇数位上，但奇数位椅子和偶数位椅子数量不一样，所以无法交换例,3,）,拟将一批尺寸为,124,的的商品装入尺寸为,666,的正方体包装箱中，问是否存在一种装法，使装入的该商品正好充满包装箱。

解,将正方体剖分成,27,个,222,的小正方体，并,按下图所示黑白相间地染色再将每一,222,的小正方体剖分成,111,的小正方体易见，,27,个,222,的正方体中，有,14,个是黑的，,13,个是白的（或,13,黑,14,白），故经两次剖分，共计有,112,个,111,的黑色小正方体和,104,个,111,的白色小正方体虽然包装箱的体积恰好是商品体积的,27,倍，但容易看到，不论将商品放置在何处，它都将占据,4,个黑色和,4,个白色的,111,小正方体的位置，故商品不可能充满包装箱例如圆周率的计算（可以有多种方法：古典方法、分析方法、其他方法,算法设计、计算速度，有效数字的概念等等，具体从略）,（计算能力）,要求学生会建模必须让他们掌握建模基本技巧,在介绍经典模型的同时，讲解基本技巧：经验方法（数据处理）、量纲分析、比例关系的利用、参数选取、房室系统、集中参数法与分布参数法、工程师原则、统计筹算率等,基本技巧的灵活应用与经典模型的推广：,从人口模型到多种群生态系统模型,建模基本技巧的掌握,（三种基本的双种群模型说明）,从,P-P,模型到大鱼吃小鱼、小鱼吃虾米,（三）竞赛准备及注意事项（供参考）,组队应体现取长补短，准备应有分工,（数学、算法、编程、软件使用等）。

做题不在多而在精（我校一般要求每类至少各做,2,题）不同基础的学生应当用不同方法培训,在做题过程中培养快速掌握未学过的知识的能力,。