直线与平面两平面相对位置.ppt

 第四章第四章 直线与平面、两平面的相对位置直线与平面、两平面的相对位置§4-1 直线与平面平行直线与平面平行 • 两平面平行两平面平行§4-2 直线与平面的交点直线与平面的交点 • 两平面的交线两平面的交线§4-3 直线与平面垂直直线与平面垂直 • 两平面垂直两平面垂直 内内 容容 提提 要要§4-4 点、线、面综合题举例点、线、面综合题举例•本章重点讨论的三个问题：本章重点讨论的三个问题：•1、在投影图上如何绘制及判断直线与平面和、在投影图上如何绘制及判断直线与平面和两平面的平行问题两平面的平行问题•2、如果直线与平面及两平面不平行，在投影、如果直线与平面及两平面不平行，在投影图上如何求其交点或交线图上如何求其交点或交线•3、在投影图上如何绘制及判断直线与平面和、在投影图上如何绘制及判断直线与平面和两平面的垂直问题两平面的垂直问题返回ABCEFabcefDd§4-1 直线与平面平行直线与平面平行 • 两平两平 面平行面平行一、一、直线与平面平行直线与平面平行 若一直线平行于某平面上的任一直线，则该若一直线平行于某平面上的任一直线，则该直线与平面平行。

直线与平面平行 据此可以解决据此可以解决:1. 作直线平行于已知平面作直线平行于已知平面2. 作平面平行于已知直线作平面平行于已知直线3. 判断直线是否于平面平行判断直线是否于平面平行例题例题4.1 试过点试过点N作水平线作水平线MN平行于平行于ΔABC平面平面分析分析作图作图b’abcna’c’n’XO1. 在在ΔABC平面上任作平面上任作一水平线一水平线BD2. 过点过点N作直线作直线MN平行平行与直线与直线BDdmm’d’直线直线 MN 即为所求即为所求例题例题4.2 试过点试过点A作平面作平面ΔABC平行于直线平行于直线MN分析分析作图作图1. 作直线作直线AC∥∥MN2. 过点过点A任作直线任作直线ABΔABC 即为所求即为所求b’cc’bmm’a’n’naXO例题例题4.3 试判断直线试判断直线EF是否平行于平面是否平行于平面ΔABCb’abcea’c’e’XO分析分析作图作图1.在在ΔABC平面上任作平面上任作一辅助线一辅助线CD,且使且使c’d’∥∥e’f’(或或cd∥∥ef)2. 求出求出ΔABC上的上的CD直直线的另一投影线的另一投影cd(或或c’d’) 因因ef不平行不平行cd故故EF不平行与不平行与 ΔABCff’d ’dABCMNEFmnabce (f) 当直线与投影面垂直面平行当直线与投影面垂直面平行时时,则该直线必有一个投影与平则该直线必有一个投影与平面具有积聚性的那个投影平行面具有积聚性的那个投影平行,且在平面有积聚性的那个投影且在平面有积聚性的那个投影面上反映直线与平面间的真实面上反映直线与平面间的真实距离。

距离 当直线与平面同时垂直与同当直线与平面同时垂直与同一投影面时一投影面时,该直线必与该平面该直线必与该平面平行平行,且在它们垂直的那个投影且在它们垂直的那个投影面上反映它们之间的真实距离面上反映它们之间的真实距离线面平行的特殊情况线面平行的特殊情况mnabce (f)m’n’a’b’c’e’f’XO二、二、平面与平面平行平面与平面平行 若一平面内两相交直线对应平行于另一平面若一平面内两相交直线对应平行于另一平面上的相交两直线，则这两平面相互平行上的相交两直线，则这两平面相互平行据此可以解决据此可以解决:1. 作平面平行于已知平面作平面平行于已知平面2. 判断两是否平面平行判断两是否平面平行§4-1 直线与平面平行直线与平面平行 • 两平两平 面平行面平行一、一、直线与平面平行直线与平面平行ABCA1B1C1PQ例题例题4.4 试作试作ΔEFG∥∥ΔABC平面平面e’b’abcea’c’XOff’g分析分析作图作图1.在在ΔABC内作直线内作直线AM∥∥EF,MN∥∥FG(am∥∥ef,mn∥∥fg)2. 求出求出AM ,MN的正面的正面投影投影mnm’n’3. 过过f’作作e’f’∥∥a’m’、、f’g’∥∥m’n’,则则ΔEFG即即为所求为所求 g’例题例题4.5 判断判断ΔEFG与与ΔABC平面是否平行平面是否平行gfabceg’b’c’e’f’a’XOb’c’平行平行g’f’但但bc 不平行不平行gf例题例题4.5 判断判断ΔEFG与与ΔABC平面是否平行平面是否平行gfabceg’b’c’e’f’a’XOb’a’平行平行g’e’但但ba 不平行不平行geb’c’平行平行g’f’但但bc 不平行不平行gf因此，因此，ΔEFG与与ΔABC平面不平行平面不平行例题例题4.6 判断两平面是否平行判断两平面是否平行dfgecbaa’f’g’d’b’c’e’h’h例题例题4.7 判断两平面是否平行判断两平面是否平行dfecbaa’f ’d’b’c’e’a’c’平行平行d’f’但但ac 不平行不平行df例题例题4.7 判断两平面是否平行判断两平面是否平行dfecbaa’f ’d’b’c’e’a’c’平行平行d’f’但但ac 不平行不平行dfb’c’平行平行d’e’但但bc 不平行不平行de因此两平面不平行因此两平面不平行ABCGHEFefacbh 若两平行平面同时垂直于同若两平行平面同时垂直于同一投影面一投影面,则它们在该平面上的则它们在该平面上的积聚性投影必然相互平行积聚性投影必然相互平行,且反且反映两平行平面之间的真实距离。

映两平行平面之间的真实距离面面平行的特殊情况面面平行的特殊情况efacbhgh’f’g’e’b’a’c’§4-2 直线与平面相交直线与平面相交 • 两平两平 面相交面相交 直线与平面相交直线与平面相交,必有一个交点必有一个交点,它是直线与它是直线与平面的共有点平面的共有点 平面与平面相交平面与平面相交,必有一个交线必有一个交线,它是两平面它是两平面的共有线的共有线 求解交线的方法求解交线的方法: 1. 作出交线上的两个共有点作出交线上的两个共有点 2. 作出交线上的一个共有点及交线的方向作出交线上的一个共有点及交线的方向求作交点或交线的过程求作交点或交线的过程:1. 求出交点或交线的投影求出交点或交线的投影2. 判别可见性判别可见性§4-2 直线与平面相交直线与平面相交 • 两平两平 面相交面相交一、一、利用积聚性求交点和交线利用积聚性求交点和交线1. 一般位置直线与特殊位置平面相交一般位置直线与特殊位置平面相交ABCabcFEKfekb’a’c’bace’f’efb’a’c’bace’f’efkk’ 作图步骤作图步骤 1. 利用积聚性求出利用积聚性求出K点水平投点水平投影影k 2. 利用点上的投影特性求利用点上的投影特性求出出K点正面投影点正面投影k ’ 3. 判别可见性判别可见性121’(2’)y1＞＞y2,即点即点Ⅰ在点在点Ⅱ前方，前方，EK正面投影可见正面投影可见121’(2’)a’ b’c’bace’f’efkk’ 作图步骤作图步骤 1. 利用积聚性求出利用积聚性求出K点水平投点水平投影影k 2. 利用点上的投影特性求利用点上的投影特性求出出K点正面投影点正面投影k ’ 3. 判别可见性判别可见性y1＞＞y2,即点即点Ⅰ在点在点Ⅱ前方，前方，EK正面投影可见正面投影可见§4-2 直线与平面相交直线与平面相交 • 两平两平 面相交面相交一、一、利用积聚性求交点和交线利用积聚性求交点和交线1. 一般位置直线与特殊位置平面相交一般位置直线与特殊位置平面相交2. 特殊位置直线与一般位置平面相交特殊位置直线与一般位置平面相交a’b’c’bace’(f’)efkk’d’d 分析分析 EF在正面的投影在正面的投影有积聚性，故交点有积聚性，故交点K的的正面投影必与正面投影必与EF的正的正面投影重合，利用面面投影重合，利用面上取点的方法可求出上取点的方法可求出交点交点K的水平投影的水平投影 作图作图 a’b’c’ace’(f’)efkk’d’d§4-2 直线与平面相交直线与平面相交 • 两平两平 面相交面相交一、一、利用积聚性求交点和交线利用积聚性求交点和交线1. 一般位置直线与特殊位置平面相交一般位置直线与特殊位置平面相交2. 特殊位置直线与一般位置平面相交特殊位置直线与一般位置平面相交3. 特殊位置平面与一般位置平面相交特殊位置平面与一般位置平面相交kla’b’c’bace’f’efdd’k’l’VXOABCEDFcabefd 作图步骤作图步骤 1. 利用积聚性求出利用积聚性求出KL的水平投的水平投影影kl 2. 利用点上的投影特性求利用点上的投影特性求出出K点正面投影点正面投影k ’，l’ 3. 判别可见性判别可见性klKL121’(2’)kla’b’c’bace’f’efdd’k’l’§4-2 直线与平面相交直线与平面相交 • 两平两平 面相交面相交一、一、利用积聚性求交点和交线利用积聚性求交点和交线1. 一般位置直线与特殊位置平面相交一般位置直线与特殊位置平面相交2. 特殊位置直线与一般位置平面相交特殊位置直线与一般位置平面相交3. 特殊位置平面与一般位置平面相交特殊位置平面与一般位置平面相交二、二、利用辅助平面求交点和交线利用辅助平面求交点和交线 一般位置直线与一般位置平面相交一般位置直线与一般位置平面相交FEDMNdd’abfeb’a’e’f’BAMmnn’m’k’k作图作图判别可见性判别可见性11’Z1＞＞ZM, AK的水平投影的水平投影ak可见可见2’(3’)2YⅡ＞＞YⅢ, AK的正面投影的正面投影a’k’不不可见可见3dd’abfeb’a’e’f’FEDMNBAMmnn’m’k’k作图作图判别可见性判别可见性11’Z1＞＞ZM, AK的水平投影的水平投影ak可见可见2’(3’)2YⅡ＞＞YⅢ, AK的正面投影的正面投影a’k’不不可见可见3§4-2 直线与平面相交直线与平面相交 • 两平两平 面相交面相交一、一、利用积聚性求交点和交线利用积聚性求交点和交线1. 一般位置直线与特殊位置平面相交一般位置直线与特殊位置平面相交2. 特殊位置直线与一般位置平面相交特殊位置直线与一般位置平面相交3. 特殊位置平面与一般位置平面相交特殊位置平面与一般位置平面相交二、二、利用辅助平面求交点和交线利用辅助平面求交点和交线 一般位置直线与一般位置平面相交一般位置直线与一般位置平面相交 一般位置平面与一般位置平面相交一般位置平面与一般位置平面相交 三、三、利用辅助投影求交点和交线利用辅助投影求交点和交线a’b’c’bace’f’efd’dd1’f1’e1’a1’b1’c1’n1’l1’lnn’l’作图步骤作图步骤1. 将将△△ABC变换为铅垂面变换为铅垂面2. 求出交线的辅助投影求出交线的辅助投影l1’ n1’3. 求出交线的正面投影和水平求出交线的正面投影和水平投影投影4. 判别可见性判别可见性a’b’c’bace’f’efd’dd1’f1’e1’a1’b1’c1’n1’l1’lnn’l’1’(2’)123 (4)3’4’1. YⅠ＞＞YⅡ, AB的正面投影可见的正面投影可见2. ZⅢ＞＞ZⅣ, DF的水平投影可见的水平投影可见n’a’b’c’bace’f’efd’dd1’f1’e1’a1’b1’c1’n1’k1’knn’k’1’(2’)123 (4)3’4’k’dfgecbaa’f’g’d’b’c’e’1’2’23’3h’h例一 求作两平面的交线并判断可见性nmcbaa’b’c’m’n’1’2’例二 求作两平面的交线并判断可见性§4-3 直线与平面垂直直线与平面垂直 • 两平两平 面垂直面垂直一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直 若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。

若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线 据此可以解决据此可以解决:1. 作直线垂直平面或平面作直线垂直平面或平面垂直直线垂直直线2. 判断线面是否垂直判断线面是否垂直作作 图图 举举 例例: 若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影平线的正面投影k’l’kl 若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面ha’cac’例题例题1：：平面由平面由Δ BDF给定，试过定点给定，试过定点K作平面的法线作平面的法线h’返回KCFDBA1.在在△△BDF上作正平线上作正平线DC和和水平线水平线AB2. 作作k’h’ ⊥⊥d’c’; kh ⊥⊥ab H例题例题2：：平面由两平行线平面由两平行线AB、、CD给定，试判断直线给定，试判断直线MN是否垂直是否垂直于定平面。

于定平面e’f’ef1.DC为正平线为正平线 , 判判断断m’n’是否垂直是否垂直d’c’2. 在平面内作水平在平面内作水平线线EF , 判断判断mn是是否垂直否垂直ef 直线直线MN不垂不垂直给定平面直给定平面例题例题3：：试过定点试过定点S作一平面垂直于已知直线作一平面垂直于已知直线EFe’s’OXeff’sSFENM 过过S点分别作正平线点分别作正平线 SN 、、水平线水平线SM, 使使 水平水平SN⊥⊥EF SM⊥⊥EFn’nmm’§4-3 直线与平面垂直直线与平面垂直 • 两平两平 面垂直面垂直一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直二、平面与平面垂直二、平面与平面垂直 若一直线垂直于定平面若一直线垂直于定平面则包含该直线的所有平面都则包含该直线的所有平面都垂直于该平面垂直于该平面据此可以解决据此可以解决:1. 作平面垂直平面作平面垂直平面2. 判断面面是否垂直判断面面是否垂直实质问题是作面垂实质问题是作面垂直直例题例题4：：平面由平面由Δ BDF给定，试过定点给定，试过定点K作平面垂直作平面垂直Δ BDF ha’cah’c’m’m例题例题5：：判断判断 Δ DEF 、、 Δ GHK是否与是否与 Δ ABC垂直。

垂直ghcabfdek’h’g’f’e’d’c’b’a’m’hmΔ DEF ⊥⊥Δ ABCΔ GHK⊥⊥Δ ABC §4-4 点线面综合题举例点线面综合题举例画法几何问题，归纳起来大体分为画法几何问题，归纳起来大体分为定位问题定位问题和和度量问题度量问题两大类2）） 空间分析空间分析 轨迹分析法轨迹分析法 逆推法逆推法（（4）） 解答分析解答分析（（3）） 投影作图投影作图（（1）） 题意分析题意分析 分析有哪些几何条件，有无几何元素在空间处于特殊位置，分析有哪些几何条件，有无几何元素在空间处于特殊位置，明确求解的几何元素或几何量明确求解的几何元素或几何量EF例题例题1 过点过点K作直线作直线KS平行于三角形平行于三角形ABC并与直线并与直线EF相交e’c’b’a’k’f’eafkcbSACBK(1) 过过K作平面平作平面平行三角形行三角形ABC(2) 求出求出EF与辅助与辅助平面的交点平面的交点Sss’(3) 连连KS即为所求即为所求例题例题1 过点过点K作直线作直线KS平行于三角形平行于三角形ABC并与直线并与直线EF相交。

相交e’c’b’a’k’f’eafkcbACBEFMNKS例题例题2：：求交叉两直线求交叉两直线AB和和CD的公垂线的公垂线MNdcbaa’d’b’c’分分 析析EDCBAKMNdcbaa’d’b’c’ABCDmnNMabc( d )c1’d1’a1’b1’a2b2(d2 )c2m2n2n1’m1’mnn’m’dcbaa’d’b’c’XX1X2例题例题3：：求三角形求三角形ABC及及BCD两平面之间的夹角两平面之间的夹角dbad’c’b’a’cXABCDθdbad’c’b’a’cXθX1a1’c1’( b1’)d1’c1’(d1’)b1’(a1’)a’bcd’c’b’daXX2例题例题4 以以DC为直角边作等腰直角为直角边作等腰直角△△CDE(∠∠CDE=90)且与且与ABCD平平面垂直e1’HV例题例题5：：已知等边三角形已知等边三角形ABC , 点点C在在H面上面上 , 求此三角求此三角形的两面投影形的两面投影bab’a’Xa’b’c’ABCbab’a’Xabcc’1. 求边求边AB的实长的实长2. 求边求边AC的水平投影的水平投影3. 求边求边BC的水平投影的水平投影4. 求求c , c’并连线并连线。