线代代数公式.doc
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线性代数公式基本运算%1 A+B=8+A%1 (A + B)+C = A +(B + C)③ c(A + B)= cA + cB (c + d)A = cA + clA%1 c{dA)= {cd} A%1 cA = O = c = O 或 A = 0A By =AtBt(函)—3)AB)T =Bl A1吹〃 —1)...21)=专=当丑D —为 A)] +A” + • • • +尚 A”转置值不变A7 = |A|逆值变A~ =二|B = C （无左消去律） 特别的设A可逆，则A有消去律。
左消去律：AB = AC=>B = C0右消去律：BA = CA^B = C o如果A列满秩，则A有左消去律，即%1 AB = 0=B = 0%1 AB = AC=>B = C可逆矩阵的性质 i）当A可逆时,a，也可逆，且（疽）"妒也可逆，且例尸=（人-|）*数crO, c、A也町逆，（M）-1 =-A[oii） A, 8是两个〃阶可逆矩阵也可逆，且（48尸=矿顷一七推论：设A, B是两个〃阶矩阵，则AB = EBA = E命题：初等矩阵都可逆，且(E(i(c)))~ =E i - c))(E(/,j(c))) 1 =(/,;(-c))命题：准对角矩阵A.000人T 八110000*2200可逆每个4廿都可逆，记A—I =00.0.00..000...0000000伴随矩阵的基本性质：aa* = a^a = \a\e当4可逆时,且得:（求逆矩阵的伴随矩阵法）（*-[> = ”&伴随矩阵的其他性质%1 |人*| W②（疽）Ma *y,%1 |（函尸="-顶%1 （AB, = B*A*,%1 供p二（A*y,可（A*. = W5- 〃 = 2 时，（A*F = A A*= a -：关于矩阵右上肩记号：T, k, -1, *i） 任何两个的次序可交换，如（人邛=（a *y,（A*）」=（人-|）* 等ii） （AB） =8『疽,（砧尸=8-顷气（A3）* = B*A*但.（AB）* =8项不一定成立！线性表示0 T% …，％P r a].a2,--,as o 玉％ + x2a2 +••• + ],% =”有解<=> （%,。
2, • • •， ）x =月有解（工=（工 1，…，V ）Ax = （3有解，即”可用A的列向量组表示AB = C = （，i，尸2,…，八），人=（%,2,…叫），则尸|,厂2，・・・，心P\，2，■ • •， ~> %,2，, , •，a$，则存在矩阵C,使得0,.,・・•/） = （%,%,・・・,％）c线性表示关系有传递性 当Z?|，Z?2,…，”/ TQ],%，•••，% T华牛…，则回，坊，…, ，2，.・.，弓等价关系：如果a],%，，，，，与”]，尸2,…，舟互相可表示%02，・・・，％^”1，凡，•••，”/记作，膈…q线性相关5 = 1,单个向量xa =0 a相关<=>a=（）S = 2,2相关 <=> 对应分量成比例 ％,2相关<=>1 ："1 =2 :奶= ••• = 〃〃 ：如%1 向量个数s=维数〃，则线性相（无）关=国…％| =（珈人=（a】,％，…，%），Ax = 0有非零解=|人| = 0如果s> n ,则％,久,…,％ 一定相关Ax = 0的方程个数〃 v未知数个数s%1 如果无关，则它的每一个部分组都无关%1 如果％,明，…，％无关，而％, %,•••,《.，”相关，则/?—•%,%，•••，％证明:设q,…,c”c不全为0,使得C]%+••• +《$%+c” = 0则其中30,否则。
・・・,q不全为0, CQ1+・・・ + /% =0 ,与条件％,•••,%.无关矛盾于是p = -—al —as oc c%1 当p —> 时，表示方式唯一 =%无关（表示方式不唯一％相关）%1 若岗，・・・,岗->%,・・・,％,并且1>S,则/｝、,,,,，R 一定线性相关证明：记* = (%,•••,), B = 0,・・・,&),则存在sxz矩阵C,使得B = AC 0Cx = Q^ s个方程，，个未知数，set,有非零解〃，5 = 0则B〃 = AC77 = Q，即〃也是Bx = O的非零解，从而片,•••,&线性相关各性质的逆否形式%1 如果%,%,•••,%无关，贝05 < n o%1 如果％,必,…,％有相关的部分组，则它自己一定也相关1 如果％无关，而”,则a*无关1 如果岗.逆 味％・・・％, A---A无关，则心推论：若两个无关向量组a、・・・a$与&…&等价，则s = t o极大无关组一个线性无关部分组(/),若#(/)等于秩％,204，％ t(/)，(/)就一定是极大无关组%1 Q], %，•••，% 无关 <=> …，％)= S另一种说法：取％,%，•••，%的一个极大无关组(/)(/)也是€(\,以2，‘ , ,，以、，6的极大无关组=(I), 0相关。
证明：T %,•••,a、O /? T (/)o (/),/?相关/(%，•••，%，仞=4 ( M 々八〔一(％,・・・,冬)+1,/?& %，…，冬③/?可用唯-表示=‘0[,S=>/（腐,…,原）外，…，四）⑤三岗，・・・，同=，岗…腐）=<）,••"） 矩阵的秩的简单性质0 < r（A）< min（m,A?｝r（A）= O <=> A=0A行满秩：r（A）= m4列满秩：r（?l） = n〃阶知阵A满秩：r（A）= nA满秩<=> A的行（列）向量组线性无关0网工0<=> A可逆= Ax = O只有零解，Ax = （3唯一解矩阵在运算中秩的变化初等变换保持矩阵的秩%1 尸（A，）=r（A）%1 caO 时，r（cA）= r（A）%1 r（AB）
如果%，〃2,…，％是一组解，则它们的任意线性组合+ C四2 +…+ jr/e 一定也 是解Vj,A? =0=> A0〃1 +2〃2 +..・ + G%）=2. Ax = /?（/? o 0）%1 如果攵，旦，• • •，是弘=”的一组解，则eg】+ c2^2 + …+ c/e 也是 Ax =的解=C] + 6 + • • • + G = 1C]g] + C2^2 + • . • + C《ge 是 Ax = 0 的解=C[ +2 + • • • + G = 0A（C|* +C，2&2 +・・・ + ce）=c/g +C2AS2 +..・ + c/=（C[ +C2 +・・・ + Ce）“特别的：当g],&2是Ax = /3的两个解时，& - 是Ax = 0的解%1 如果&0是Ax = j3的解，贝IJ 〃维向量&也是Ax = j3的解= g_go是弘=0的解解的情况判别方程:Ax = /?,即 xxax + x2a2 + • • • + xnan = pI有解|u> "->%,%，•••，%=I 月） = /（A）o02,…，％）无解|= /（A I /?）〉/（■）唯一解 u> /（A I /?） = /（A）= n无穷多解|<=> /（A I j3）= y（A）
两种特殊情形：（1） 0是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素4 * *、A= 0 A. *〔0 a3Jx-At -* 一*|x-A| = 0 x — A. —* = （^x — A |— A 9—人 3）0 0 x-A3（2） 尸（A）=l时：A的特征值为0,0,・・•,（）,"（A）特征值的性质命题：〃阶矩阵A的特征值2的重数>n-r（AE-A）命题：设A的特征值为人|,人2,・・・，人〃，贝U①|九J 2.・・九”=|a|[+4 2 人 〃="（A）命题：设〃是A的特征向量，特征值为人，即A〃 =由,贝I」%1 对于A的每个多项式f （A）, /（A）;; = f（x）7]1 I A I%1 当 A 可逆时，A. = , A*〃 = —A A命题：设一的特征值为人],人2,…，人〃，则①人A）的特征值为/U1）,/U2）,-,/U J②A可逆时，A-I的特征值为 — , — 人序2 如I A I I A I I A IA*的特征值为 — "1 “2%1 妒的特征值也是研，如，…/〃特征值的应用%1 求行列式141= 4】,％，•••，人〃%1 判别可逆性人是A的特征值<=>|2E-A| = 0o A-A不可逆A-AE可逆=人不是A的特征值。
