《复变函数》第4章.ppt

复 变 函 数（第四版）第四章 级 数§1 复数项级数§2 幂级数§3 泰勒级数§4 洛朗级数8/17/20241《复变函数》(第四版) 第4章§1 复数项级数1. 复数列的极限复级数也是研究解析函数的一个重要工具.函数的解析性等价于函数能否展成幂级数.复数列8/17/20242《复变函数》(第四版) 第4章Th1.证明利用不等式:8/17/20243《复变函数》(第四版) 第4章2. 级数概念(1) 定义级数:前n项和:(部分和)否则.发散8/17/20244《复变函数》(第四版) 第4章Th2.必要条件:运算性质:且:(C 为复常数)（作用：复数项级数的审敛问题转化为 实数项级数的审敛问题）8/17/20245《复变函数》(第四版) 第4章(2) 绝对收敛与条件收敛.结论: i )ii )Th3模 8/17/20246《复变函数》(第四版) 第4章iii )iv)8/17/20247《复变函数》(第四版) 第4章例1.解: 1)下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.1)2)而8/17/20248《复变函数》(第四版) 第4章解:2)例2.解:1)下列级数是否收敛?是否绝对收敛?8/17/20249《复变函数》(第四版) 第4章解: 2)(不易分实部,虚部)对正项级数∴原级数收敛,且为绝对收敛.8/17/202410《复变函数》(第四版) 第4章解: 3)因为(莱布尼兹型交错级数)∴ 原级数收敛.条件收敛,∴ 原级数不绝对收敛.8/17/202411《复变函数》(第四版) 第4章补例: 考察解: 1)下列级数的敛散性:∴ 原级数发散.而8/17/202412《复变函数》(第四版) 第4章解: 2)收敛. (公比 |q | < 1)∴ 原级数绝对收敛.8/17/202413《复变函数》(第四版) 第4章解: 3)收敛. ∴ 原级数绝对收敛. 而8/17/202414《复变函数》(第四版) 第4章补例: 判别解: 1)级数的敛散性.发散.故级数不绝对收敛.8/17/202415《复变函数》(第四版) 第4章续上页 解:1)解: 2)均收敛∴ 原级数发散.(莱布尼兹型交错级数)8/17/202416《复变函数》(第四版) 第4章§2 幂级数1. 复变函数项级数部分和z 在 D 内处处收敛;和函数和即8/17/202417《复变函数》(第四版) 第4章例:解:当 z =1 时, 级数收敛于 0,当 z = －1 时, 级数发散 ; 当 | z |>1时, 显然发散.8/17/202418《复变函数》(第四版) 第4章2. 幂级数及其收敛圆一般式:取α= 0. 8/17/202419《复变函数》(第四版) 第4章(有与实函类似的结论)(1)(2)———— 阿贝尔定理z0xyO8/17/202420《复变函数》(第四版) 第4章[证]8/17/202421《复变函数》(第四版) 第4章8/17/202422《复变函数》(第四版) 第4章8/17/202423《复变函数》(第四版) 第4章 利用阿贝尔定理, 可以定出幂级数的收敛范围, 对一个幂级数来说, 它的收敛情况不外乎三种:i) 对所有的正实数都是收敛的. 这时, 根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.ii) 对所有的正实数除z=0外都是发散的. 这时, 级数在复平面内除原点外处处发散.iii) 既存在使级数收敛的正实数, 也存在使级数发散的正实数. 设z=a(正实数)时, 级数收敛, z=b(正实数)时, 级数发散.8/17/202424《复变函数》(第四版) 第4章显然a