高中数学必修五人教版A版同步作业 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第一课时 正、余弦定理在实际中的应用.doc

1.2　应用举例【选题明细表】知识点、方法题号测量距离问题1、2、3测量高度问题7、8测量角度问题4、6、9、11其他问题5、10基础达标1.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4 m,A=30°,则其跨度AB的长为(　D　) (A)12 m (B)8 m (C)3 m (D)4 m解析:由正弦定理得=,由题意得C=120°,B=30°,∴AB===4(m).故选D.2.如图,为了测量A、B两点间的距离,在地面上选择适当的点C,测得AC=100 m,BC=120 m,∠ACB=60°,那么A、B的距离为(　B　) (A)20 m (B)20 m(C)500 m (D)60 m解析:由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 60°=1002+1202-2×100×120×=12400,∴AB=20(m),故选B.3.(2014濮阳高二期末)如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为(　B　) (A)a km (B)a km(C)a km (D)2a km解析:由题意得∠ACB=120°,AB2=a2+a2-2a2cos 120°=3a2,∴AB=a.故选B.4.在静水中划船的速度是每分钟40 m,水流的速度是每分钟20 m,如果船从岸边A处出发,沿着与水流垂直的航线到达对岸,那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为(　B　)(A)15° (B)30° (C)45° (D)60°解析:如图,∵sin∠CAB==,∴∠CAB=30°,故选B.5.(2014临沂质量抽测)一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与灯塔S相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后,又测得灯塔在货轮的北偏东45°,则货轮的速度为(　B　)(A)20(+)海里/时(B)20(-)海里/时(C)20(+)海里/时(D)20(-)海里/时解析:由题意得∠SNM=105°,∠NSM=30°,∴=,MN==,货轮速度v===20(-).故选B.6.张帅在操场上某点B处测得学校的科技大楼AE的顶端A的仰角为θ,沿BE方向前进30 m至点C处测得顶端A的仰角为2θ.继续前进10 m至D点,测得顶端A的仰角为4θ,则θ等于　　　　. 解析:画出示意图,在△ABE中,AC=BC=30 m,CD=DA=10 m,∴cos∠ACD=cos 2θ==⇒θ=15°.答案:15°7.如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30米,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB=　　　　. 解析:由题意可知在△BCD中,∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,则∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°.由正弦定理可得BC===15.又在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,∴AB=BC·tan∠ACB=15×=15(米).答案:15 米能力提升8.如图,某城市的电视台发射塔CD建在市郊的小山上,小山的高BC为35米,在地面上有一点A,测得A,C间的距离为91米,从A观测电视发射塔CD的视角(∠CAD)为45°,则这座电视台发射塔的高度CD为　　　　. 解析:AB==84,tan∠CAB===.由=tan(45°+∠CAB)==.得CD=169.答案:169米9.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船速度是乙船速度的倍,问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船?此时乙船行驶了多少海里?解:设甲船沿直线行驶与乙船同时到C点,则A、B、C构成△ABC,如图.设乙船速度为v,则甲船速度为v,设到达C处用时为t. 由题意,BC=vt,AC=vt,∠ABC=120°.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 120°,∴3v2t2=a2+v2t2+avt.∴2v2t2-avt-a2=0,解得vt=-(舍去)或vt=a.∴BC=a,在△ABC中AB=BC=a,∴∠BAC=∠ACB=30°,60°-30°=30°.即甲船应取北偏东30°的方向去追乙船,此时乙船行驶了a海里.10.如图,A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面A处测得B、D两点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B、D两点的仰角分别为60°,60°,AC=0.1 km,试探究图中哪两点间距离与BD相等,并求BD(计算结果精确到0.01 km,≈1.414,≈2.449) 解:在△ACD中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°,∴CD=AC,又∵∠BCD=180°-60°-60°=60°=∠ACB,∴△ACB≌△DCB,∴AB=DB.在△ABC中,∠ABC=75°-∠ACB=15°.由正弦定理得AB=·sin 60°=(km).∴BD=≈0.33(km).即A、B两点距离与BD相等,BD约为0.33 km.探究创新11.(2013年高考江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C. 现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1260 m,经测量,cos A=,cos C=.(1)求索道AB的长;(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解:(1)在△ABC中,因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=.从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×+×=.由正弦定理=,得AB=·sin C=×=1040(m).所以索道AB的长为1040 m.(2)假设乙出发t min后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200(37t2-70t+50).由于0≤t≤,即0≤t≤8,故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理=,得BC=·sin A=×=500(m).乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3≤-≤3,解得≤v≤,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在[,](单位:m/min)范围内.。