(一)无穷小量(续).ppt

作业作业P43 习题习题 2.3 10. 12(3)(4)(7)(10).P49 习题习题 2.4 9(1)(4)(6). 练习练习P43 习题习题 2.3 4. 5. 8.P49 习题习题 2.4 1. 2. 5.7/27/20241第三讲第三讲 ( (一一) ) 无穷小量无穷小量( (续续) ) ( (二二) )连续函数连续函数一、三个重要关系一、三个重要关系二、二、无穷小量的比较无穷小量的比较三、三、求极限举例求极限举例 四、四、函数连续性的定义函数连续性的定义7/27/202421.（无穷小与无穷大）（无穷小与无穷大）2.（极限与无穷小）（极限与无穷小）一、三个重要关系一、三个重要关系7/27/202433.无穷大与无界函数无穷大与无界函数问题：问题：两个无穷小量的商是否为无穷小量？两个无穷小量的商是否为无穷小量？7/27/20244二、无穷小量的比较二、无穷小量的比较定义：定义：7/27/202457/27/202467/27/20247几个常用的等价无穷小量7/27/20248等价无穷小量的性质性质性质1：：7/27/20249性质性质2：：等价代换等价代换7/27/202410[解解][例例1]三、求极限举例三、求极限举例7/27/202411[例例2][解解]7/27/2024127/27/202413[例例3][解解]7/27/202414是是 x 的的 3 阶无穷小阶无穷小讨论：讨论：代数和不能代换！代数和不能代换！7/27/202415[解解][例例4]7/27/202416[解解][例例5]7/27/202417[解解][例例6]7/27/202418[ [解解] ][例例7]7/27/202419从而或者7/27/202420连连 续续 函函 数数7/27/202421函数连续性的定义函数连续性的定义 函数的连续性描述函数的渐变性态函数的连续性描述函数的渐变性态, ,在通常意义下，对函数连续性有三种在通常意义下，对函数连续性有三种描述：描述： 当自变量有微小变化时，因变量的当自变量有微小变化时，因变量的 变化也是微小的；变化也是微小的； 自变量的微小变化不会引起因变量的自变量的微小变化不会引起因变量的 跳变；跳变； 连续函数的图形可以一笔画成连续函数的图形可以一笔画成, ,不断开不断开. .7/27/202422例如：例如：7/27/2024237/27/2024247/27/2024257/27/202426定义定义1：： 以上描述实质上是同意的反复以上描述实质上是同意的反复, ,数学上要确切数学上要确切地刻画函数连续性地刻画函数连续性, ,必须用必须用极限极限作定量地描述作定量地描述. .（（一）定义一）定义7/27/202427[注意注意1]以上三条中带本质性的是第二条，极限的存在性以上三条中带本质性的是第二条，极限的存在性.[注意注意2]7/27/202428定义定义2：： （（函数在一点的单侧连续性）函数在一点的单侧连续性）7/27/202429定义定义3：：（（ 函数在区间上的连续性）函数在区间上的连续性）7/27/202430（二）间断点的分类（二）间断点的分类根据间断点的不同情况，可以分为三类：根据间断点的不同情况，可以分为三类：1. 可去型间断点可去型间断点 可去型间断不是本质性的间断可去型间断不是本质性的间断,可以重新可以重新定义定义, 使其连续使其连续.7/27/202431[例如例如]7/27/2024322. 第一类间断点第一类间断点[例例] 符号函数符号函数 7/27/2024333. 第二类间断点第二类间断点[例例] 7/27/202434五、函数连续性的基本性质五、函数连续性的基本性质（一）连续性定义的等价形式：（一）连续性定义的等价形式：7/27/202435（二）连续函数的有界性：（二）连续函数的有界性：7/27/202436（三）连续函数的保号性：（三）连续函数的保号性：7/27/202437（四）连续函数的运算性质：（四）连续函数的运算性质：7/27/202438（六）初等函数的连续性（六）初等函数的连续性 初等函数在其定义区间上是连续的。

初等函数在其定义区间上是连续的 （五）（五） 关于反函数的连续性关于反函数的连续性7/27/202439[ [解解] ] 非初等函数连续性问题举例非初等函数连续性问题举例7/27/2024407/27/202441[解解]7/27/2024427/27/202443。