高考数学回归课本教案：直线与圆的方程.doc

高考数学回归课本教案整顿：卢立臻第十章 直线与圆的方程一、基本知识１.解析几何的研究对象是曲线与方程解析法的实质是用代数的措施研究几何.一方面是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一种方程的解集之间存在一一映射,则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线如ｘ2+y２=1是以原点为圆心的单位圆的方程2.求曲线方程的一般环节:(1)建立合适的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(３)用坐标表达条件,列出方程;(４）化简方程并拟定未知数的取值范畴；（5）证明适合方程的解的相应点都在曲线上,且曲线上相应点都满足方程（实际应用常省略这一步)3.直线的倾斜角和斜率:直线向上的方向与x轴正方向所成的不不小于18００的正角，叫做它的倾斜角规定平行于x轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值(如果存在的话)叫做该直线的斜率根据直线上一点及斜率可求直线方程4.直线方程的几种形式:（1)一般式：Aｘ+By+C=0；(2)点斜式:y－y0＝k(x-ｘ0)；(3)斜截式:y=ｋx+ｂ;(4)截距式：;(５）两点式：;(６）法线式方程：xcoｓθ+ysinθ=p(其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离)；(7）参数式：（其中θ为该直线倾斜角)，t的几何意义是定点P０（x0, ｙ0）到动点P（ｘ， y）的有向线段的数量(线段的长度前添加正负号，若Ｐ0P方向向上则取正，否则取负)。

５.到角与夹角:若直线l1, l2的斜率分别为ｋ1, ｋ2,将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重叠所转过的最小正角叫ｌ1到l2的角；l1与l２所成的角中不超过9０0的正角叫两者的夹角若记到角为θ，夹角为α，则tａnθ=，tａnα=．6.平行与垂直：若直线l１与l2的斜率分别为k1, k2且两者不重叠,则l1//l2的充要条件是ｋ1=k2;l1l２的充要条件是k１k2=－17.两点P1(x1, y1)与P2（x2, y2)间的距离公式:｜P１P2｜＝8．点Ｐ(x０， y０)到直线ｌ:　Ａｘ＋By+C＝０的距离公式:9.直线系的方程：若已知两直线的方程是l１:A１x+B1y+C1=0与l2：Ａ2x+B2y+C2=0,则过l1, ｌ2交点的直线方程为A１x+B1y+C１+λ(A２x+B2ｙ+C2＝０;由l１与ｌ2构成的二次曲线方程为(A1x+Ｂ1ｙ+C１)（A2x+B2y＋Ｃ２）=０;与l2平行的直线方程为Ａ１x+B1y+C=０（）.１0.二元一次不等式表达的平面区域，若直线l方程为Ax＋Bｙ+C=0． 若Ｂ>０,则Ａx+Ｂy＋C>0表达的区域为l上方的部分,Ａx＋By＋Ｃ＜０表达的区域为l下方的部分。

１1.解决简朴的线性规划问题的一般环节:(1)拟定各变量,并以x和y表达;(２）写出线性约束条件和线性目的函数；(3）画出满足约束条件的可行域;(4）求出最优解1２．圆的原则方程:圆心是点(a, b)，半径为r的圆的原则方程为（ｘ-ａ)２+(y-b）2=r２,其参数方程为（θ为参数)13.圆的一般方程：x２＋y2+Dｘ+Ey+F=０(D2+E２-4F>0）其圆心为,半径为若点P(ｘ0, ｙ0)为圆上一点,则过点P的切线方程为　 ①1４．根轴:到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线(或它的一部分),这条直线叫两圆的根轴给定如下三个不同的圆：x2+y2+Diｘ+Ｅiy+Ｆi=0, i＝1,　2, 3.　则它们两两的根轴方程分别为（D1-Ｄ2）x+(E1-E２)y+(Ｆ１-Ｆ2）＝0; (D2-Ｄ3)x+(Ｅ２-E3)y+（Ｆ２－F3)=0; (D３-D1)x＋(E3-E1)y＋（Ｆ３－F１)=０不难证明这三条直线交于一点或者互相平行，这就是出名的蒙日定理二、措施与例题1.坐标系的选用:建立坐标系应讲究简朴、对称，以便使方程容易化简例1 在ΔABC中,ＡB=AC,∠A＝900，过Ａ引中线ＢD的垂线与BC交于点E，求证：∠ADB=∠ＣDE。

[证明] 　见图10-1,以Ａ为原点，AC所在直线为ｘ轴，建立直角坐标系设点B，C坐标分别为(0,2a）,(2ａ,0)，则点D坐标为(ａ, 0)直线BＤ方程为, ①直线ＢＣ方程为x+y＝2a，　 　②设直线BD和AE的斜率分别为k1, k2，则k1=-２由于ＢDAE，因此ｋ１k2＝-1.因此，因此直线AE方程为,由解得点Ｅ坐标为因此直线ＤE斜率为由于ｋ1+k3＝0．因此∠BＤC＋∠ＥＤC=1800,即∠ＢDＡ=∠EDC例2 　半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动证明：三角形另两条边截圆所得的弧所对的圆心角为600［证明］ 以A为原点，平行于正三角形ABC的边ＢC的直线为ｘ轴,建立直角坐标系见图10-2,设⊙D的半径等于BC边上的高,并且在B能上能下滚动到某位置时与AB,ＡC的交点分别为E，F,设半径为ｒ,则直线ＡＢ,ＡC的方程分别为,.设⊙Ｄ的方程为（x－ｍ)２+ｙ2=r２．①设点E,F的坐标分别为(ｘ1,y1）,(x2,ｙ2)，则,分别代入①并消去y得因此x1,　ｘ２是方程4ｘ2-2mx＋m２-r２＝0的两根由韦达定理，因此|EＦ|2＝(x1－x２)２+（ｙ1-y2)２=(ｘ1-x2)2+３（x1-x２)2=4(x1+x2）2-４ｘ１x2=m2－(m2－r２）=ｒ2.因此|EF|=r。

因此∠EＤＦ=600２.到角公式的使用例３ 设双曲线xy=1的两支为C1，C2,正ΔPQR三顶点在此双曲线上,求证：Ｐ，Q，R不也许在双曲线的同一支上［证明] 假设P，Q,Ｒ在同一支上,不妨设在右侧一支Ｃ1上，并设P,Ｑ,Ｒ三点的坐标分别为且0

设ｌ1,　l2斜率分别为k1，　k２， 若m０,则k１•k２=, SΔABC=,由点到直线距离公式｜ＡC|=，｜BC|=因此SΔABＣ=由于２ｍ≤ｍ２+１，因此ＳΔABC≤又由于－m2－１≤2m,因此,因此SΔＡBC≥当m=1时,(SΔABC)max=;当m=-1时，（SΔＡＢＣ）ｍin=.5.线性规划例６ 　设ｘ,　y满足不等式组（1）求点（x， y)所在的平面区域；（2）设a＞-1,在（1）区域里，求函数f（x，y)＝y-ax的最大值、最小值［解] （1)由已知得或解得点（x， ｙ)所在的平面区域如图１0-4所示，其中各直线方程如图所示AB：y＝2x-5;CＤ：y=-2x+1;AＤ:ｘ+ｙ＝1；ＢＣ：x＋ｙ=4.(2) f(ｘ， y)是直线l： y-aｘ＝k在y轴上的截距,直线l与阴影相交,由于a>-1,因此它过顶点Ｃ时,f(x, y)最大，C点坐标为(-3，7）,于是f（ｘ, ｙ)的最大值为3a+7. 如果-12，则l通过Ｂ(３，１）时，f(ｘ, ｙ）取最小值为－3a+1.6.参数方程的应用例７ 如图10－5所示,过原点引直线交圆x２+(y-１)2＝1于Ｑ点,在该直线上取Ｐ点，使P到直线ｙ=２的距离等于｜PQ|，求P点的轨迹方程。

[解] 设直线OＰ的参数方程为（t参数）代入已知圆的方程得t2-t•2siｎα=０．因此ｔ=０或t=２sinα因此|ＯQ|=2｜ｓinα|,而|OP｜＝t.因此|PQ|＝｜t-2ｓinα｜,而｜PM｜＝|2-tsiｎα|.因此|t-２ｓｉｎα|=|2-tｓinα|.　化简得ｔ=2或ｔ=-2或ｓinα＝-１.当t=±２时，轨迹方程为x2＋y2=4；当ｓinα=１时,轨迹方程为x＝0.７．与圆有关的问题例8　 点A，B，C依次在直线ｌ上,且ＡＢ=ABＣ，过Ｃ作ｌ的垂线,M是这条垂线上的动点，以A为圆心，AB为半径作圆,MT1与MＴ2是这个圆的切线，拟定ΔＡＴ１T２垂心 的轨迹[解］　 见图10-6，以A为原点,直线AB为x轴建立坐标系，Ｈ为OＭ与圆的交点，N为T1T２与OM的交点，记BＣ=１以Ａ为圆心的圆方程为x2+ｙ2=1６,连结OＴ1，OT2由于ＯT2MT2，Ｔ1HMT２，因此OT２//HT1，同理OT1／／HＴ２，又OＴ1=ＯＴ２，因此OT１HT2是菱形因此２ＯＮ=ＯH又由于ＯMT1Ｔ2,OT１MT1,因此ＯN•OＭ设点Ｈ坐标为(x,ｙ）点M坐标为(5, ｂ）,则点N坐标为，将坐标代入=ON•OM,再由得在AB上取点K，使ＡK=AB,所求轨迹是以K为圆心,AＫ为半径的圆。

例９ 　已知圆ｘ２+ｙ２＝1和直线y＝２ｘ＋m相交于A,Ｂ，且OA，OB与x轴正方向所成的角是α和β,见图10-7，求证：sｉn（α+β)是定值[证明] 过D作OＤAB于D则直线ＯD的倾斜角为，由于OＤAB，因此2•,因此因此例１０ 已知⊙O是单位圆,正方形ABCＤ的一边ＡB是⊙O的弦,试拟定|ＯD|的最大值、最小值[解］ 以单位圆的圆心为原点,AB的中垂线为ｘ轴建立直角坐标系,设点A,B的坐标分别为A(ｃosα,sinα）,Ｂ（cｏsα,－sｉｎα)，由题设｜AD｜=|AB｜＝2sinα，这里不妨设A在ｘ轴上方,则α∈(０，π）.由对称性可设点D在点Ａ的右侧（否则将整个图形有关y轴作对称即可)，从而点D坐标为(cｏsα＋2sｉnα，siｎα），因此｜OD|==由于,因此当时,｜OD|maｘ=+1；当时,|OD｜min=例11 当ｍ变化且m≠０时,求证:圆(ｘ－2m-1)2+(y-m-１)2=4m２的圆心在一条定直线上,并求这一系列圆的公切线的方程[证明] 　由消去ｍ得a-2b+1=0．故这些圆的圆心在直线x-2y＋１=0上设公切线方程为y=kx+ｂ,则由相切有2|m|=,对一切m≠0成立。

即(-4k-３)ｍ２+2(2ｋ－1）（k+ｂ-１)m+（ｋ＋ｂ-1)2＝0对一切m≠０成立因此即当k不存在时直线为x＝1因此公切线方程y＝和ｘ=1.三、基本训练题1.已知两点Ａ（-３,4)和Ｂ(3,２),过点Ｐ(2,-1)的直线与线段AB有公共点，则该直线的倾斜角的取值范畴是_＿__＿__＿__．２．已知θ∈[0，π］，则的取值范畴是_________＿.3．三条直线２x+3y-6=０， ｘ-ｙ=2, ３x+y+2＝0围成一种三角形,当点P(x, y)在此三角形边上或内部运动时，2x+y的取值范畴是__________.4．若三条直线4ｘ＋y＝4,　mx+ｙ=0, 2x－3my=4能围成三角形,则ｍ的范畴是＿＿＿______＿.5．若λ∈R直线(2+λ)x-(1＋λ)y－2（3+２λ）=0与点P（-2,2)的距离为d,比较大小：d_＿__＿_____.６．一圆通过A（4，２）,　B(-1,3）两点，且在两个坐标轴。